Teoremi sulle funzioni derivabili

Teorema di Weierstrass

Sia f : [a, b] → R

Ipotesi:
f(x) funzione continua in [a, b]
Tesi:
allora f(x) assume massimo (M) e minimo (m) nell’intervallo [a, b], cioè esistono x_m, x_M ∈ [a, b]tali che:
∀x ∈ [a, b] si abbia f(x_m) ≤ f(x) ≤ f(x_M)
dove f(x_m) = m f(x_M) = M

Punto critico o punto stazionario

Definizione:
In analisi matematica si chiama punto critico o punto stazionario di una funzione derivabile definita su un insieme aperto dei numeri reali a valori reali

f : [a, b] → R

un punto x0 in cui la derivata f′(x₀) si annulla:

x₀ stazionario ⇔ f′(x₀) = 0

Teorema di Fermat

Ipotesi:
Sia una funzione f : [a, b] → R
si supponga che x₀ sia interno ad (a, b) ed esso sia un punto di massimo (Max) o di minimo (Min) relativo di f.
Se f è derivabile in x₀, allora
Tesi:
f′(x₀) = 0.

Dimostrazione:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Teorema di Fermat

Se x₀ punto di Max o di Min ed f è derivabile in x₀ ⇒ f'(x₀) = 0.
Osservazioni:
* si tratta di una condizione necessaria ma non sufficiente, infatti può anche accadere che f′(x₀) = 0 eppure x₀ non è un punto estremo, cioè di Max o di Min, ma di flesso a tangente orizzontale;
* in altre parole nelle ipotesi del teorema è vero che tutti i punti estremi sono stazionari, ma esistono anche alcuni punti stazionari che non sono punti estremi.
* Nel caso che una delle ipotesi non sia verificata, come la derivabilità in x₀, si potrebbe avere ancora un punto di Max o di Min senza che sia verificata la tesi del teorema.

Teorema di Rolle

Sia f : [a, b] → R
Ipotesi:

•  f(x) funzione continua in [a, b]
•  f(x) derivabile in (a, b) e assume valori uguali f(a) = f(b)

Tesi:
esiste almeno un punto critico o stazionario x₀ interno ad (a, b), cioè un punto x₀ ∈ (a, b) la cui derivata si annulla (f′(x₀) = 0).

Teorema di Rolle

Se f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b) ∧ f(a) = f(b) ⇒ ∃x₀ ∈ (a,b) : f′(x₀) = 0

Significato geometrico

Se il grafico di una funzione è dotato di tangente (cioè è derivabile) in tutti i punti interni all’intervallo [a,b] ed assume lo stesso valore agli estremi dell’intervallo, allora esiste almeno un punto in cui la tangente è orizzontale (la funzione ha un massimo o un minimo).

Teorema di Rolle: dimostrazione.

In virtù del Teorema di Weierstrass la funzione sull’intervallo [a, b] ammette massimo e minimo assoluti (che indichiamo rispettivamente con M e m).
Caso 1) Il massimo e il minimo sono entrambi raggiunti negli estremi e quindi poiché f(a) = f(b) ne segue che M = m.
Questo implica che la funzione è costante sull’intervallo [a, b] e quindi la derivata è nulla in ciascun punto c dell’intervallo (a, b).
Caso 2) Il massimo o il minimo sono raggiunti all’interno dell’intervallo. Per fissare le idee, consideriamo il caso in cui il massimo è raggiunto in un punto c dell’intervallo aperto (a, b),cioè f(c) = M.
Dunque per il Teorema di Fermat sui punti stazionari la derivata è nulla nel punto c.

Il teorema di Rolle. Approfondimenti ed esempi

Teorema di Lagrange o del valor medio

Ipotesi:
f(x) funzione continua in [a, b]
f(x) derivabile in (a, b)

Tesi:
esiste almeno un punto x₀ appartenente ad (a, b) per cui:
f′(x₀) = f(b) − f(a)/(b − a)

Significato geometrico del teorema di Lagrange

Se un arco di curva continua in [a,b] è dotato di tangente in tutti i punti dell’intervallo (a,b) esclusi al più gli estremi, allora esiste un punto interno all’arco in cui la tangente è parallela alla corda congiungente gli estremi dell’arco di curva.

Teorema di Cauchy o degli incrementi finiti

Ipotesi:
f(x) e g(x) funzioni continue in [a, b]
f(x) e g(x) derivabili in (a, b) con g′(x) ≠ 0 in (a, b)
Tesi:
esiste almeno un punto c interno all’intervallo [a, b] in cui
f′(c)g′(c)=f(b) − f(a)/g(b) − g(a).
Osservazione:
la condizione g′(x) ≠ 0 in (a, b) garantisce che g(b) ≠ g(a), infatti se così non fosse potrei applicare Rolle a g(x) e ottenere che g(x)si annulli in qualche punto contrariamente all’ipotesi.

Regola di de l’Hôpital

dimostrazione

 

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