Si calcoli il limite:
in dipendenza del parametro α > 0.
Soluzione
Dato che:
Indice
Cambio di variabile nel calcolo dei limiti
Siano f , g due funzioni tali che è definita f ◦ g e supponiamo che
Questo importante teorema ci permette di effettuare la sostituzione t = g (x )
ed invece di calcolare il limite
Usando lo sviluppo di Maclaurin
si ha:
Avremo i seguenti casi per y → 0 +:
Se α ∈ (0, 1)
Se α > 1
Se infine α = 1
si ha
che è una forma indeterminata.
Occorre allora considerare un termine in più nello sviluppo
il che conduce a (se α = 1)
Leggi anche:
Risoluzione della forma indeterminata 0/0 mediante formula di Taylor. Gli errori da non commettere mai.
In conclusione:
+∞ se 0 < α < 1
1/2 se α = 1
−∞ se α > 1.
Esercizio 2
Calcolare:
Soluzione
Calcoliamo più in generale al variare di β > 0:
Usiamo il teorema de l’Hopital;
posto
si ha
Esercizi dello stesso tipo:
Calcolo integrale: determinare la primitiva di una funzione integrale – temi d’esame
Esercizio 3
Si calcoli il limite
Soluzione
Poichè per y → 0 si ha
la funzione data vale:
Esercizio 4
Si calcoli il limite
Soluzione
Osserviamo che
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