Un’applicazione degli integrali alla biologia

Tra i differenti contesti applicativi del calcolo integrale, ci focalizzeremo sul campo della biologia, analizzando l’applicazione dell’integrazione alla individuazione della gettata cardiaca, ossia del volume del sangue pompato dal cuore nell’unità di tempo o meglio la velocità del flusso nell’aorta.

Il sangue ritorna al corpo attraverso le vene, entra nell’atrio destro del cuore e viene pompato ai polmoni attraverso le arterie polmonari per ossigenarsi. Poi ritorna all’atrio sinistro attraverso le vene polmonari e viene rimandato del resto del corpo attraverso l’aorta. La gettata cardiaca rappresenta la velocità del flusso nell’ aorta, la cui misurazione avviene utilizzando un metodo detto metodo di diluizione della tintura.Quest’ultima viene iniettata nell’atrio destro e fluisce attraverso il cuore nell’aorta.
Una sonda inserita nell’aorta misura la concentrazione di tintura che lascia il cuore dopo uguali periodi di tempo nell’intervallo [0; T] finché la tintura non è più rilevabile.
Sia c(t) la concentrazione della tintura al tempo t: Se dividiamo l’intervallo [0; T] in sottointervalli di uguale lunghezza Δt, allora la quantità di tintura che oltrepassa il punto della misurazione durante il sottointervallo da

𝑡 = 𝑡_𝑖−1 a 𝑡_𝑖 è circa

dove F è la velocità del flusso che stiamo cercando di calcolare. Così la quantità totale di tintura è circa:

per 𝑛 → ∞ la sommatoria discreta si trasforma in una somma continua sull’intervallo [0,T] e di conseguenza, troviamo che la tintura totale è:

Allora la gettata cardiaca è data da:

Dove la quantità di tintura A è nota e l’integrale può essere approssimato con le letture di concentrazione.

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