Alla scoperta della Matematica

Pitagora ne era convinto 500 anni prima di Cristo e Galileo sosteneva che “la matematica è l’alfabeto con il quale Dio ha scritto l’universo.” Anche Platone insegna con grande autorità nella sua opera Timeo che Dio ha costruito l’universo con i numeri.

Già queste sembrano essere prove schiaccianti del fatto che l’universo o è governato dalla matematica o, come  minimo, è suscettibile di essere analizzato tramite la matematica.

Molta parte dell’attività umana, se non tutta, sembra emergere da una struttura matematica sottostante, persino dove meno ce la si aspetta. Esaminiamo un esempio tratto dal mondo della finanza, la formula di Black-Scholes per il calcolo del prezzo delle opzioni.

La formula di Black-Scholes

La formula valse il Premio Nobel per l’Economia ai suoi creatori (Myron Scholes e Robert Carhart Merton; Fischer Black morì prima che il premio fosse assegnato). L’equazione chiave del modello consente di comprendere come si assegna un prezzo alle opzioni azionarie (le opzioni sono strumenti finanziari che permettono di acquistare o vendere azioni in un momento futuro a un prezzo concordato).

C’è però un fatto sorprendente. Al cuore di questo modello sta un fenomeno che i fisici studiano da decenni: il «moto browniano», lo stato di agitazione che manifestano minuscole particelle sospese nell’acqua, come il polline, o nell’aria, come le particelle di fumo. Per di più, come se non bastasse, la stessa equazione si applica al moto delle centinaia di migliaia di stelle che formano un ammasso stellare.

Non è, per attingere al linguaggio di Alice nel paese delle meraviglie, qualcosa di «stranissimo, e sempre più stranissimo»????

Dopotutto, quale che sia il comportamento del cosmo, gli affari e la finanza sono mondi creati dalla mente dell’uomo.

Il problema del commesso viaggiatore

Consideriamo ora un problema ben noto ai costruttori di circuiti stampati e ai progettisti di computer. Costoro usano trapani laser per ricavare decine di migliaia di fori nelle loro schede. Per minimizzare i costi, i progettisti di computer vogliono impedire che i loro trapani si comportino come «turisti per caso». Il loro problema è trovare il «tour» più breve tra i fori, quello che permetta di visitare una sola volta ciascun punto da perforare. Il fatto è che i matematici studiano questo stesso problema, noto come il «problema del commesso viaggiatore», fin dagli anni Venti del secolo scorso. In sostanza, se un venditore, o un politico impegnato in una campagna elettorale, ha bisogno di visitare un certo numero di città spendendo il meno possibile, e se il costo del viaggio tra ciascuna coppia di città è noto, allora il viaggiatore deve trovare un metodo per calcolare il modo più economico di far tappa in tutte le città e tornare al punto di partenza. Il problema del commesso viaggiatore fu risolto per il caso di 49 città degli Stati Uniti nel 1954. Nel 2004 è stato risolto per il caso di 24.978 città della Svezia. In altre parole, l’industria elettronica, le imprese di corrieri che utilizzano furgoni si devono affidare alla matematica per compiti semplici come ricavare dei fori, programmare un itinerario o progettare fisicamente un computer.

La linguistica computazionale

La matematica è penetrata persino in aree che tradizionalmente non vengono associate alle scienze esatte. Per esempio, il «Journal of Mathematical Sociology»  è orientato a uno studio matematico di strutture sociali, organizzazioni e gruppi informali complessi. Gli articoli della rivista si occupano di argomenti che partono da un modello matematico per predire l’opinione del pubblico a un altro per prevedere le interazioni all’interno di gruppi sociali.
Procedendo nella direzione opposta – dalla matematica verso le scienze umanistiche – il campo della linguistica computazionale, che in origine coinvolgeva soltanto scienziati informatici, oggi è un’attività di ricerca interdisciplinare che riunisce linguisti, psicologi cognitivi, logici ed esperti di intelligenza artificiale, tutti impegnati nello studio della complessità delle lingue che si sono evolute per via naturale.

L’irragionevole efficacia della matematica ci pone di fronte a interessanti enigmi: la matematica ha un’esistenza che è completamente indipendente dalla mente umana? Noi stiamo semplicemente scoprendo delle verità matematiche, esattamente come gli astronomi scoprono galassie in precedenza ignote? Oppure la matematica non è altro che un’invenzione umana? Se davvero la matematica esiste in un mondo astratto, quale rapporto c’è tra quel mondo mistico e quello fisico?

Come fa il cervello umano, con i suoi limiti, a ottenere accesso a quel mondo immutabile, che sta al di fuori dello spazio e del tempo? D’altra parte, se la matematica è una mera invenzione umana che non esiste al di fuori delle nostre menti, come si spiega il fatto che l’invenzione di tante verità matematiche abbia dato miracolosamente risposte in anticipo a domande sul cosmo e sulla vita dell’uomo che non sono nemmeno state poste se non molti secoli dopo? Non sono interrogativi facili.

Anche Martin Gardner, famoso autore di numerosi testi di matematica ricreativa, sposa l’idea della matematica come «scoperta».
Per lui non ci sono dubbi: i numeri e la matematica hanno un’esistenza propria, indipendentemente dal fatto che gli uomini ne siano o meno a conoscenza. «Se due dinosauri raggiungessero altri due dinosauri in una radura» ha osservato con arguzia, «ci sarebbero quattro dinosauri anche se non ci fossero uomini a osservarli e gli animali fossero troppo stupidi per saperlo.»
Connes ha sottolineato che secondo i sostenitori dell’idea della «matematica come scoperta» (che è conforme alla concezione platonica), una volta che un concetto matematico, per esempio quello di numeri naturali 1, 2, 3, 4…, è stato compreso, allora ci si trova davanti a dati innegabili, quali 32 + 42 = 52, a prescindere da quello che ne pensiamo. Ciò ci dà l’impressione, come minimo, di essere in contatto con una realtà esistente.

Pitagora

Probabilmente Pitagora (572-497 a.C. circa) fu il primo a essere al contempo un influente filosofo naturale e un carismatico filosofo spirituale: uno scienziato e un pensatore religioso. A lui si attribuisce l’introduzione dei termini «filosofia» (amore per il sapere), e «matematica»: le discipline dotte. Anche se non sono sopravvissute opere di Pitagora (sempre ammesso che siano esistite, considerato che la maggior parte dei suoi insegnamenti veniva trasmessa oralmente), Tuttavia, considerata la fama di cui godette Pitagora nelle epoche successive, in genere si ipotizza che fu l’autore di almeno una parte delle teorie pitagoriche verso cui Platone e persino Copernico si sentirono in debito.
Pitagora e i primi pitagorici non erano né matematici né scienziati nel vero senso del termine. Al cuore delle loro dottrine c’era una concezione filosofica metafisica sul significato dei numeri. Per i pitagorici i numeri erano entità viventi e princìpi universali che permeavano ogni cosa, dal cielo all’etica umana. I numeri possedevano due aspetti distinti e complementari: da un lato avevano un’esistenza fisica tangibile; dall’altro erano precetti astratti su cui si fondava ogni cosa.

Per esempio la «monade» (il numero Uno) era interpretata sia come la generatrice di tutti gli altri numeri – un’entità reale quanto l’acqua, l’aria e il fuoco che faceva parte della struttura fisica del mondo – sia come un’idea, l’unità metafisica all’origine della creazione.

Perciò i numeri non erano semplicemente strumenti per denotare quantità o grandezze. I numeri dovevano essere scoperti, e rappresentavano gli agenti formativi aivi in natura. Ogni cosa nell’universo, dagli oggetti materiali come la Terra ai concetti astratti come
quello di giustizia, era numero da cima a fondo.

Il fascino dei numeri

l fatto che qualcuno trovi il mondo dei numeri affascinante non è poi così sorprendente.
Dopotutto, persino i numeri ordinari che si incontrano nella vita quotidiana possiedono proprietà interessanti.
Considerate il numero dei giorni che ci sono in un anno: 365. Potete facilmente verificare che 365 è uguale alla somma di tre quadrati consecutivi: 365 = 102 + 112 + 122. Ma non è tutto: è anche uguale alla somma dei due quadrati seguenti (365 = 132 + 142)! E provate a esaminare il numero di giorni di un mese lunare: 28. Questo numero è uguale alla somma di tutti i suoi divisori: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. I numeri caratterizzati da questa speciale proprietà sono dei «numeri perfetti» (i primi quattro sono 6, 28, 496, 8218). Notate anche che 28 è la somma dei cubi dei primi due numeri dispari: 28 = 13 + 33. Anche un numero largamente usato nel nostro sistema decimale qual è 100 presenta le sue peculiarità: 100 = 13 + 23 + 33 + 43.

Alice, hai ragione tu: tutto ciò è stranissimo, e sempre più stranissimo anzi, no, è  la Matematica, bellezza!!

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