Si consideri la funzione
(a) Determinare il dominio di f,
(b) determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti di f,
(c) calcolare f ‘ e studiare la monotonia di f,
(d) calcolare i limiti di f ‘ agli estremi del dominio,
(e) dalle informazioni precedenti disegnare un abbozzo del grafico
Soluzione
Indice
Il dominio della funzione
La funzione è definita e continua in D = [0, + ∞).
Inoltre
La derivata
Prima di calcolare la derivata I conviene riscrivere la funzione come
Osserviamo che f ‘ (x) ristretta all’intervallo (0, 1/3) è sempre strettamente negativa.
Quindi, per x ∈ (1/3, + ∞), studiamo il segno della derivata prima:
ed, essendo − 2/3 < 1/3, ⇒ f ‘(x) < 0 in (1/3, + ∞).
Possiamo concludere che:
a) f(x) ristretta all’intervallo (0, 1/3) è monotona strettamente decrescente;
b) f(x) ristretta all’intervallo (1/3, + ∞) è monotona strettamente crescente.
Calcoliamo quindi i seguenti limiti:
da cui possiamo concludere in particolare che il punto (1/3, −√ 2/3 ) è una cuspide.
PUNTO DI CUSPIDE
Diciamo che x è un punto di cuspide per f se derivata destra e derivata sinistra di f in x valgono ∞ e sono di segno discorde.
Cioè:
Il grafico
(240)