Domanda Marshalliana vs Hicksiana: Guida Completa, Differenze e Calcolo (CV ed EV)

Domanda Marshalliana vs Domanda Hicksiana

Chiunque abbia studiato microeconomia, ha incontrato la distinzione tra domanda Marshalliana e Hicksiana: due concetti all’apparenza ostici, confinati tra derivate parziali e moltiplicatori di Lagrange.

Eppure, nella vita reale , queste due funzioni smettono di essere un puro esercizio matematico e diventano lo strumento con cui i governi quantificano i bonus bollette, le aziende farmaceutiche giustificano i prezzi dei medicinali salvavita e i ministeri misurano l’impatto reale di una tassa. La differenza tra l’analizzare un mercato con l’approccio di Marshall rispetto a quello di Hicks determina, letteralmente, il successo o il fallimento di politiche da miliardi di euro.

Vediamo esattamente perché, partendo dalla teoria fino ad arrivare al calcolo pratico dei sussidi.

Un Esempio Intuitivo

Immagina che il prezzo della benzina raddoppi da un giorno all’altro.

Un economista potrebbe formulare due domande apparentemente simili, ma profondamente diverse.

Domanda Marshalliana: quanto carburante comprerai con lo stesso stipendio?

Domanda Hicksiana: quanti soldi dovresti ricevere per continuare a vivere esattamente come prima nonostante l’aumento dei prezzi?

La prima descrive ciò che accade realmente quando il tuo reddito rimane invariato. La seconda immagina invece una compensazione economica sufficiente a mantenere costante il tuo livello di benessere.

Da questa differenza nasce gran parte dell’economia del welfare moderna.

Nella figura seguente sono rappresentate la domanda Marshalliana (blu) e la domanda Hicksiana (rossa) per uno stesso consumatore.

Il grafico consente di visualizzare immediatamente come i due approcci reagiscano in modo diverso alle variazioni di prezzo.

Il punto di partenza

Il punto rosso evidenzia la situazione iniziale.

Quando il prezzo del bene è pari a [math]1 \, €[/math], le due curve si incontrano in corrispondenza di una quantità pari a 50 unità. In questo caso il reddito disponibile è esattamente sufficiente per raggiungere il livello di benessere considerato e, di conseguenza, domanda Marshalliana e domanda Hicksiana coincidono.

È l’unico punto del grafico in cui le due prospettive producono lo stesso risultato.

Come leggere il grafico

Scegli un qualsiasi livello di prezzo sull’asse verticale e immagina di tracciare una linea orizzontale.

La quantità individuata sulla curva blu rappresenta ciò che il consumatore acquisterebbe realmente con il proprio reddito disponibile.

La quantità individuata sulla curva rossa rappresenta invece ciò che acquisterebbe se ricevesse una compensazione monetaria sufficiente a mantenere invariato il proprio benessere.

La distanza tra le due curve misura quindi la differenza tra domanda compensata e non compensata e rende visibile il ruolo dell’effetto reddito nelle scelte del consumatore.

Quando il prezzo aumenta

Osserviamo la parte superiore del grafico, dove il prezzo supera il livello iniziale di [math]1 \, €[/math].

Man mano che il prezzo cresce, la curva Marshalliana si colloca progressivamente a sinistra della curva Hicksiana. Il consumatore reale riduce gli acquisti non soltanto perché il bene è diventato relativamente più costoso, ma anche perché il suo potere d’acquisto si è ridotto.

Nella domanda Hicksiana, invece, il consumatore viene considerato come se ricevesse una compensazione monetaria sufficiente a mantenere invariato il proprio livello di utilità. In questo modo l’effetto reddito viene neutralizzato e rimane soltanto il puro effetto sostituzione.

Quando il prezzo diminuisce

Nella parte inferiore del grafico accade l’opposto.

Se il prezzo scende sotto [math]1 \, €[/math], la curva Marshalliana si sposta progressivamente a destra della Hicksiana. Il consumatore beneficia infatti di un aumento del proprio potere d’acquisto e, trattandosi di un bene normale, tende ad acquistarne una quantità maggiore.

La domanda Hicksiana esclude questo effetto di arricchimento e mostra esclusivamente come cambierebbero le scelte mantenendo costante il livello di benessere.

Perché questa differenza è importante

La distanza tra le due curve non è una semplice curiosità teorica.

È proprio questa differenza che permette agli economisti di stimare correttamente il valore dei sussidi energetici, l’impatto delle tasse ambientali e gli effetti reali delle politiche pubbliche sul benessere dei cittadini.

Comprendere la distinzione tra domanda Marshalliana e Hicksiana significa quindi comprendere la differenza tra osservare un comportamento di mercato e misurare il suo impatto effettivo sul welfare.

 

Il confronto tra la Domanda Marshalliana e la Domanda Hicksiana

Il confronto tra la Domanda Marshalliana (o domanda non compensata) e la Domanda Hicksiana (o domanda compensata) rappresenta il fulcro della teoria della dualità del consumatore.

Entrambe le funzioni descrivono la scelta ottima dei beni al variare dei prezzi, ma rispondono a due quesiti economici e matematici speculari.

Ecco l’analisi dettagliata delle loro caratteristiche, delle differenze e delle relazioni matematiche che le legano.

1. La Domanda Marshalliana: Il Problema Primal

La domanda Marshalliana affronta il problema decisionale dal punto di vista più intuitivo e aderente alla realtà: come massimizzare il benessere dato un budget fisso.

Problema di Ottimizzazione (Primal):

[math]\displaystyle \max_{x} U(x_1, x_2, \dots, x_n) \quad \text{s.t.} \quad \sum_{i=1}^{n} p_i x_i = I[/math]

Dove [math]U[/math] è la funzione di utilità, [math]p_i[/math] sono i prezzi e [math]I[/math] è il reddito nominale monetario.

Variabili di Controllo: Dipende dai prezzi e dal reddito nominale: [math]x_i^m(p, I)[/math].

Effetti di Prezzo: Quando il prezzo di un bene varia, la domanda Marshalliana cattura sia l’Effetto Sostituzione che l’Effetto Reddito. Se il prezzo scende, il consumatore non solo trova il bene più conveniente (sostituzione), ma si sente anche più ricco in termini di potere d’acquisto (reddito).

Strumento di Derivazione (Identità di Roy):

Se inseriamo le domande Marshalliane all’interno della funzione di utilità, otteniamo la Funzione di Utilità Indiretta [math]V(p, I)[/math]. Tramite l’Identità di Roy, possiamo riottenere la domanda Marshalliana differenziando [math]V[/math]:

[math]\displaystyle x_i^m(p, I) = -\frac{\frac{\partial V(p, I)}{\partial p_i}}{\frac{\partial V(p, I)}{\partial I}}[/math]

2. La Domanda Hicksiana: Il Problema Duale

La domanda Hicksiana adotta un approccio puramente teorico ma fondamentale per il benessere: come minimizzare la spesa monetaria per mantenere un livello di utilità costante (target). Viene definita “compensata” perché immagina di variare il reddito del consumatore per compensare esattamente la variazione di utilità dovuta a un cambio di prezzo.

Problema di Ottimizzazione (Duale):

[math]\displaystyle \min_{x} \sum_{i=1}^{n} p_i x_i \quad \text{s.t.} \quad U(x_1, x_2, \dots, x_n) = u[/math]

Dove [math]u[/math] è il livello di utilità prefissato che si desidera raggiungere.

Variabili di Controllo (Argomenti): Dipende dai prezzi e dal livello di utilità target: [math]x_i^h(p, u)[/math].

Effetti di Prezzo: Per costruzione, la domanda Hicksiana isola ed esprime esclusivamente l’Effetto Sostituzione. Poiché l’utilità è vincolata a rimanere costante ([math]u[/math]), non esiste l’effetto reddito.

Strumento di Derivazione (Lemma di Shephard): Se inseriamo le domande Hicksiane nella funzione di spesa biologica, otteniamo la Funzione di Spesa [math]E(p, u)[/math].

Applicando il Lemma di Shephard, la derivata parziale della funzione di spesa rispetto al prezzo di un bene restituisce direttamente la sua domanda Hicksiana:

[math]\displaystyle x_i^h(p, u) = \frac{\partial E(p, u)}{\partial p_i}[/math]

Sintesi della Dualità

Caratteristica	Domanda Marshalliana ([math]x^m[/math])	Domanda Hicksiana ([math]x^h[/math])
Problema di origine	Primal (Massimizzazione dell’Utilità)	Duale (Minimizzazione della Spesa)
Vincolo matematico	Reddito monetario fisso ([math]I[/math])	Livello di utilità fisso ([math]u[/math])
Variabili indipendenti	Prezzi e Reddito ([math]p, I[/math])	Prezzi e Utilità ([math]p, u[/math])
Effetti inclusi	Effetto Sostituzione + Effetto Reddito	Solo Effetto Sostituzione
Funzione associata	Funzione di Utilità Indiretta [math]V(p, I)[/math]	Funzione di Spesa [math]E(p, u)[/math]
Identità chiave	Identità di Roy	Lemma di Shephard
Osservabilità	Direttamente osservabile nei mercati reali	Teorica, non osservabile direttamente

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3. Il Collegamento Matematico: L’Equazione di Slutsky

Le due domande non sono isolate, ma rappresentano due facce della stessa medaglia economica. All’equilibrio ottimale, se il reddito [math]I[/math] è esattamente pari alla spesa minima necessaria per raggiungere l’utilità [math]u[/math] (ovvero [math]I = E(p,u)[/math]), allora le quantità scelte coincidono:

[math]\displaystyle x_i^h(p, u) = x_i^m(p, E(p, u))[/math]

[math]\displaystyle x_i^m(p, I) = x_i^h(p, V(p, I))[/math]

Da questa identità, derivando rispetto al prezzo [math]p_j[/math], si ottiene la celebre Equazione di Slutsky, che scompone analiticamente la variazione della domanda Marshalliana:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
\frac{\partial x_i^m(p, I)}{\partial p_j}
&= \underbrace{\frac{\partial x_i^h(p, u)}{\partial p_j}}_{\text{Effetto Sostituzione}}
– \underbrace{x_j^m(p, I) \frac{\partial x_i^m(p, I)}{\partial I}}_{\text{Effetto Reddito}}
\end{aligned}
[/math]

Nota sull’inclinazione:

Poiché l’effetto sostituzione proprio ([math]\frac{\partial x_i^h}{\partial p_i}[/math]) è matematicamente sempre negativo (proprietà di concavità della funzione di spesa), la curva di domanda Hicksiana è sempre inclinata negativamente. La curva Marshalliana, invece, può teoricamente inclinarsi positivamente se l’effetto reddito è positivo, opposto e superiore all’effetto sostituzione (il caso dei Beni di Giffen).

La distinzione tra domanda Marshalliana e Hicksiana possa sembrare un elegante esercizio di stile matematico, essa rappresenta lo strumento fondamentale con cui economisti, policy maker e manager quantitativi affrontano problemi reali di welfare, pricing e fiscalità.

Dai Modelli ai Mercati: Perché Sbagliare Curva Costa Miliardi

Sebbene la distinzione tra domanda Marshalliana e Hicksiana possa sembrare un elegante virtuosismo matematico, essa è lo strumento operativo con cui policy maker e manager affrontano problemi reali. Distinguere tra il “sentirsi più poveri” (Effetto Reddito) e lo “scegliere un’alternativa più conveniente” (Effetto Sostituzione) fa la differenza tra una policy funzionante e un disastro finanziario.

Caso di Studio 1: Shock Energetici e Variazione Compensativa

Di fronte a un’impennata dei prezzi del gas o dell’energia elettrica, i governi devono stanziare sussidi per le famiglie. Se un analista calcolasse l’impatto usando la variazione del Surplus del Consumatore sulla curva Marshalliana, produrrebbe stime distorte. I governi moderni utilizzano la Variazione Compensativa ([math]CV[/math]), derivata dalla domanda Hicksiana:

[math]\displaystyle CV = E(p_{\text{new}}, u_0) – E(p_{\text{old}}, u_0)[/math]

La [math]CV[/math] risponde a un quesito preciso: “Quanti euro esatti dobbiamo trasferire a questa famiglia affinché, ai nuovi prezzi dell’energia, mantenga lo stesso identico tenore di vita ([math]u_0[/math]) pre-crisi?”. Isolando l’effetto sostituzione, lo Stato evita di erogare sussidi eccessivi o insufficienti, ottimizzando la spesa pubblica.

Caso di Studio 2: Il Pricing delle Terapie GLP-1

Nel lancio di farmaci innovativi per obesità e diabete, i prezzi nominali sono spesso proibitivi. La Domanda Marshalliana mostra una forte sensibilità al prezzo: se costa troppo, i pazienti smettono di comprarlo. Questo però accade quasi unicamente per via del vincolo di bilancio (Effetto Reddito), dato che l’efficacia del farmaco rende l’effetto sostituzione quasi nullo.

Le aziende farmaceutiche utilizzano quindi i modelli di Domanda Hicksiana per dialogare con le autorità regolatorie (come l’AIFA o l’EMA). Dimostrano che, se il sistema sanitario assorbe la spesa tramite ticket (sterilizzando l’effetto reddito), il reale valore clinico intrinseco del farmaco giustifica l’investimento governativo a lungo termine.

Caso di Studio 3: La Carbon Tax e l’Excess Burden

Per progettare tasse ambientali efficaci, i Ministeri delle Finanze misurano la perdita secca (Deadweight Loss) generata dall’accisa. Calcolare questo danno usando la domanda Marshalliana confonde il calo del potere d’acquisto generale con la vera distorsione comportamentale.

L’inefficienza sistemica è causata solo dall’Effetto Sostituzione. Un bene primario molto inquinante può sembrare rigido sulla curva Marshalliana (la gente deve comunque andare a lavoro in auto). Tuttavia, la curva Hicksiana rivela l’effettiva distorsione fiscale: ignorare l’effetto reddito porta i governi a sovrastimare il gettito atteso e sottostimare la rabbia sociale generata dal provvedimento.

Il riflesso macroeconomico

Se un bene ha un forte effetto reddito (come i carburanti per i pendolari), la domanda Marshalliana sembrerà molto rigida. Si potrebbe pensare che una tassa sul carburante non distorca il comportamento. In realtà, la domanda Hicksiana (che isola il puro effetto sostituzione) rivela che la distorsione fiscale è presente ed è legata alla difficoltà di trovare alternative. Strutturare una riforma fiscale senza depurare l’effetto reddito significa sovrastimare il gettito fiscale atteso e sottostimare il malcontento sociale generato dalla tassa.

Sintesi Operativa per l’Analisi Economica

Quando ti trovi a pianificare un’analisi di mercato o di policy, la scelta dello strumento dipende dall’obiettivo:

• Usa i dati della Domanda Marshalliana se il tuo scopo è puramente previsionale a breve termine sulla base dei dati di vendita storici e osservabili (es. “Se aumento il prezzo del 5%, quale sarà l’impatto immediato sul mio fatturato cash?”).
• Usa i modelli della Domanda Hicksiana se stai progettando riforme strutturali, pacchetti di compensazione, sussidi, o se devi calcolare il reale valore di un bene al netto del vincolo di bilancio contingente dei consumatori.

Di seguito viene sviluppata la derivazione analitica e il calcolo numerico passo-passo della Variazione Compensativa (CV) e della Variazione Equivalente (EV), ipotizzando una classica funzione di utilità Cobb-Douglas e uno shock simmetrico (inflazionistico) sui prezzi di mercato.

1. Il Modello Analitico di Partenza

Consideriamo un consumatore con preferenze rappresentate da una funzione di utilità standard definita su due beni, [math]x_1[/math] e [math]x_2[/math]:

[math]\displaystyle U(x_1, x_2) = x_1^{0.5} x_2^{0.5}[/math]

Il consumatore dispone di un reddito nominale pari a [math]I[/math] e affronta i prezzi di mercato [math]p_1[/math] e [math]p_2[/math].

Derivazione delle domande Marshalliane

Risolvendo il problema primale di massimizzazione dell’utilità vincolata tramite il lagrangiano, si ottengono le celebri funzioni di domanda marshalliane, dove il consumatore alloca quote simmetriche del proprio budget (50% ciascuna) sui due beni:

[math]\displaystyle x_1^m(p_1, p_2, I) = \frac{I}{2p_1}[/math]

[math]\displaystyle x_2^m(p_1, p_2, I) = \frac{I}{2p_2}[/math]

La Funzione di Utilità Indiretta [math]V(p,I)[/math]

Sostituendo le domande marshalliane all’interno della funzione di utilità originaria, ricaviamo il massimo livello di benessere raggiungibile come funzione dei prezzi e del reddito:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
V(p_1, p_2, I)
&= \left( \frac{I}{2p_1} \right)^{0.5} \left( \frac{I}{2p_2} \right)^{0.5} \\
&= \frac{I}{2 \sqrt{p_1 p_2}}
\end{aligned}
[/math]

La Funzione di Spesa Duale [math]E(p,u)[/math]

Invertendo matematicamente la funzione di utilità indiretta rispetto al reddito [math]I[/math] (ponendo [math]V = u[/math]), isoliamo la spesa minima necessaria per raggiungere un target di utilità [math]u[/math]:

[math]\displaystyle u = \frac{E}{2 \sqrt{p_1 p_2}} \;\Rightarrow\; E(p_1, p_2, u) = 2u \sqrt{p_1 p_2}[/math]

2. Lo Shock Simmetrico sui Prezzi: I Dati Numerici

Impostiamo i parametri iniziali del mercato (Stato 0) e applichiamo uno shock esogeno simmetrico che raddoppia simultaneamente il costo di entrambi i beni (Stato 1), mantenendo invariato il budget nominale.

Reddito Nominale Costante: [math]I = 100 \, €[/math]

Vettori dei Prezzi:

• Prezzi Iniziali (Stato 0): [math]p_1^0 = 1 \, €, \quad p_2^0 = 1 \, €[/math]
• Prezzi Post-Shock (Stato 1): [math]p_1^1 = 2 \, €, \quad p_2^1 = 2 \, €[/math]

Calcolo dei livelli di utilità (Pre e Post Shock)

Calcoliamo l’utilità iniziale ([math]u_0[/math]) e l’utilità finale ([math]u_1[/math]) condizionata dallo shock simmetrico tramite la funzione [math]V(p,I)[/math]:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
u_0 &= V(1,1,100) = \frac{100}{2 \sqrt{1 \cdot 1}} = 50 \\
u_1 &= V(2,2,100) = \frac{100}{2 \sqrt{2 \cdot 2}} = \frac{100}{4} = 25
\end{aligned}
[/math]

A causa dello shock simmetrico sui prezzi, il benessere reale del consumatore si dimezza, passando da 50 a 25.

3. Calcolo della Variazione Compensativa (CV)

La Variazione Compensativa misura la quantità di reddito monetario aggiuntivo che deve essere fornita al consumatore dopo lo shock per consentirgli di ritornare esattamente al suo livello di utilità iniziale ([math]u_0[/math]), valutata ai nuovi prezzi di mercato ([math]p^1[/math]).

Analiticamente, la formula basata sulla funzione di spesa è:

[math]\displaystyle CV = E(p_1^1, p_2^1, u_0) – I[/math]

Sostituiamo i valori numerici all’interno della nostra funzione di spesa [math]E(p,u) = 2u \sqrt{p_1 p_2}[/math]:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
CV &= \left( 2 \cdot 50 \cdot \sqrt{2 \cdot 2} \right) – 100 \\
CV &= (100 \cdot 2) – 100 = 200 – 100 = 100 \, €
\end{aligned}
[/math]

Interpretazione Economica

La CV è pari a +100 €. Significa che, una volta che i prezzi sono raddoppiati, lo Stato dovrebbe erogare un sussidio di compensazione pari a 100 € (portando il budget totale del consumatore a 200 €) per fare in modo che l’individuo possa ristabilire il benessere di partenza ([math]u_0 = 50[/math]).

4. Calcolo della Variazione Equivalente (EV)

La Variazione Equivalente misura la perdita di reddito monetario che avrebbe lo stesso identico impatto sul benessere del consumatore rispetto allo shock dei prezzi, valutata però ai prezzi di partenza ([math]p^0[/math]). Risponde alla domanda: “Se potessimo evitare lo shock sui prezzi togliendo del denaro direttamente dal portafoglio del consumatore, quanti euro dovremmo sfilargli per ridurlo alla stessa utilità finale ([math]u_1[/math])?”

La formula analitica è:

[math]\displaystyle EV = I – E(p_1^0, p_2^0, u_1)[/math]

Applichiamo i dati numerici:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
EV &= 100 – \left( 2 \cdot 25 \cdot \sqrt{1 \cdot 1} \right) \\
EV &= 100 – (50 \cdot 1) = 100 – 50 = 50 \, €
\end{aligned}
[/math]

Interpretazione Economica

La EV è pari a 50 €. Questo indica che subire il raddoppio simmetrico dei prezzi con un budget di 100 € è matematicamente equivalente, in termini di perdita di utilità, a una situazione in cui i prezzi rimangono bassi ([math]p=1[/math]) ma il reddito nominale viene ridotto di 50 € (scendendo a un budget di 50 €).

5. Perché [math]CV \neq EV[/math]? L’Intuizione dell’Asimmetria

Nel nostro esempio numerico emerge chiaramente uno scostamento rilevante tra le due misure:

[math]\displaystyle CV = 100 \, € \neq EV = 50 \, €[/math]

Questo fenomeno non è un errore di calcolo, ma la diretta conseguenza del cambiamento nel potere d’acquisto della moneta che fa da base alla valutazione:

• La CV valuta la compensazione utilizzando come base i prezzi post-shock ([math]p^1 = 2[/math]). Poiché in quel momento storico i prezzi sono elevati, la moneta ha un potere d’acquisto ridotto. Di conseguenza, serve una quantità nominale di denaro maggiore (100 €) per acquistare il paniere compensativo.
• La EV valuta il danno economico utilizzando come base i prezzi originari ([math]p^0 = 1[/math]). A questi prezzi la moneta ha un forte potere d’acquisto; pertanto, per distruggere la stessa quantità di utilità interna, è sufficiente privare il consumatore di una somma nominale inferiore (50 €).

Per tutti i beni normali (come quelli descritti da una Cobb-Douglas), in caso di un aumento dei prezzi si verificherà sempre la relazione d’ordine:

[math]\displaystyle CV > \Delta CS > EV[/math]

Dove [math]\Delta CS[/math] rappresenta la variazione del Surplus del Consumatore calcolata sull’area della curva Marshalliana, che si colloca come una media geometrica approssimativa tra le due misure hicksiane esatte.

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