Indice
Crescenza, decrescenza di una funzione
Nell’ articolo precedente:
La formula di Taylor e alcune sue applicazioni. Criteri di convessità/concavità
ci siamo occupati di determinare, grazie alla formula di Taylor, un criterio generale per stabilire quando una funzione è convessa o concava in un intorno di un suo punto x0, e abbiamo visto che tale criterio guarda i segni e gli ordini delle derivate non nulle in x0 a partire dalla seconda.
Oraci occuperemo invece della crescenza o decrescenza della funzione e vedremo innanzitutto come sia la derivata prima a darci
un criterio sufficiente perchè la funzione sia crescente o decrescente, e in secondo luogo vedremo come quanto visto nell’articolo di cui sopra possa essere utilizzato per determinare se la funzione ha in x0 un massimo o un minimo locale.
Iniziamo con il ricordare che la derivata prima f ‘(x0) di f in x0 ci dà la pendenza (o meglio il cosiddetto coefficiente angolare) della retta tangente al grafico di f nel punto x0, che ha equazione
y = f(x0) + f ‘(x0)(x − x0)
Questa interpretazione geometrica della derivata prima ci consente di ottenere immediatamente un criterio sufficiente per la crescenza o descrescenza della funzione in un intorno di x0:
infatti, se f ‘(x0) > 0, allora la retta tangente ha pendenza positiva, e quindi deve essere crescente in un intorno di x0, mentre se f ‘(x0) < 0 allora la retta tangente ha pendenza negativa, e quindi la funzione deve essere decrescente in un intorno di x0.
Si noti che la funzione può poi cambiare andamento fuori da un intorno di x0.
I punti stazionari
Cosa succede nel caso in cui sia invece f ‘(x0) = 0?
In tal caso x0 si dice un punto stazionario.
Chiaramente, per l’interpretazione geometrica della derivata prima come coefficiente angolare della retta tangente, in tal caso la retta tangente al grafico di f in x0 deve essere orizzontale, come ad esempio succede nel caso dei grafici mostrati nella figura sopra. Ma come quegli stessi disegni dimostrano, in tal caso la funzione potrebbe avere un massimo, un minimo, essere crescente o essere decrescente, e quindi la derivata prima da sola non ci dà informazioni sufficienti.
Possiamo però, senza fare ulteriori ragionamenti, usare quanto già dimostrato nell’articolo precedente per ricavare un criterio generale che ci dia queste informazioni: infatti,
se f ‘(x0) = 0 allora, come abbiamo detto, la retta tangente al grafico di f in x0 è orizzontale con equazione y = f(x0) costante. In questo caso, dire che la funzione è convessa in un intorno di x0 significa che in un intorno di x0 il grafico di f sta tutto sopra la retta orizzontale data dal valore costante f(x0), e quindi
la funzione ha un minimo locale in f(x0); analogamente, dire che la funzione èconcava in un intorno di x0 significa che in un intorno di x0 il grafico di f sta tutto sotto la retta orizzontale data dal valore costante f(x0), e quindi la funzione ha un massimo locale in f(x0).
Il criterio dimostrato alla fine dell’articolo precedente diventa allora:
Sia data una funzione f che sia derivabile almeno n volte in x0 e per cui f ‘(x0) = 0 (cioè x0 è un punto stazionario). Se la prima derivata non nulla in x0 è f(n)(x0), allora:
(i) Se n è pari, la funzione ha un minimo locale se f(n)(x0) > 0 e massimo locale se f(n)(x0) < 0
(ii) Se n è dispari, x0 non è un punto nè di massimo nè di minimo ma la funzione ha un flesso (con tangente orizzontale) in x0, e in particolare passa da concava a convessa, se f(n)(x0) > 0 (quindi è crescente) e da convessa a concava se f (n)(x0) < 0 (quindi è decrescente).
Nota
Come semplice caso particolare, frequente negli esercizi, abbiamo ad esempio che se f ‘(x0) = 0 e f ”(x0) > 0 allora abbiamo un minimo, mentre se f ”(x0) < 0 allora abbiamo un massimo (è il caso più semplice, dell’affermazione precedente in cui la prima derivata non nulla è la seconda, cioè di ordine pari, e quindi si applica la (i)).
Osservazione
Quello che il criterio precedente ci dice è che f ‘(x0) = 0 (cioè che x0 sia un punto stazionario) non è una condizione sufficiente perchè x0 sia un massimo o un minimo locale (cioè un cosiddetto estremante): potrebbe trattarsi anche di un flesso. Tuttavia, è facile rendersi conto che si tratta di una condizione necessaria per avere un massimo o un minimo locale, cioè se x0 è un massimo o un minimo locale allora necessariamente f ‘(x0) = 0: infatti, in tali punti la tangente al grafico deve necessariamente essere orizzontale.
Per questo motivo, quando negli esercizi si va alla ricerca di massimi o minimi locali di una funzione f, si inizia calcolando la derivata prima di f e imponendo la condizione f ‘(x) = 0. Non è detto che tutti i punti che soddisfano questa condizione siano massimi o minimi locali, ma sicuramente i massimi e i minimi locali sono compresi tra questi. A quel punto, basta calcolare le derivate successive (potrebbe bastare la seconda, se non è nulla) e applicare il criterio di sopra per individuarli.
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