Python: la distribuzione di Poisson

Possibili applicazioni della distribuzione di Poisson

IPOTESI BASE DELLA POISSON

Si assuma che un intervallo sia diviso in un numero molto grande di sottointervalli, di modo che la probabilità del verificarsi di un evento in ogni
sottointervallo sia molto piccola. Le ipotesi di base della Poisson sono:
1.La probabilità del verificarsi di un evento è costante per tuttii sottointervalli.
2.L’evento non si può verificare più di una volta in ciascuno dei sottointervalli.
3.Eventi che si verificano in intervalli disgiunti sono indipendenti.

Dalla Binomiale alla Poisson

Consideriamo in un modello binomiale la probabilità di successo in rapporto al numero di prove

Si dimostra che al crescere del numero delle prove, con una probabilità di successo in ogni singola prova molto piccola, la distribuzione Binomiale può essere approssimata con la distribuzione di Poisson.

In sintesi:

Cos’è la distribuzione di Poisson?

La distribuzione di Poisson è la distribuzione di probabilità discreta che rappresenta la probabilità di occorrenza di un evento r numero di volte in un dato intervallo di tempo o spazio, se questi eventi si verificano con un tasso medio costante noto e sono indipendenti l’uno dall’altro. Questo tipo di probabilità viene utilizzato in molti casi in cui gli eventi si verificano in modo casuale, ma con un tasso medio noto. Il numero di eventi che si verificano durante un intervallo dipende dal tempo trascorso anziché dal tempo totale disponibile. La distribuzione di Poisson può essere applicata a processi sensibili al fattore tempo come messaggi di testo inviati al minuto e telefonate ricevute al secondo. La distribuzione di Poisson può aiutarci a determinare la frequenza con cui possiamo aspettarci un “evento” come trovare clienti in fila o il numero di incidenti che si verificano ogni ora.

I seguenti sono i criteri chiave secondo cui la variabile casuale segue la distribuzione di Poisson.

• I singoli eventi si verificano in modo casuale e indipendente in un dato intervallo. Questo può essere un intervallo di tempo o di spazio.
• Il numero medio di occorrenze di eventi in un intervallo (tempo o spazio) è finito e noto.

USI PRATICI DELLA DISTRIBUZIONE DI POISSON

Calcolare la funzione densità della distribuzione di Poisson:

Distribuzione di Poisson per Intervallo di tempo.

Supponiamo che il numero di autobus che arrivano a una fermata dell’autobus in un intervallo di 30 minuti sia 1. La distribuzione di Poisson può essere utilizzata per modellare la probabilità che un numero diverso di autobus, X, arrivino alla fermata dell’autobus entro i prossimi 30 minuti dove X può assumere il valore di 0, 1, 2, 3, 4.

Ecco il codice Python , relativo al grafico per la distribuzione di probabilità di Poisson che modella la probabilità che un numero diverso di autobus compreso tra 0 e 4 possa arrivare alla fermata dell’autobus entro 30 minuti dato il numero medio di occorrenze di autobus in un intervallo di 30 minuti è 1.

from scipy.stats import poisson

import matplotlib.pyplot as plt

#

# X = numero degli autobus

#mu =numero medio degli autobus che arrivano che arrivano in 30 minuti

#

X = [0, 1, 2, 3, 4]

mu = 1

#

# Probabilità

#

poisson_pd = poisson.pmf(X, mu)

#

# Grafico della distribuzione di probabilità

#

fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(8, 6))

ax.plot(X, poisson_pd, ‘bo’, ms=8, label=’poisson pmf’)

plt.ylabel(“Probabilità”, fontsize=”18″)

plt.xlabel(“X – N. di autobus”, fontsize=”18″)

plt.title(“Distribuzione di Poisson – N. di autobus Vs Probabilità”, fontsize=”18″)

ax.vlines(X, 0, poisson_pd, colors=’b’, lw=5, alpha=0.5)

Output:

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