Applicazioni della formula di Taylor

Abbiamo già visto quanto la formula di Taylor sia utile per

Determinare la crescenza/decrescenza di una funzione ed i punti stazionari

oppure per

determinarne la concavità/convessità.

terminiamo ricordando un’ulteriore applicazione della formula di Taylor:

il calcolo di limiti che portano a una forma indeterminata del tipo 0/0

Per illustrare in che modo la formula di Taylor si possa usare a questo scopo, consideriamo ad esempio il limite notevole

(che già sappiamo essere uguale a 1) che è esattamente una forma indeterminata di questo tipo.
Per risolvere questo limite mediante lo sviluppo di Taylor, consideriamo lo sviluppo di Taylor arrestato al prim’ordine di e^x in x₀ = 0, cioè

e^x = 1 + x + o(x)

e usiamolo per riscrivere il limite come

ovvero, semplificando,

Ora,è facile risolvere il limite, in quanto

e

visto che o(x) è esattamente una quantità che va a zero più velocemente di x.

Usando questo metodo occorre fare particolare attenzione alla scelta dell’ordine a cui arrestare lo sviluppo.

Ad esempio,

supponiamo di voler calcolare

Ricordiamo nella tabella che segue gli sviluppi di Taylor per x → 0 delle principali funzioni elementari (tali  sviluppi vengono anche detti Sviluppi di Maclaurin).

 

Calcoliamo lo sviluppo di Taylor di f(x) = sin x:

dal momento che

 

e quindi gli sviluppo di Taylor di sin x in x₀ = 0 arrestati al primo, al secondo e al terzo ordine sono

Attenzione!

 

Se usassimo lo sviluppo del prim’ordine per calcolare il limite, avremmo

e non potremmo concludere nulla:

infatti sappiamo solo che o(x) va a zero più velocemente di x, che implica che potrebbe ad esempio andare a zero come un x² (e allora il limite sarebbe infinito, dal momento che stiamo dividendo per x³) oppure anche come un x³, e allora il limite sarebbe finito diverso da zero, oppure come una potenza di x maggiore di x³, e allora il limite sarebbe zero.

Stesso problema avremmo se usassimo lo sviluppo al second’ordine:

Di nuovo, non possiamo concludere nulla: sappiamo che o(x²) va a zero più velocemente di x², ma potrebbe andare ad esempio come x³ oppure come x⁴ e i risultati sarebbero diversi.
L’uso dello sviluppo del terz’ordine si dimostra invece l’approssimazione giusta per risolvere il limite:

si ha infatti:

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che o(x³) va a zero più velocemente di x³ e quindi

 

(228)