Periodo di una permutazione
Una permutazione può essere considerata come un modo di riordinare una fila di oggetti numerati in ordine.
Ad esempio, partendo da 12345 possiamo ottenere 35124:
se esaminiamo la struttura di questa permutazione, osserviamo che essa è ottenuta scambiando gli oggetti al primo e terzo posto e permutando ciclicamente gli oggetti ai posti 2, 5 e 4. Questa azione di scambio di posti può essere iterata nuovamente: a partire da 35124, scambiando il primo e il terzo posto si ha 15324, e permutando ciclicamente i posti 2, 5 e 4 si arriva a 14352. Continuando ad applicare questa sequenza di operazioni si ottiene questa lista:
12345
35124
14352
32145
15324
34152
12345
La sesta volta si ottiene di nuovo l’ordine iniziale. In generale, il periodo di una permutazione è il numero minimo di volte che è necessario applicare una permutazione affinché si ritorni alla configurazione iniziale. Esiste un modo rapido per calcolare il periodo di una permutazione, che ora andremo ad illustrare.
Cominciamo con il fissare una notazione utile: una scrittura del tipo
significa che il primo posto è occupato dall’oggetto numero 3, il secondo dal numero 5 e così via.
Se consideriamo il numero 1 nella prima riga, la notazione ci dice che esso viene mandato al terzo posto. Se ora guardiamo il numero 3 nella prima riga vediamo che è spostato al primo posto. Nella successione delle permutazioni pertanto al primo posto si alternano 1 e 3, e al terzo posto 3 e 1. Un fenomeno analogo succede per i posti 2, 5 e 4.
Si è soliti usare una scrittura del tipo:
Prendiamo in esame quello che accade ai posti 1 e 3: applicando un numero pari di volte la permutazione, si ritrova la configurazione iniziale. Nei posti 2,5 e 4 invece la situazione iniziale si ritrova ogni 3 volte.
Ne segue che per ottenere di nuovo la successione 12345 è necessario applicare la permutazione (13)(254) per 6 volte.
In generale, una volta scritta la permutazione nella forma:
⇒ il suo periodo è il minimo comune multiplo dei numeri n,m …q
Consideriamo la permutazione:
Come scriverla nella forma indicata sopra?
Vediamo che cosa fa l’oggetto 1 applicandola ripetutamente: esso va nel posto 5, poi di nuovo nel posto 1, e analogamente per i posti 5 e 6. Nel segue che possiamo scrivere la permutazione come (15)(24) e pertanto il suo periodo è 2. Invece il periodo di
è 4. Infatti, l’oggetto 1 va nel posto 2, e poi (nell’ordine) nei posti 3 e 4, per poi tornare nella sua posizione iniziale. L’oggetto 5 invece va nel posto 6 e poi di nuovo nel posto 5: possiamo quindi scrivere la permutazione come (1234)(56).
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(1259)