Limiti. I simboli di Landau. o-piccolo e O-grande. Esercizio risolto

Esercizio 

Studiare, in dipendenza delle relazioni tra i parametri positivi α, β, γ, α > β, l’esistenza e il valore del limite seguente:

Soluzione

Usiamo gli sviluppi di MacLaurin, per y → 0 abbiamo :

 

Pertanto

 

Quindi:

L = ∞ , se α − β < γ ;
L = e , se α − β = γ ;
L = 1 , se α − β > γ.

I simboli di Landau

o-piccolo di Landau

Definizione

Siano f e g due funzioni reali definite almeno in (a, b)\{x₀} e infinitesime per x che tende a x₀, cioè

Osserviamo che dire che f = o(g) significa circa che: “la funzione f si annulla più rapidamente della funzione g per x che tende a x₀”.

Esempio elementare può essere f(x) = sin²(πx), g(x) = x − 1 e x₀ = 1.

Principio di sostituzione degli infinitesimi

Siano f, f₁, g e g₁ funzioni infinitesime per x che tende a x₀ e sia inoltre f₁ = o(f) g₁ = o(g).

Allora

Osservazione

Può succedere che date due funzioni infinitesime per x → x₀ non si possa dire che f = o(g) oppure che g = o(f), cioè che le due funzioni non siano confrontabili come “o-piccoli”.

Per esempio se prendiamo f(x) = x e g(x) = x(2 + sin(1/x)) si ha

e situazione simile considerando il rapporto g(x)/f(x).
Esistono quindi ordini di infinitesimo non confrontabili, almeno con la definizione data sopra.

Analogamente alla nozione di o-piccolo si può introdurre quella di o-grande.

o-grande di Landau

Definizione

Siano f e g due funzioni reali definite almeno in (a, b)\{x₀}. Di dice che f = O(g) (e si legge “f è o-grande di g”) se esiste M ∈ R, con M ≠ 0, tale che:

Dire che f = O(g) significa circa che: “la funzione f si comporta più o meno nello stesso modo della funzione g per x che tende a x₀”. Osserviamo che se f = O(g) allora g = O(f).

Come esempio possiamo calcolare questo limite:

In questo caso 1 − cos(x) = O(x²) in particolare

Usando il confronto di funzioni fatto nel modo esposto sopra si può introdurre una relazione di ordine (affermazione non del tutto corretta, ma andrebbero precisati molti dettagli delicati) tra le funzioni reali.
E’ naturale a questo punto avere degli infinitesimi (ma anche degli infiniti) “campione” da usare per poter confrontare rapidamente funzioni non elementari. Come campione di funzione infinitesima, si possono usare le potenze positive di x − x₀.

In tal caso si ha che

Il confronto di funzioni più complicate può essere fatto usando i limiti notevoli.

Per esempio come log(x) = O(x − 1) per x → 1.
Il confronto di funzioni può essere usato anche per studiare limiti in cui compaiono funzioni che diventano infinite per x → x₀.
In tal caso il confronto può essere fatto confrontando le funzioni date con

log(x), oppure con x^α, con α > 0 oppure con e^x

Sono riportati questi tre esempi perchè rappresentano diverse funzioni che divergono a +∞ quando x → +∞ con velocità diverse. Ricordando i limiti notevoli il logaritmo cresce meno rapidamente di ogni potenza di x che a sua volta cresce meno rapidamente dell’esponenziale.

Nel caso dei limiti infiniti si ha il seguente risultato

Principio di sostituzione degli infiniti

Siano f, f₁, g e g₁ funzioni che tendono a +∞ per x che tende a x₀ e sia inoltre

che significa che “f va all’infinito più rapidamente di f₁(x) e che g va all’infinito più rapidamente di g₁(x)”.
Allora

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