Funzioni crescenti e decrescenti

Una funzione f(x) è monotona in un intervallo I se, per ogni x₁, x₂ ∈ I, risulta verificata una delle relazioni seguenti:

f(x) strettamente crescente : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
f(x) crescente : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)
f(x) strettamente decrescente : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)
f(x) decrescente : x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂).

Si dice che f(x) è strettamente monotona in I, se essa è strettamente crescente, oppure se è strettamente decrescente in I.

Il seguente criterio, basato sul segno della derivata prima, è molto utile
per stabilire se una data funzione è monotòna in un intervallo:

Sia f(x) una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b).

Allora,

se f ‘(x) ≥ 0, ∀ x ∈ (a, b) ⇒ f è crescente in [a, b];
se f ‘(x) > 0, ∀ x ∈ (a, b) ⇒ f è strettamente crescente in [a, b];
se f ‘(x) ≤ 0, ∀ x ∈ (a, b) ⇒ f è decrescente in [a, b];
se f ‘(x) < 0, ∀ x ∈ (a, b) ⇒ f è strettamente decrescente in [a, b].

Esercizio 1

Verificare che la funzione

f(x) = x(x² + 1)

è strettamente crescente su R.

Soluzione

La derivata

f ‘(x) = 3x² + 1

è positiva per ogni x ∈ R. Quindi f(x) è strettamente crescente su tutto l’asse reale.

Esercizio 2

Verificare che la funzione

f(x) = x⁴

è strettamente crescente per x ≥ 0, ed è strettamente decrescente per x ≤ 0.

Soluzione

La derivata

f ‘(x) = 4x³

è positiva per x > 0 ed è negativa per x < 0.

Esercizio 3

Verificare che, per n = 1, 2, 3, . . . , la funzione

f(x) = xⁿ

è strettamente crescente su R se n è dispari, mentre è strettamente crescente solo per x ≥ 0 se n è pari.

Soluzione

Se n è dispari allora n − 1 è pari;

in questo caso la derivata

f ‘(x) = nxⁿ⁻¹

è positiva per ogni x ≠ 0 (se n ≠ 1).

Se invece n è pari, allora n − 1 è dispari

e quindi

f ‘(x) ≷ 0 se x ≷ 0

Esercizio 4

Determinare gli intervalli in cui la seguente funzione risulta crescente o decrescente:

f(x) = x³(x − 2)

Soluzione

La derivata

f ‘(x) = 2x²(2x − 3)

si annulla per x = 0 e x = 3/2, ed è positiva per x > 3/2.

La funzione f(x), essendo strettamente decrescente in (−∞, 0] e [0, 3/2], è quindi strettamente decrescente nell’intervallo (−∞, 3/2], ed è strettamente crescente in [3/2, +∞);

Esercizio 5

Determinare gli intervalli in cui la seguente funzione risulta crescente o decrescente:

f(x) = (x² + 2x + 3)⁷

Soluzione

risulta

f ‘(x) = 14(x2 + 2x + 3)⁶(x + 1).

La derivata è positiva per x > −1 (infatti il trinomio x² + 2x + 3 non si annulla). La funzione f(x) è quindi (strettamente) crescente per x ≥ −1, ed è decrescente altrimenti.

Esercizio 6

Determinare gli intervalli di monotonia della funzione:

Soluzione

Risulta

f ‘(x) = (1 + x²)/(1 − x²)²

La derivata, quando esiste, è positiva. Perciò f(x) è crescente negli intervalli (−∞, −1), (−1, 1); (1, +∞).

Esercizio 7

Verificare che la seguente funzione è decrescente per x ∈ (1, +∞):

Soluzione

La funzione f(x) è definita con le limitazioni

che corrispondono a x > 1.

Pertanto f(x) è definita nell’intervallo (1, +∞).

Per calcolare la derivata f ‘(x) di f(x) utilizziamo la proprietà dei logaritmi:

da cui:

In base alla formula di derivazione delle funzioni composte,

la derivata di f(x) vale

Qualunque sia l’argomento delle funzioni seno e coseno, il risultato è un numero minore od uguale ad 1.

Si ottiene pertanto

Pertanto f ‘(x) < 0 in (1, +∞) e f(x) è una funzione strettamente decrescente in tale intervallo.

 

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