Determinare l’ordine di infinitesimo con Taylor e McLaurin. Esercizi svolti

Esercizio 1

Determinare l’ordine di infinitesimo per x → 0, di

B) Determinare, inoltre, il polinomio P(x) di grado minimo tale che la funzione

sia un infinitesimo di ordine maggiore di 8, quando x → 0.

Soluzione

Usando gli sviluppi di MacLaurin, per x → 0:

TAVOLA DEGLI SVILUPPI DI TAYLOR DELLE FUNZIONI ELEMENTARI PER x → 0.

 

 

Quindi f e h sono rispettivamente infinitesimi di ordine 4 e 1/2 rispetto a x per x → 0.

 

B) Usando gli sviluppi di MacLaurin, per x → 0:

Esercizio 2

Stabilire l’ordine di infinitesimo per x → 2 delle seguenti funzioni:

Soluzione

A) Per quanto riguarda f abbiamo che

se α = 1/5. Quindi f è infinitesima di ordine 1/5 per x → 2.

B) Usando gli sviluppi di Taylor otteniamo per g

se α = 3. Quindi g è infinitesima di ordine 3 per x → 2.

C) Infine

se α = 2. Quindi h è infinitesima di ordine 2 per x → 2.

Esercizio 3

Determinare l’ordine di infinitesimo per x → 0 di

Determinare poi il polinomio P(x) di grado minimo tale che

per x → 0.

Soluzione

Si hanno gli sviluppi di Maclaurin:

Quindi l’ordine di infinitesimo di f è 2.
Il polinomio di grado minimo richiesto:

Esercizio 4

Determinare il polinomio P(x) di grado minimo tale che valga:

Soluzione

Si hanno gli sviluppi di Maclaurin:

Quindi si ha intanto

inoltre:

Pertanto

cioè il limite si annulla se P(x) = 1 + x³.

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