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Teorema di de L’Hopital:
LEGGI: IL TEOREMA DI DE L’HOPITAL
A volte il precedente teorema viene utilizzato in modo improprio cioè anche in situazioni in cui le ipotesi non sono verificate. Facciamo ora vedere l’importanza delle ipotesi.
Ipotesi a)
Si consideri
Mentre se si applicasse de L’Hopital si avrebbe 1 come limite. Si noti che quest’ultimo è il limite corretto nel caso x0 = ±∞.
Ciò avviene perché in tal caso le ipotesi del teorema sono soddisfatte in quanto il limite considerato è una forma indeterminata del tipo ∞ / ∞.
Un altro esempio in cui se non vale l’ipotesi a) allora la tesi è falsa è il seguente:
Il limite è, infatti, -∞. Mentre applicando de L’Hopital si avrebbe +∞. (Si faccia tutte le verifiche).
Ipotesi b)
L’ipotesi b) ci assicura l’esistenza della funzione
La funzione g̃ non è altro che il prolungamento per continuità di g.
Ipotesi c)
Può accadere che il limite del rapporto delle derivate non esista mentre esiste il limite cercato. Ad esempio si consideri:
Tale limite è chiaramente 1. Se si applica de L’Hopital si ottiene, derivando numeratore e denominatore
che non esiste.
ESERCIZIO 1:
Calcoliamo:
SOLUZIONE:
Questa è una forma indeterminata del tipo 0/0.
Le ipotesi a) e b) sono verificate. Derivando numeratore e denominatore si ottiene:
Sicché per il Teorema di de L’Hopital si ha che il limite cercato è 2/3.
ESERCIZIO 2:
Calcoliamo
SOLUZIONE:
Innanzitutto notiamo che per note proprietà del logaritmo il precedente limite è equivalente a
Tale limite è una forma indeterminata del tipo 0/0.
e l’ipotesi b) è chiaramente verificata. Il rapporto delle derivate è
e quindi, essendo verificata l’ipotesi c),
Osserviamo che questo limite era possibile calcolarlo in modo semplice, utilizzando i limiti notevoli.(Provare!)
ESERCIZIO 3:
Calcoliamo
SOLUZIONE:
Con facili calcoli il precedente limite è equivalente a calcolare
che è una forma indeterminata del tipo 0/0. Calcoliamo il rapporto delle derivate. Si ottiene
che è di nuovo una forma indeterminata. Derivando nuovamente si ha
Dividendo e moltiplicando numeratore per x2 ed utilizzando ripetutamente il limite notevole
si ottiene che questo limite è -1/3 e quindi per il Teorema di de L’Hopital anche il limite richiesto è -1/3.
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