Come ricavare f(x) da f(ax+b): guida alla sostituzione
Molte volte, davanti a un esercizio di matematica, il nostro stesso istinto ci tradisce.
Quando leggiamo un’espressione come [math]f(x+5) = x^2+5x-1[/math] e ci viene chiesto di calcolare [math]f(x-5)[/math], la tentazione di prendere quell’ [math]x-5[/math] e buttarlo dentro alla cieca è forte.
Sembra logico, vero? Eppure, è proprio qui che scatta l’errore da penna rossa.
Le funzioni non ragionano per “simpatia” ma per strutture rigorose. Quel testo non ti sta dicendo come si comporta la funzione di base, ma ti sta mostrando il risultato di una funzione il cui input è già stato modificato.
La strategia corretta consiste sempre nel ricostruire prima la forma originaria [math]f(x)[/math].
In questo articolo vediamo un metodo sistematico per affrontare con successo questo tipo di problemi senza affidarsi all’intuito: il cambio di variabile.
Testo dell’esercizio di base
Sia [math]f[/math] una funzione tale che:
[math]\displaystyle f(x+5)=x^2+5x-1[/math]
Determinare l’espressione di [math]f(x-5)[/math].
Soluzione e Metodo
L’informazione fornita riguarda il valore della funzione quando l’argomento è [math]x+5[/math]. Per ricavare [math]f(x-5)[/math] dobbiamo effettuare, per l’appunto, un cambio di variabile.
Fase 1: Sostituzione
Poniamo una nuova variabile ausiliaria:
[math]\displaystyle t=x+5[/math]
Di conseguenza, isolando la [math]x[/math], otteniamo:
[math]\displaystyle x=t-5[/math]
Sostituiamo ora questa espressione nella relazione di partenza:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(t) &= (t-5)^2 + 5(t-5) – 1 \\
&= t^2 -10t +25 +5t -25 -1 \\
&= t^2 -5t -1
\end{aligned}[/math]
Abbiamo quindi “ripulito” la funzione, ottenendo la sua forma originaria indipendente:
[math]\displaystyle f(x)=x^2-5x-1[/math]
Fase 2: Calcolo della richiesta
Ora che conosciamo la struttura di base di [math]f[/math], possiamo calcolare in sicurezza [math]f(x-5)[/math]:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x-5) &= (x-5)^2 -5(x-5) -1 \\
&= (x^2 -10x +25) -5x +25 -1 \\
&= x^2 -15x +49
\end{aligned}[/math]
Risultato finale: [math]f(x-5)=x^2-15x+49[/math]
Verifica:
Se prendiamo la funzione trovata [math]f(x)=x^2-5x-1[/math] e calcoliamo [math]f(x+5)[/math] come controprova, otterremo esattamente l’espressione assegnata dal problema iniziale.
Provare per credere! 😉
La Tecnica Generale
Quando compare una relazione del tipo [math]f(ax+b)=g(x)[/math], la procedura sistematica (valida per polinomi, funzioni razionali, esponenziali e logaritmiche) è sempre questa:
- Porre [math]t=ax+b[/math]
- Ricavare [math]x=\frac{t-b}{a}[/math]
- Sostituire in [math]g(x)[/math]
- Ottenere [math]f(t)[/math]
- Rinominare [math]t[/math] con [math]x[/math] per comodità.
Esercizi avanzati
Esercizio 1: Cambio di variabile base
Se
[math]f(x+3)=2x^2-4x+7[/math],
determinare [math]f(x-2)[/math].
Soluzione
Poniamo
[math]t=x+3[/math].
Allora
[math]x=t-3[/math].
Si ha
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(t) &= 2(t-3)^2 -4(t-3) +7 \\
&= 2(t^2 -6t +9) -4t +12 +7 \\
&= 2t^2 -12t +18 -4t +19 \\
&= 2t^2 -16t +37.
\end{aligned}[/math]
Quindi
[math]f(x)=2x^2-16x+37[/math].
Ora:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x-2) &= 2(x-2)^2 -16(x-2) +37 \\
&= 2(x^2 -4x +4) -16x +32 +37 \\
&= 2x^2 -8x +8 -16x +69 \\
&= 2x^2 -24x +77.
\end{aligned}[/math]
Risposta
[math]f(x-2)=2x^2-24x+77[/math]
Verifica
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x+3) &= 2(x+3)^2 -16(x+3) +37 \\
&= 2x^2 -4x +7.
\end{aligned}[/math]
✓ Corretta.
Esercizio 2: Funzione razionale in input
Se
[math]f(2x-1)=x^2+4x+3[/math],
determinare [math]f(x)[/math].
Soluzione
Poniamo
[math]t=2x-1[/math].
Ricaviamo [math]x[/math]:
[math]x=\frac{t+1}{2}[/math].
Sostituiamo:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(t) &= \left(\frac{t+1}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{t+1}{2}\right) + 3 \\
&= \frac{(t+1)^2}{4} + 2(t+1) + 3 \\
&= \frac{t^2+2t+1}{4} + 2t + 2 + 3 \\
&= \frac{t^2+2t+1}{4} + 2t + 5 \\
&= \frac{t^2+2t+1 + 8t + 20}{4} \\
&= \frac{t^2+10t+21}{4}.
\end{aligned}[/math]
Quindi
[math]f(x)=\frac{x^2+10x+21}{4}[/math].
Verifica
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(2x-1) &= \frac{(2x-1)^2+10(2x-1)+21}{4} \\
&= \frac{4x^2-4x+1+20x-10+21}{4} \\
&= \frac{4x^2+16x+12}{4} \\
&= x^2+4x+3.
\end{aligned}[/math]
✓ Corretta.
Esercizio 3: Doppio cambio di input
Se
[math]f(3x+2)=9x^2+12x+10[/math],
determinare [math]f(x-1)[/math].
Soluzione
Poniamo
[math]t=3x+2[/math].
Allora
[math]x=\frac{t-2}{3}[/math].
Quindi
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(t) &= 9\left(\frac{t-2}{3}\right)^2 + 12\left(\frac{t-2}{3}\right) + 10 \\
&= (t-2)^2 + 4(t-2) + 10 \\
&= t^2 -4t +4 +4t -8 +10 \\
&= t^2 +6.
\end{aligned}[/math]
Dunque
[math]f(x)=x^2+6[/math].
Allora
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x-1) &= (x-1)^2 + 6 \\
&= x^2 -2x +7.
\end{aligned}[/math]
Risposta
[math]f(x-1)=x^2-2x+7[/math]
Verifica
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(3x+2) &= (3x+2)^2 + 6 \\
&= 9x^2 +12x +10.
\end{aligned}[/math]
✓ Corretta.
Esercizio 4 (Livello Olimpico): Equazione funzionale con polinomio
Se [math]f(x+1)+f(x-1)=2x^2+10[/math], e sappiamo che [math]f(x)[/math] è un polinomio di secondo grado,
determinare l’espressione di [math]f(x)[/math].
Soluzione
1. Impostiamo la forma generale della funzione
Il testo ci fornisce un’informazione fondamentale: [math]f(x)[/math] è un polinomio di secondo grado. Pertanto, possiamo scriverlo nella sua forma canonica generica utilizzando tre parametri incogniti ([math]a[/math], [math]b[/math], [math]c[/math]):
[math]\displaystyle f(x) = ax^2 + bx + c[/math]
Il nostro obiettivo finale è trovare proprio i valori numerici di [math]a[/math], [math]b[/math] e [math]c[/math].
2. Calcoliamo i singoli termini dell’equazione
Dobbiamo sostituire all’interno della nostra funzione generica prima l’argomento [math]x+1[/math] e poi l’argomento [math]x-1[/math]. Sviluppiamo i quadrati di binomio e moltiplichiamo con estrema attenzione:
Primo termine: [math]f(x+1)[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x+1) &= a(x+1)^2 + b(x+1) + c \\
&= a(x^2 + 2x + 1) + bx + b + c \\
&= ax^2 + 2ax + a + bx + b + c
\end{aligned}[/math]
Raccogliamo a fattor comune la [math]x[/math] per ordinare il polinomio:
[math]\displaystyle f(x+1) = ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)[/math]
Secondo termine: [math]f(x-1)[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x-1) &= a(x-1)^2 + b(x-1) + c \\
&= a(x^2 – 2x + 1) + bx – b + c \\
&= ax^2 – 2ax + a + bx – b + c
\end{aligned}[/math]
Di nuovo, ordiniamo raccogliendo la [math]x[/math]:
[math]\displaystyle f(x-1) = ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)[/math]
3. Eseguiamo la somma
Il testo dell’esercizio ci dice di sommare queste due espressioni. Sommiamo i termini simili (quelli con [math]x^2[/math], quelli con la [math]x[/math] e i termini noti senza la [math]x[/math]):
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x+1)+f(x-1) &= [ax^2 + ax^2] + [(2a+b)x + (-2a+b)x] + [(a+b+c) + (a-b+c)] \\
&= 2ax^2 + (2a + b – 2a + b)x + (a + b + c + a – b + c) \\
&= 2ax^2 + 2bx + 2a + 2c
\end{aligned}[/math]
Nota bene: I termini con [math]2a[/math] all’interno della parentesi della [math]x[/math] si annullano, mentre i termini [math]b[/math] si sommano. Nei termini noti, invece, è la [math]b[/math] ad annullarsi.
4. Applichiamo il Principio di Identità dei Polinomi
Ora abbiamo un’espressione completa per la parte sinistra dell’equazione. Il problema ci dice che questa somma deve essere esattamente uguale a [math]2x^2+10[/math]. Scriviamo l’uguaglianza:
[math]\displaystyle 2ax^2 + 2bx + (2a + 2c) = 2x^2 + 10[/math]
Affinché due polinomi siano identici per ogni valore di [math]x[/math], i coefficienti dei termini dello stesso grado devono essere uguali. Per visualizzarlo meglio, pensiamo al termine di destra come a [math]2x^2 + 0x + 10[/math].
Impostiamo quindi un sistema:
- Coefficiente di [math]x^2[/math]: [math]2a = 2[/math]
- Coefficiente di [math]x[/math]: [math]2b = 0[/math]
- Termine noto (senza [math]x[/math]): [math]2a + 2c = 10[/math]
5. Risolviamo il sistema
Risolvere questo sistema a cascata è rapidissimo:
Dalla prima equazione ricaviamo subito: [math]a = 1[/math].
Dalla seconda equazione ricaviamo: [math]b = 0[/math].
Sostituiamo [math]a=1[/math] nella terza equazione:
[math]\displaystyle 2(1) + 2c = 10 \implies 2c = 8 \implies c = 4[/math]
Risultato finale:
Sostituendo i valori trovati ([math]a=1[/math], [math]b=0[/math], [math]c=4[/math]) nella forma originaria [math]f(x) = ax^2 + bx + c[/math], la funzione cercata è:
[math]\displaystyle f(x) = x^2 + 4[/math]
Verifica (la prova del nove)
Per essere assolutamente certi del risultato, calcoliamo la somma richiesta dal problema usando la funzione appena trovata:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x+1) &= (x+1)^2 + 4 = x^2 + 2x + 1 + 4 = x^2 + 2x + 5 \\
f(x-1) &= (x-1)^2 + 4 = x^2 – 2x + 1 + 4 = x^2 – 2x + 5
\end{aligned}[/math]
Sommando i due risultati:
[math]\displaystyle (x^2 + 2x + 5) + (x^2 – 2x + 5) = 2x^2 + 10[/math]
L’identità è verificata e la nostra soluzione è corretta! ✓
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