Calcolare il valore del limite:
Soluzione
Utilizziamo i seguenti sviluppi di Taylor:
ed otteniamo, applicando il
Esercizio 2
Calcolare il valore del limite:
Soluzione
Effettuiamo il cambiamento di variabile: y = x − 1 ed osserviamo che per x → 1 si ha che y → 0.
Il limite proposto può quindi essere scritto nella forma seguente:
Applichiamo al denominatore le formule di addizione della tangente, ed al numeratore modifichiamo l’espressione dei radicandi in modo da poter applicare lo sviluppo di Taylor:
Utilizziamo quindi lo sviluppo di Taylor visto sopra, rispettivamente con:
Inoltre
Perchè:
Sostituendo otteniamo ( per il principio di sostituzione degli infinitesimi):
Esercizio 3
Calcolare il valore del limite:
Soluzione
Effettuiamo il seguente cambiamento di variabile:
y =1/x.
Osservato che per x → +∞ si ha y → 0+, sostituendo otteniamo:
Utilizziamo lo sviluppo di Taylor dell’esponenziale:
ponendo
Negli ultimi passaggi abbiamo utilizzato il fatto che
Le formule di Taylor e Maclaurin e l’algebra degli o piccoli
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