Le equazioni diofantee
Metodo di scomposizione parziale
Un primo metodo per restringere il campo delle possibili soluzioni in un’equazione Diofantea è quello della fattorizzazione numerica. Innanzitutto occorre portare l’equazione tutta al primo membro, ottenendo una scrittura quindi del tipo f (x) = 0. Se già sappiamo scomporre f (x) è facile trovare le soluzioni; altrimenti cerchiamo una costante k opportuna che, aggiunta a f (x), ci consenta di scomporlo.
In formule, si cerca di trovare un k tale per cui sappiamo scomporre f (x) + k = g (x) · h(x).
Ricavati quindi g (x) e h(x), potremo riscrivere l’equazione iniziale come k = f (x) + k = g (x) · h(x); ma poiché le due espressioni h(x) e g (x) assumono solo valori interi, le possibilità di ottenere k come prodotto di interi non sono infinite. Se
infatti esaminiamo i fattori primi di k , distribuendoli in tutti i modi possibili tra il primo e il secondo fattore, ci ricondurremo a un certo numero di sistemi di due equazioni del tipo
g (x) = d1, h(x) = d2 (con d1 · d2 = k )
normalmente molto più semplici da risolvere, che esauriscono tutti i casi. Questo procedimento richiede che la scomposizione sia fatta solo all’interno dei numeri interi, ma è possibile generalizzarlo a scomposizioni razionali
(moltiplicando i due membri di k = g (x)· h(x) per il minimo comune denominatore di g (x) e h(x)).
ESEMPIO
Trovare le soluzioni intere positive dell’equazione:
x y + x = 2007y + 2
Così com’è, non è possibile scomporre questo polinomio. Se però portiamo tutto al primo membro e proviamo a togliere 2005 a entrambi i membri otteniamo:
x y + x − 2007y − 2005 − 2 = −2005 ⇔ (x − 2007)·(y + 1) = −2005
Ma poiché cerchiamo soluzioni intere positive, certamente y +1 ≥ 2 , allora il fattore negativo dev’essere x − 2007 < 0. Inoltre scomponiamo 2005 = 5 · 401, e proviamone tutti i possibili divisori sul secondo fattore:
• y + 1 = 1⇔y = 0: Impossibile, perché chiedevamo y intero positivo
• y + 1 = 5⇔y = 4,x − 2007 = −401⇔x = 1606: Prima soluzione
• y + 1 = 401⇔y = 400,x − 2007 = −5⇔x = 2002: Seconda soluzione
• y + 1 = 2005⇔y = 2004,x − 2007 = −1⇔x = 2006: Terza soluzione
L’equazione è quindi risolta, e le tre soluzioni sono (1606, 4),(2002, 400),(2006, 2004).
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