Integrazione: come usare la simmetria delle funzioni. Un esempio svolto e commentato

CONSIDERAZIONI SU SIMMETRIA DI f E DELL’INTERVALLO DI INTEGRAZIONE

Nel calcolo degli integrali definiti può essere comodo sfruttare alcuni risultati riguardanti l’integrazione di funzioni pari o dispari su intervalli simmetrici rispetto allo 0, vale a dire intervalli del tipo [−a, a], a > 0.
I risultati che esporremo sono facilmente dimostrabili sfruttando opportunamente il teorema di sostituzione e le proprietà dell’integrale definito.

FUNZIONI PARI

Sia f : domf → R una funzione pari, vale a dire una funzione tale che

f(−x) = f(x) per ogni x ∈ domf

Allora, per ogni a ∈ R tale che [−a, a] ⊆ domf,

si ha:

Cioè, l’integrale di una funzione pari (vale a dire con grafico simmetrico rispetto all’asse y) su un intervallo simmetrico è pari al doppio dell’integrale della medesima f su una delle due metà dell’intervallo (ad esempio, la parte positiva [0, a]).
Ciò risulta vantaggioso: infatti, nel calcolo del valore numerico dell’integrale, la possibilità di valutare nell’estremo x = 0 può ridurre notevolmente i calcoli.

FUNZIONI DISPARI

Se, invece, f : domf → R è dispari, cioè

f(−x) = −f(x) per ogni x ∈ domf

allora, per ogni a ∈ R tale che [−a, a] ⊆ domf,

risulta

Senza dimostrare rigorosamente l’affermazione, ce ne si può comunque convincere facilmente ricordando che il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine del sistema di riferimento. Pertanto, pensando al significato geometrico di integrale definito, si verrebbero a creare due aree uguali ma di segno opposto, quindi un integrale complessivamente nullo.

Vediamo un esempio di applicazione di tali considerazioni.

Esempio

Si calcoli l’integrale definito

Soluzione

La simmetria dell’intervallo di integrazione, [−3, 3], fa sperare in qualche semplificazione dei calcoli.
Anzitutto, sfruttando la linearità dell’integrale definito, si ha:

Poichè la funzione

g(x) = x⁹ arctan(x² + 3)

è dispari, in quanto

g(−x) = (−x)⁹ arctan((−x)² + 3) = −x⁹ arctan(x² + 3) = −g(x)

ne segue, per i risultati esposti, che

Pertanto non dobbiamo calcolare tale contributo per l’integrale finale.

L’integrale di partenza diviene:

Quest’ultimo integrale, invece, va calcolato.
Infatti, la funzione

|x| log(x + 4)

non presenta particolari simmetrie (essendo definita per x > −4).
Per calcolare il valore dell’integrale è anzitutto opportuno liberarsi del valore assoluto.
Poichè:

Pertanto:

Dobbiamo anzitutto procurarci una primitiva di x log(x + 4).
Calcoliamo quindi

Tale integrale indefinito lo risolviamo applicando la formula di integrazione per parti.

Deriviamo log(x + 4) e integriamo x.

Per la formula d’integrazione per parti, l’integrale diviene:

Risolviamo l’integrale in rosso.
Si tratta dell’integrale di una funzione razionale fratta in cui il numeratore ha maggior grado del denominatore.

Eseguiamo anzitutto la divisione di polinomi tra numeratore e denominatore.
Risulta

L’integrale indefinito diviene

Tornando all’integrale definito, abbiamo

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