Studio di funzione: un breve schema da seguire.

Lo studio di una funzione

Nello studio di una funzione f ( ) x è sempre meglio seguire uno scheda preordinato in modo poter utilizzare tutte le informazioni necessarie per poter tracciare un grafico
della funzione il più accurato possibile. Lo schema che vi consiglio è il seguente:

Determinare il campo di esistenza della funzione assegnata (questo è il punto più importante, determinare un errato campo di esistenza compromette l’intero studio di funzione). 

Le funzioni elementari

Si dividono in due classi:

Funzioni algebriche
Sono costituite da quelle funzioni dove il legame tra x e y è di tipo algebrico.
Possono essere cosi suddivise:
a) Funzioni razionali intere
b) Funzioni razionali fratte
c) Funzioni irrazionali

Funzioni trascendenti
Sono costituite da quelle funzioni dove il legame tra x e y non è di tipo algebrico.
Possono essere cosi suddivise:
a) Funzioni goniometriche
b) Funzioni esponenziali
c) Funzioni logaritmiche

Dominio o campo di esistenza

Assegnata una funzione è necessario determinare l’insieme dei valori della variabile indipendente che definisce la funzione.

Funzioni algebriche
a) Le funzioni razionali intere sono definite in tutto il campo reale.
b) Le funzioni razionali fratte sono definite per tutti quei valori che NON annullano il denominatore:

c) Il dominio delle funzionali irrazionali dipende dall’indice della radice,
distinguiamo quindi due casi:

• Se l’indice della radice è un numero pari il campo di esistenza è dato da tutti quei valori della x che rendono il radicando maggiore o uguale a zero.

• Se l’indice è dispari, le funzioni irrazionali sono definite su tutto il campo reale.

Funzioni trascendenti

a) Le funzioni goniometriche come seno e coseno sono definite in tutto l’asse reale, mentre tangente e cotangente sono definite per tutti quei valori che non annullano il denominatore.

Le funzioni inverse sono definite come segue:

b) Le funzioni esponenziali sono definite in tutto l’asse reale.

c) La funzione logaritmica è definita per tutti i valori della x che rendono l’argomento (del logaritmo) strettamente positivo.

Stabilire se vi sono eventuali simmetrie (rispetto all’origine, rispetto all’asse y o rispetto ad una retta generica, etc.).

Ricordiamo che:
Una funzione si dice “pari” (o simmetrica rispetto all’asse delle ordinate) se:

Una funzione si dice “dispari” (o simmetrica rispetto all’origine) se:

Determinare le eventuali intersezioni con gli assi.

Studiare il comportamento della funzione agli estremi del dominio di definizione, determinando quindi gli eventuali asintoti verticali, orizzontali e obliqui.

Se conviene, studiare il segno della funzione per stabile dove è positiva e dove è negativa ( a seconda della funzione questo calcolo risulta complicato, conviene quindi non utilizzarlo sempre, ma solo quando è conveniente).

Studiare la derivata prima. Analizzare i punti di non derivabilità e successivamente studiare il segno della derivata per determinare eventuali punti di massimo e minimo.

Calcolare, quando è conveniente, la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di flesso.

Concavità e convessità

Sia f : I → ℜ, dove I è un intervallo di numeri, una funzione continua due volte derivabile in I.
Diremo che:
• f è convessa in I se e solo se f ′′ ≥ 0 in I
• f è concava in I se e solo se f ′′ ≤ 0 in I

Test di monotonia

Sia f : I → ℜ, derivabile. Allora:

f crescente ⇔ f ′(x) ≥ 0 ∀x ∈ I
f decrescente ⇔ f ′(x) ≤ 0 ∀x ∈ I .

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