FUNZIONI

Spesso si devono affrontare e descrivere situazioni che fanno riferimento a due o più quantità variabili in determinati insiemi e tali che il valore di una dipenda dal valore assunto dalle altre.

Ad esempio :
¸ Il costo totale di una merce dipende dalla quantità di merce acquistata.
¸ L’area di un quadrato dipende dalla lunghezza del suo lato.
¸ Il montante di un capitale depositato in banca dipende dal tempo di investimento e dal tasso di interesse.
Nei primi due esempi sono presenti due grandezze variabili: una indipendente e l’altra dipendente da questa, ossia il valore della seconda è determinato non appena è noto il valore della prima.

Variabile indipendente (generalmente indicata con x)
Variabile dipendente (generalmente indicata con y)

Si dice che y è funzione di x .

DEFINIZIONE

Dati due insiemi non vuoti A e B si dice funzione di A in B una legge che ad ogni x ∈ A associa uno ed un solo elemento y ∈ B.

Scriveremo

f : A → B oppure y = f(x).

· f(x) indica l’elemento di B immagine di x tramite f .
· x è detto una controimmagine di f(x).
· L’insieme A è detto dominio della funzione.
· L’insieme B è detto codominio della funzione.
· Il simbolo f(A) denota l’insieme delle immagini di f (o immagine di A).

ATTENZIONE.
Non basta una “legge” per definire una funzione, occorre anche assegnare il dominio e il codominio.

La stessa “legge” può definire oppure no una funzione a seconda del dominio e/o codominio in cui è considerata.

Ad esempio :

Altri esempi di funzione :

Nota 

Nella definizione di funzione non è richiesto che rimanga invariata la legge con cui f associa ad ogni elemento del dominio la sua immagine; quello che occorre è che ad ogni elemento del dominio corrisponda uno ed un solo elemento del codominio.

La funzione identità

DEFINIZIONE

Una funzione f : A → A si chiama funzione identità se ad ogni elemento di A associa l’elemento stesso, ossia f(x) = x .
Di norma si indica con Id_A .

Funzioni iniettive, suriettive, biettive

DEFINIZIONE

Una funzione f : A → B si dice
– suriettiva quando f(A) = B
– iniettiva quando da x₁ ≠ x₂ segue f(x₁) ≠ f(x₂)
– biettiva (o biunivoca) se è iniettiva e suriettiva

Alcuni esempi:

Funzioni biettive

Le funzioni biettive rivestono un ruolo particolarmente importante.

Qui ci limitiamo ad evidenziare due proprietà :

1) Permettono di “confrontare” e “contare” gli elementi di due insiemi: A e B hanno lo stesso numero di elementi se e solo se fra A e B è possibile stabilire una funzione biettiva.

Esempio
· L’insieme P = { 0, 2, 4, …, 2n, … } dei numeri pari e l’insieme ℵ = { 0, 1, 2, …, n,… } dei numeri naturali hanno lo stesso numero di elementi (cardinalità) perché fra essi è possibile stabilire una funzione biettiva:

f : → P , f(n) = 2n.

· Fra gli insiemi Q ed ℜ non esiste nessuna funzione biettiva perché | Q | < |ℜ| .

2) Le funzioni biettive ammettono la funzione inversa:
Se f : A → B è una funzione biunivoca, allora si può definire un’altra funzione di B → A, detta funzione inversa della f e indicata con f^-1 , che ad ogni y ∈ B associa la sua controimmagine nella f , ossia f^-1(y) = x con f(x) = y .

Si osservi che :

Nelle applicazioni economiche spesso si deve fare uso delle funzioni inverse.

Ad esempio qualche volta pensiamo il prezzo p come funzione della quantità q e qualche volta la quantità come funzione del prezzo:

p=g(q) , q=f(p)

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