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Definizioni di limite
Il concetto di limite è fondamentale. Importanti concetti matematici sono definiti attraverso il concetto di limite. In questo articolo vediamo anzitutto una definizione rigorosa di tale concetto. Rinuncio ad una definizione generale, peraltro non molto più difficile, per presentare varie definizioni per i vari casi possibili, ritenendo che questo approccio faciliti lo studente, permettendogli di fissare l’attenzione su situazioni di volta in volta specifiche.
Prima di entrare nelle definizioni rigorose, cerchiamo di capire il significato concreto di quello che vogliamo definire.
Se abbiamo una funzione, può succedere che non possiamo calcolare il valore che essa assume in corrispondenza di tutti i numeri reali, per il semplice fatto che, come abbiamo visto, ci sono funzioni che non sono definite in tutto R.
Supponiamo ad esempio che la funzione f sia definita in un intervallo e che non sia definita in un punto, chiamiamolo c, di tale intervallo. Quindi non possiamo calcolare f(c). Però possiamo chiederci: se la variabile x della nostra funzione si avvicina “infinitamente” al punto c (e questo lo può fare perchè f è definita attorno a c), a quale valore, se c’è, si avvicina il valore di f(x)? Questo valore è appunto il limite per x che tende a c della funzione f.
Ecco la definizione rigorosa, nei diversi casi che si possono presentare.
Limite finito al finito
Si parla di limite finito al finito quando il valore a cui tende la variabile x è un numero reale ed il limite è pure un numero reale (non abbiamo quindi a che fare con infiniti).
Limite per x → a+ (limite destro)
Sia f : (a, b) → R, con (a, b) intervallo limitato di R.
Definizione
Si scrive
se, per ogni intorno (ℓ − ε, ℓ + ε) del limite ℓ, esiste un intorno destro [a, a + δ) di a tale che per ogni x ∈ (a, a + δ) si ha che f(x) ∈ (ℓ − ε, ℓ + ε).
Osservazione
Si osservi subito che nella scrittura “per ogni x ∈ (a, a+δ)”, la parentesi su a è tonda: significa che la definizione non chiede nulla circa il valore f(a), che potrebbe anche non esistere, dato che si parla di funzione definita in (a, b). Se la funzione f è definita anche in a, la definizione comunque non chiede nulla su f(a).
La definizione quindi chiede che, qualunque sia ε > 0, ci sia un intorno destro di a per cui i valori degli x che stanno in questo intorno, eccettuato il punto a, abbiano un corrispondente f(x) che appartiene all’intorno di raggio ε del limite. Vuol dire in pratica che possiamo ottenere valori della funzione arbitrariamente vicini al limite ℓ purchè scegliamo valori x sufficientemente vicini (a destra) al punto a.
Osservazione sulle notazioni utilizzabili:
la condizione x ∈ (a, a+δ) si può anche esprimere scrivendo a < x < a+δ, e la condizione f(x) ∈ (ℓ−ε, ℓ+ε) si può indifferentemente esprimere scrivendo ℓ−ε < f(x) < ℓ+ε oppure |f(x)−ℓ| < ε.
Quindi la definizione si può anche formulare più sinteticamente scrivendo che
∀ε > 0 ∃δ > 0 : a < x < a + δ =⇒ ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε (oppure |f(x) − ℓ| < ε).
Osservazione di carattere “operativo”:
se dobbiamo provare che è vera una certa scrittura di limite basta provare che per ogni ε > 0 l’insieme delle soluzioni della disequazione
|f(x) − ℓ| < ε
contiene un insieme del tipo (a, a + δ) per qualche δ > 0, cioè contiene un intorno destro di a (a escluso).
Limite per x → b− (limite sinistro)
Sia sempre f : (a, b) → R, con (a, b) intervallo limitato di R.
Definizione
Si scrive
se, per ogni intorno (ℓ − ε, ℓ + ε) del limite ℓ, esiste un intorno sinistro (b − δ, b] di b tale che per ogni x ∈ (b − δ, b) si ha che f(x) ∈ (ℓ − ε, ℓ + ε).
Osservazione
Anche in questo caso non si chiede nulla su f(b). Analogamente a quanto fatto prima, la cosa si può esprimere scrivendo che
∀ε > 0 ∃δ > 0 : b − δ < x < b = ⇒ ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε.
Osservazione (di carattere operativo).
Per provare che èvera una certa scrittura di limite da sinistra basta provare che per ogni ε > 0 l’insieme delle soluzioni della disequazione
|f(x) − ℓ| < ε
contiene un insieme del tipo (b − δ, b) per qualche δ > 0, cioè un intorno sinistro di b (b escluso).
Limite per x → c (limite bilatero)
Sia (a, b) un intervallo e sia c ∈ (a, b). Sia poi f : (a, b) \ {c} → R.
(La scrittura (a, b) \ {c} indica l’intervallo (a, b) privato del punto c. Quindi si considera una funzione che è definita in (a, c) ∪ (c, b), e cioè può non essere definita nel punto c.)
Definizione
Si scrive
se, per ogni intorno (ℓ − ε, ℓ + ε) del limite ℓ, esiste un intorno (c − δ, c + δ) di c tale che per ogni x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c} si ha che f(x) ∈ (ℓ − ε, ℓ + ε).
Osservazione
Si osservi che qui, analogamente a quanto fatto prima con i limiti da destra e da sinistra, non si chiede nulla su f(c), e quindi si considera l’intorno (c − δ, c + δ) privato del punto c. La definizione in questo caso si può dare in forma compatta scrivendo che
∀ε > 0 ∃δ > 0 : c − δ < x < c + δ, x 6= c, =⇒ ℓ − ε < f(x) < ℓ + ε.
Di solito il limite bilatero si chiama semplicemente limite. Quindi, dicendo limite, si allude al limite bilatero.
Osservazione
Anche in questo caso la nota di carattere operativo. Per provare che è vera una certa scrittura di limite bilatero basta provare che per ogni ε > 0 l’insieme delle soluzioni della disequazione |f(x) − ℓ| < ε contiene un insieme del tipo (c − δ, c) ∪ (c, c + δ) per qualche δ > 0, cioè un intorno di c (con c escluso).
Osservazione
Per provare invece la falsità di una certa scrittura di limite basta trovare un particolare valore di ε per cui la condizione della definizione risulta falsa.
ESEMPIO 1
La seguente scrittura è vera:
Infatti, fissato un qualunque intorno (−ε, ε) del limite 0, osserviamo che il valore della funzione (x − 1) appartiene a tale intorno se e solo se
|x − 1| < ε, cioè se e solo se 1 − ε < x < 1 + ε.
Le soluzioni costituiscono proprio un intorno del punto 1, l’intorno (1 − ε, 1 + ε).
ESEMPIO 2
Proviamo ora con la definizione che invece non è vera la scrittura
Fissato un intorno (1 − ε, 1 + ε) del limite 1, consideriamo la disuguaglianza
|x + 1 − 1| < ε, cioè |x| < ε.
Le soluzioni della disequazione sono date dall’intervallo (−ε, ε). Evidentemente tale insieme non contiene sempre un intorno di 1:
ad esempio, per ε = 1/2, esso è fatto di punti esterni ad un intorno di 1. La scrittura di limite quindi è falsa.
ESEMPIO 3
Proviamo che
Fissato un qualunque ε > 0 che definisce un intorno (1 − ε, 1 + ε) del limite 1, consideriamo la disuguaglianza | ln x− 1| < ε, che equivale a
1 − ε < ln x < 1 + ε, che equivale a sua volta a e1−ε < x < e1+ε. Si tratta di un intervallo che contiene certamente un intorno di e, dato che
e1−ε < e, mentre e1+ε > e.
ESEMPIO 4
Proviamo che
Fissato un qualunque intorno (−ε, ε) del limite 0, il valore della funzione e−1/x appartiene a tale intorno se e solo se
e−1/x < ε, cioè se e solo se −1/x < ln ε.
Se x > 0 (ricordare che il limite è per x → 0+), questa equivale a 1/x > − ln ε.
Ora, se ε > 1 (e quindi ln ε > 0), si ottiene x > −1/ln ε, che è un numero negativo.
Pertanto tutte le x positive soddisfano la disequazione ed è determinato un intorno destro di 0.
Se invece ε < 1 (e quindi ln ε < 0), si ottiene x < −1/ln ε, che è un numero positivo.
Pertanto soddisfano la disequazione tutte le x dell’intervallo (0, −1/ln ε), che è ancora un intorno destro di 0.
Se infine ε = 1 la disuguaglianza diventa −1/x < 0, cioè x > 0, insieme che contiene un intorno destro di 0.
Osservazione
Ribadisco che, dicendo “limite”, senza precisare se limite destro o limite sinistro, si intende limite da destra e da sinistra.
Si potrebbe dimostrare rigorosamente, ma è abbastanza facile intuirlo, che il limite esiste se e solo se esistono e sono uguali il limite destro e il limite sinistro. Può essere comodo talvolta (e lo faremo tra breve) calcolare il limite calcolando separatamente il limite destro e il limite sinistro.
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