Della seguente funzione
si chiede di:
determinare l’insieme di definizione;
determinare l’insieme in cui è derivabile; calcolare la derivata, ove esiste;
studiare gli eventuali punti di non derivabilità (dire, cioè, se si tratta di punti angolosi, di cuspide, di flesso a tangente verticale, di discontinuità…)
Attenzione:
leggere attentamente che cosa è richiesto dall’esercizio e che cosa no! Questo esercizio non è uno “studio di funzione” ma uno “studio della derivabilità e dei punti di non derivabilità di una funzione”.
SOLUZIONE
La funzione è definita per x ≠ 3.
Nell’insieme di definizione è certamente derivabile tranne nei seguenti punti, che vanno studiati:
x = ±2 (argomento del modulo si annulla);
|x-3| = 1 (radicando si annulla), quindi x = 2 e x =4
Calcoliamo, per x ≠ ±2, 4:
perciò in x = -2 la funzione non è derivabile e ha un punto angoloso.
perciò f ‘(x)→ 0 , quindi in la funzione è derivabile con derivata nulla.
perciò x = 4 è punto (di non derivabilità) di flesso a tangente verticale, crescente.
Punti di non derivabilità
ESERCIZIO 2
Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E’ richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell’insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto il calcolo della derivata seconda.
SOLUZIONE
La funzione è definita per x ≠ -2.
Per x = -2 asintoto verticale per x → -2–
con crescita lineare.
Cerco eventuale asintoto obliquo:
Dunque esiste asintoto obliquo
Calcolo la derivata prima:
Grafico
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