Funzioni iniettive

Immagine

Considerato un elemento x del dominio A, il corrispondente valore f(x) si chiama anche immagine di x mediante la funzione f.

Se anzichè un singolo x ∈ A si considerano tutti quelli che appartengono ad un sottoinsieme C ⊆ A, l’insieme
Spesso si parla dell’immagine di una funzione f senza specificare l’insieme C: in tal caso si intende che C = A, cioè si vuol parlare dell’immagine di tutto il dominio.

Se B è il codominio di f, è chiaro che si ha f(A) ⊆ B.

Per esempio, l’immagine di una funzione costante è costituita da un solo elemento mentre l’immagine di id_A è id_A(A) = A.

Controimmagine o immagine inversa

Sia f : A → B una funzione e sia D ⊆ B.

Si chiama controimmagine o immagine inversa di D mediante
f e si denota con f⁻¹(D) il seguente sottoinsieme di A:

 

Funzione iniettiva

Definizione

Una funzione da A a B è iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A.

Nel caso di una funzione reale di variabile reale, una funzione iniettiva ha il grafico che viene intersecato al più una sola volta da qualsiasi retta orizzontale.

Dicendo al più, intendiamo che ci possono essere elementi di B che non sono immagini di elementi di A, ma non possono esserci elementi di B che sono immagini di più di un elemento di A.
Quindi, se una funzione è iniettiva:

• a due elementi distinti del dominio corrispondono sempre due elementi
distinti dell’insieme immagine:

x₁≠ x₂ ⇒f(x₁)≠ f(x₂)

• non è detto che l’insieme B di arrivo coincida con l’immagine.

Esempio 1

y = 2x – 1

è iniettiva perché ogni valore assunto da y è immagine di un solo valore di x:

Esempio 2

y = x² – 2x + 2

non è iniettiva.
Scegliamo, per esempio, y = 5.

Sostituendo, otteniamo:

Il valore 5 della y è immagine di due diversi valori della x, – 1 e 3.

Come si dimostra che una funzione non è iniettiva?

In generale, per dimostrare che una funzione non è iniettiva, è sufficiente:

• algebricamente, trovare due valori x₁ e x₂ appartenenti al dominio tali che

f(x₁) = f(x₂)

• graficamente, verificare che una retta parallela all’asse x interseca il grafico della funzione in più di un punto.

 

Esempio 3

a) La funzione che associa ad ogni persona il relativo codice fiscale è una funzione iniettiva (perchè i codici fiscali sono tutti diversi).
b) La funzione che associa ad ogni persona residente in Udine la casa in cui risiede non è iniettiva perchè persone che abitano nella stessa casa hanno lo stesso corrispondente.

Esempio 4

Stabilire se la seguente funzione è iniettiva:

 

⇒ la funzione non è iniettiva.

Esempio 5

Stabilire se la seguente funzione è iniettiva:

 

⇒ la funzione non è iniettiva.

Funzioni Iniettive: Definizione, Esempi, Proprietà e Applicazioni Pratiche

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