Analisi Matematica: Esercizi svolti da temi d’esame – 3-

Calcolo di Integrali definiti

ESERCIZIO 1

Calcolare il seguente integrale definito:

 

SOLUZIONE

Matematica applicata alla Fisica

ESERCIZIO 2

Due cariche puntiformi di valore q sono poste agli estremi di un segmento AB,mdi lunghezza l = 1 m, diametro della semicirconferenza γ.
Una terza carica, identica alle precedenti, è successivamente posta in C. Determina l’energia potenziale U( x) del sistema in funzione dell’angolo x, nell’ipotesi che il sistema si trovi nel vuoto.

Ricorda che l’energia potenziale U_{1 2}(x) relativa a un sistema di due cariche q₁ e q₂ poste nel vuoto a distanza r è

 

e che l’energia potenziale di un sistema di n cariche è la somma delle energie potenziali delle cariche, prese a due a due in tutti i modi possibili.
Quale dei seguenti grafici può rappresentare la funzione U(x)? Motiva la risposta.

SOLUZIONE

L’energia potenziale elettrica di un sistema di cariche è uguale al lavoro che una forza esterna compie per trasportare le cariche dall’infinito alla loro posizione finale. L’ordine con il quale le cariche vengono posizionate non ha nessuna importanza.
La prima carica q viene posizionata in A senza compiere lavoro. Per trasportare la seconda carica q in B si deve compiere un lavoro pari all’energia potenziale

che la seconda carica ha nella sua posizione finale.
Per trasportare la terza carica q in C si deve compiere un lavoro pari a

per effetto della presenza delle due cariche in A e in B.
Il lavoro totale compiuto è la somma dei singoli lavori. Quindi l’energia potenziale U (x) del sistema è:

Poiché

U (x) ammette i due asintoti verticali x = 0 e , x = π/ 2 r , quindi l’unico grafico che può rappresentare U (x) è a.

 

 

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