Retta e parabola: secante, tangente o esterna?
Una retta può attraversare una parabola in due punti, toccarla in un solo punto oppure non incontrarla affatto. Queste tre situazioni, che sul piano cartesiano hanno un significato geometrico molto diverso, possono essere riconosciute attraverso un semplice strumento algebrico: il discriminante dell’equazione di secondo grado che si ottiene mettendo a sistema la retta e la parabola.
In questa guida partiamo dalle intersezioni più semplici e arriviamo progressivamente alla costruzione di rette tangenti, alla ricerca di tangenti con una pendenza assegnata, alle tangenti condotte da un punto e alla discussione di un parametro. L’ultimo esercizio introduce anche un problema di minima distanza, nel quale la geometria della tangente permette di leggere in modo particolarmente elegante il risultato.
L’obiettivo non è soltanto arrivare alla soluzione numerica degli esercizi, ma capire come algebra, geometria e derivate descrivano lo stesso problema da prospettive diverse.
Prima di iniziare
Per seguire gli esercizi è utile conoscere:
- l’equazione di una parabola con asse verticale, [math]y=ax^2+bx+c[/math], con [math]a\neq0[/math];
- il significato della concavità, determinata dal segno di [math]a[/math];
- le coordinate del vertice;
- l’equazione di una retta nella forma [math]y=mx+q[/math];
- la risoluzione delle equazioni di secondo grado;
- il discriminante [math]\Delta=b^2-4ac[/math];
- la derivata di un polinomio di secondo grado.
Non è necessario conoscere metodi di ottimizzazione più avanzati: negli ultimi esercizi saranno sufficienti gli strumenti già introdotti.
Quando una retta è secante, tangente o esterna?
Consideriamo una parabola e una retta. Per trovare i loro punti comuni sostituiamo l’equazione della retta in quella della parabola, oppure uguagliamo le due espressioni di [math]y[/math].
Il risultato è un’equazione di secondo grado:
[math]\displaystyle Ax^2+Bx+C=0.[/math]
È proprio il suo discriminante a dirci quanti punti di intersezione reali esistono:
| Discriminante | Soluzioni reali | Situazione geometrica |
|---|---|---|
| [math]\Delta>0[/math] | 2 | retta secante |
| [math]\Delta=0[/math] | 1 radice doppia | retta tangente |
| [math]\Delta<0[/math] | 0 | retta esterna |
Quando [math]\Delta=0[/math], le due soluzioni dell’equazione di secondo grado coincidono. Geometricamente, i due punti di intersezione si sono fusi in un unico punto: la retta tocca la parabola senza attraversarla.
Questa è la prima idea da tenere presente durante gli esercizi: la tangenza, dal punto di vista algebrico, corrisponde a una radice doppia.
Esercizio 1 — Il primo incontro tra retta e parabola
Testo
In un parco giochi, il profilo di uno scivolo, osservato in una sezione verticale, è modellato dalla parabola
[math]\displaystyle y=x^2-2x-3.[/math]
Il sentiero di accesso è rappresentato dalla retta
[math]\displaystyle y=x+1.[/math]
Determina i punti nei quali il sentiero incontra lo scivolo e stabilisci se la retta è secante, tangente oppure esterna.
Svolgimento
Un punto [math](x,y)[/math] appartiene contemporaneamente alla parabola e alla retta se soddisfa entrambe le equazioni:
[math]\displaystyle \begin{cases}
y=x^2-2x-3\\
y=x+1
\end{cases}[/math]
Poiché entrambe le equazioni sono già espresse in funzione di [math]y[/math], possiamo uguagliare i secondi membri:
[math]\displaystyle x^2-2x-3=x+1.[/math]
Portiamo tutto a sinistra:
[math]\displaystyle x^2-3x-4=0.[/math]
L’equazione è facilmente fattorizzabile:
[math]\displaystyle (x-4)(x+1)=0.[/math]
Le soluzioni sono quindi
[math]\displaystyle x_1=4,\qquad x_2=-1.[/math]
Abbiamo due valori distinti di [math]x[/math], quindi ci aspettiamo due punti di intersezione.
Per trovare le ordinate possiamo utilizzare la retta, che in questo caso è più semplice:
[math]\displaystyle x_1=4\quad\Rightarrow\quad y_1=4+1=5,[/math]
mentre
[math]\displaystyle x_2=-1\quad\Rightarrow\quad y_2=-1+1=0.[/math]
I punti di intersezione sono dunque
[math]\displaystyle \boxed{A(-1,0),\qquad B(4,5)}.[/math]
Possiamo verificare rapidamente i risultati sulla parabola:
[math]\displaystyle (-1)^2-2(-1)-3=1+2-3=0,[/math]
e
[math]\displaystyle 4^2-2(4)-3=16-8-3=5.[/math]
Entrambi i punti appartengono effettivamente alla parabola.
Che cosa ci dice il discriminante?
L’equazione ottenuta è
[math]\displaystyle x^2-3x-4=0,[/math]
perciò
[math]\displaystyle \Delta=(-3)^2-4(1)(-4)=9+16=25.[/math]
Poiché
[math]\displaystyle \Delta>0,[/math]
l’equazione possiede due radici reali distinte e la retta è secante alla parabola.
Grafico
Osservazione
In questo primo esercizio il discriminante permette di tradurre immediatamente una situazione geometrica in un’informazione algebrica. Se avessimo ottenuto [math]\Delta=0[/math], avremmo avuto un solo punto di intersezione e la retta sarebbe stata tangente; con [math]\Delta<0[/math], invece, non avremmo trovato alcun punto reale in comune.
Mini-quiz
Se avessi trovato [math]\Delta=0[/math], quanti punti di intersezione avresti avuto?
E se avessi trovato [math]\Delta<0[/math], che cosa avresti potuto concludere sulla posizione della retta rispetto alla parabola?
Esercizio 2 — Trovare la tangente in un punto
Testo
La traiettoria di un dardo è modellata dalla parabola
[math]\displaystyle y=x^2-3x+2.[/math]
Nel punto [math]A(2,0)[/math] la traiettoria sfiora un ostacolo rettilineo. Determina l’equazione della retta tangente alla parabola nel punto [math]A[/math].
Svolgimento
Prima di tutto verifichiamo che il punto appartenga alla parabola:
[math]\displaystyle y(2)=2^2-3(2)+2=4-6+2=0.[/math]
Il punto [math]A(2,0)[/math] appartiene quindi alla curva.
A questo punto possiamo utilizzare la derivata. La funzione è
[math]\displaystyle f(x)=x^2-3x+2,[/math]
perciò
[math]\displaystyle f'(x)=2x-3.[/math]
La derivata nel punto [math]x=2[/math] fornisce il coefficiente angolare della tangente:
[math]\displaystyle m=f'(2)=4-3=1.[/math]
Conosciamo quindi il coefficiente angolare [math]m=1[/math] e il punto [math]A(2,0)[/math]. Usiamo la forma punto-pendenza della retta:
[math]\displaystyle y-y_A=m(x-x_A).[/math]
Otteniamo
[math]\displaystyle y-0=1(x-2),[/math]
quindi
[math]\displaystyle \boxed{y=x-2}.[/math]
Lo stesso risultato usando il discriminante
Possiamo arrivare alla stessa conclusione senza utilizzare direttamente la derivata.
Una generica retta passante per [math]A(2,0)[/math] può essere scritta come
[math]\displaystyle y=m(x-2)=mx-2m.[/math]
Perché questa retta sia tangente, il sistema con la parabola deve avere una soluzione doppia:
[math]\displaystyle x^2-3x+2=mx-2m.[/math]
Portando tutto a sinistra:
[math]\displaystyle x^2-(3+m)x+(2+2m)=0.[/math]
La condizione di tangenza è
[math]\displaystyle \Delta=0.[/math]
Pertanto:
[math]\displaystyle (3+m)^2-4(2+2m)=0.[/math]
Sviluppando:
[math]\displaystyle m^2+6m+9-8-8m=0,[/math]
da cui
[math]\displaystyle m^2-2m+1=0.[/math]
Ma
[math]\displaystyle m^2-2m+1=(m-1)^2,[/math]
quindi
[math]\displaystyle (m-1)^2=0[/math]
e necessariamente
[math]\displaystyle m=1.[/math]
Ritroviamo così la retta
[math]\displaystyle \boxed{y=x-2}.[/math]
Due metodi per descrivere la stessa tangenza
Qui compare una relazione importante che tornerà negli esercizi successivi.
Con il metodo algebrico:
[math]\displaystyle \boxed{\Delta=0}[/math]
perché l’equazione di intersezione possiede una radice doppia.
Con il metodo analitico:
[math]\displaystyle \boxed{m=f'(x_A)}[/math]
perché la derivata fornisce il coefficiente angolare della tangente nel punto.
Sono due descrizioni dello stesso fenomeno geometrico.
Grafico
Mini-quiz
La parabola passa anche per [math]B(1,0)[/math]. Qual è la tangente nel punto [math]B[/math]? Passa ancora per [math]A(2,0)[/math]?
Esercizio 3 — Tangente con pendenza assegnata
Testo
Un proiettile segue la traiettoria parabolica
[math]\displaystyle y=-x^2+4x.[/math]
Un raggio laser rettilineo ha coefficiente angolare fissato a
[math]\displaystyle m=2[/math]
e deve toccare la traiettoria in un solo punto.
Determina l’equazione del raggio e il punto di tangenza.
Svolgimento
Una retta con coefficiente angolare [math]2[/math] ha equazione
[math]\displaystyle y=2x+q,[/math]
dove [math]q[/math] è ancora da determinare.
Mettiamo a sistema la retta con la parabola:
[math]\displaystyle -x^2+4x=2x+q.[/math]
Portando tutto a sinistra:
[math]\displaystyle -x^2+2x-q=0.[/math]
Moltiplicando per [math]-1[/math], otteniamo l’equazione equivalente
[math]\displaystyle x^2-2x+q=0.[/math]
Per avere una sola intersezione reale dobbiamo imporre
[math]\displaystyle \Delta=0.[/math]
Il discriminante è
[math]\displaystyle \Delta=(-2)^2-4(1)(q)=4-4q.[/math]
Imponiamo quindi:
[math]\displaystyle 4-4q=0,[/math]
da cui
[math]\displaystyle q=1.[/math]
La retta cercata è
[math]\displaystyle \boxed{y=2x+1}.[/math]
Per trovare il punto di tangenza possiamo osservare che, quando [math]\Delta=0[/math], l’unica radice è
[math]\displaystyle x=-\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1.[/math]
Sostituendo nella parabola:
[math]\displaystyle y=-1^2+4(1)=3.[/math]
Il punto di tangenza è quindi
[math]\displaystyle \boxed{T(1,3)}.[/math]
Verifichiamo sulla retta:
[math]\displaystyle y=2(1)+1=3.[/math]
Il risultato è coerente.
Un controllo ancora più rapido con la derivata
La derivata della parabola è
[math]\displaystyle y’=-2x+4.[/math]
Nel punto di tangenza la pendenza della curva deve essere uguale alla pendenza assegnata alla retta:
[math]\displaystyle -2x+4=2.[/math]
Da cui
[math]\displaystyle x=1.[/math]
Sostituendo nella parabola otteniamo nuovamente
[math]\displaystyle T(1,3).[/math]
Un chiarimento importante sulle pendenze
La parabola
[math]\displaystyle y=-x^2+4x[/math]
ha derivata
[math]\displaystyle y’=-2x+4.[/math]
Al variare di [math]x[/math], questa espressione può assumere qualsiasi valore reale. Non esiste quindi una pendenza massima o minima delle tangenti alla parabola.
Nel vertice, che si trova in [math]x=2[/math], abbiamo semplicemente
[math]\displaystyle y'(2)=0,[/math]
perciò la tangente nel vertice è orizzontale.
Anche una pendenza come [math]m=5[/math], quindi, è possibile: basta cercare il punto nel quale
[math]\displaystyle -2x+4=5.[/math]
Questa osservazione è utile perché evita di confondere il fatto che la parabola abbia un vertice con l’idea, non corretta, che esista una pendenza limite per le sue tangenti.
Grafico
Mini-quiz
Per quale pendenza la tangente alla parabola è orizzontale?
In quale punto della parabola si trova questa tangente?
Esercizio 4 — Tangenti condotte da un punto
Testo
Da una torretta situata nel punto
[math]\displaystyle P(1,0)[/math]
un operatore vuole tracciare un fascio rettilineo che tocchi la parabola
[math]\displaystyle y=x^2+1[/math]
in un solo punto.
Determina tutte le rette tangenti alla parabola che passano per [math]P[/math].
Svolgimento
Una generica retta non verticale passante per [math]P(1,0)[/math] può essere scritta come
[math]\displaystyle y=m(x-1).[/math]
La retta verticale [math]x=1[/math] non può essere tangente a una parabola della forma [math]y=f(x)[/math], perché la tangente al grafico di una funzione di questo tipo è descritta da un coefficiente angolare finito.
Intersechiamo ora la retta con la parabola:
[math]\displaystyle x^2+1=m(x-1).[/math]
Sviluppiamo il secondo membro:
[math]\displaystyle x^2+1=mx-m.[/math]
Portando tutto a sinistra:
[math]\displaystyle x^2-mx+(1+m)=0.[/math]
Per ottenere una tangente dobbiamo imporre
[math]\displaystyle \Delta=0.[/math]
Quindi:
[math]\displaystyle m^2-4(1+m)=0.[/math]
Otteniamo
[math]\displaystyle m^2-4m-4=0.[/math]
Risolviamo l’equazione di secondo grado rispetto a [math]m[/math]:
[math]\displaystyle m= \frac{4\pm\sqrt{16+16}}{2}.[/math]
Poiché
[math]\displaystyle \sqrt{32}=4\sqrt2,[/math]
segue che
[math]\displaystyle m=2\pm2\sqrt2.[/math]
Abbiamo quindi due coefficienti angolari distinti e, di conseguenza, due rette tangenti.
Le equazioni sono:
[math]\displaystyle \boxed{y=(2+2\sqrt2)(x-1)}[/math]
e
[math]\displaystyle \boxed{y=(2-2\sqrt2)(x-1)}.[/math]
Punti di tangenza
Per una parabola
[math]\displaystyle y=ax^2+bx+c[/math]
la pendenza della tangente nel punto di ascissa [math]x[/math] è
[math]\displaystyle m=2ax+b.[/math]
Nel nostro caso
[math]\displaystyle a=1,\qquad b=0,[/math]
quindi
[math]\displaystyle m=2x.[/math]
Da cui
[math]\displaystyle x=\frac m2.[/math]
Per
[math]\displaystyle m_1=2+2\sqrt2[/math]
abbiamo
[math]\displaystyle x_1=1+\sqrt2.[/math]
Sulla parabola:
[math]\displaystyle y_1=(1+\sqrt2)^2+1[/math]
e quindi
[math]\displaystyle y_1=4+2\sqrt2.[/math]
Il primo punto di tangenza è
[math]\displaystyle \boxed{T_1(1+\sqrt2,\;4+2\sqrt2)}.[/math]
Per
[math]\displaystyle m_2=2-2\sqrt2[/math]
otteniamo
[math]\displaystyle x_2=1-\sqrt2[/math]
e
[math]\displaystyle y_2=(1-\sqrt2)^2+1 = 4-2\sqrt2.[/math]
Il secondo punto di tangenza è
[math]\displaystyle \boxed{T_2(1-\sqrt2,\;4-2\sqrt2)}.[/math]
Grafico
Osservazione
In questo esercizio il discriminante non viene calcolato rispetto a [math]x[/math] per trovare direttamente i punti di intersezione, ma diventa un’equazione nella pendenza [math]m[/math].
Questa è una strategia molto utile: quando una retta deve passare per un punto fissato, possiamo descriverla attraverso un parametro, in questo caso [math]m[/math], e poi imporre la condizione di tangenza.
Il numero di tangenti reali ottenibili da un punto dipende dalla posizione del punto rispetto alla parabola e dalla geometria della curva. Nel caso specifico di [math]P(1,0)[/math], l’equazione in [math]m[/math] possiede due soluzioni reali e otteniamo quindi due tangenti distinte.
Mini-quiz
Se il punto fosse
[math]\displaystyle P(0,3),[/math]
quante tangenti reali potremmo tracciare alla parabola [math]y=x^2+1[/math]?
Prova a rispondere prima di impostare i calcoli.
Esercizio 5 — Discussione parametrica
Testo
Consideriamo la parabola
[math]\displaystyle y=2x^2-3x+1[/math]
e la famiglia di rette
[math]\displaystyle y=x+k,[/math]
dove
[math]\displaystyle k\in\mathbb R.[/math]
Discuti al variare di [math]k[/math] quante intersezioni si hanno e individua il valore di [math]k[/math] per il quale la retta è tangente.
Svolgimento
Mettiamo a sistema le due equazioni:
[math]\displaystyle 2x^2-3x+1=x+k.[/math]
Portando tutto a sinistra:
[math]\displaystyle 2x^2-4x+(1-k)=0.[/math]
Il discriminante è
[math]\displaystyle \Delta=(-4)^2-4(2)(1-k).[/math]
Sviluppando:
[math]\displaystyle \Delta=16-8+8k,[/math]
quindi
[math]\displaystyle \Delta=8(1+k).[/math]
A questo punto non dobbiamo risolvere l’equazione per [math]x[/math]: ci interessa soltanto il segno del discriminante.
| Condizione su [math]k[/math] | Discriminante | Situazione |
|---|---|---|
| [math]k>-1[/math] | [math]\Delta>0[/math] | 2 intersezioni reali |
| [math]k=-1[/math] | [math]\Delta=0[/math] | 1 punto di tangenza |
| [math]k<-1[/math] | [math]\Delta<0[/math] | nessuna intersezione reale |
La situazione limite è quindi
[math]\displaystyle \boxed{k=-1}.[/math]
In questo caso la retta diventa
[math]\displaystyle y=x-1.[/math]
L’equazione di intersezione è
[math]\displaystyle 2x^2-4x+2=0.[/math]
Dividendo per [math]2[/math]:
[math]\displaystyle x^2-2x+1=0,[/math]
cioè
[math]\displaystyle (x-1)^2=0.[/math]
L’unica soluzione è
[math]\displaystyle x=1.[/math]
L’ordinata è
[math]\displaystyle y=1-1=0.[/math]
Il punto di tangenza è dunque
[math]\displaystyle \boxed{T(1,0)}.[/math]
Controllo con la derivata
La derivata della parabola è
[math]\displaystyle y’=4x-3.[/math]
La retta [math]y=x-1[/math] ha coefficiente angolare [math]1[/math]. Nel punto di tangenza deve quindi essere
[math]\displaystyle 4x-3=1.[/math]
Da cui
[math]\displaystyle x=1.[/math]
Il controllo con la derivata porta allo stesso risultato.
Che cosa sta succedendo geometricamente?
La parabola rimane fissa mentre la famiglia
[math]\displaystyle y=x+k[/math]
si ottiene spostando la retta verticalmente.
Per [math]k<-1[/math], la retta non raggiunge la parabola. Quando [math]k[/math] arriva a [math]-1[/math], la retta entra in contatto con la parabola in un solo punto. Per [math]k>-1[/math], attraversa la parabola in due punti distinti.
Il valore
[math]\displaystyle k=-1[/math]
è quindi il valore critico che separa le tre situazioni geometriche.
Grafico
Mini-quiz
Che cosa succederebbe se la parabola fosse
[math]\displaystyle y=2x^2-3x+3?[/math]
Il valore critico di [math]k[/math] rimarrebbe [math]-1[/math] oppure cambierebbe?
Esercizio 6 — La minima distanza tra una parabola e una retta
Testo
Un drone deve raggiungere il punto più vicino possibile di una traiettoria parabolica
[math]\displaystyle y=x^2[/math]
partendo da una pista rettilinea descritta dalla retta
[math]\displaystyle 2x-y-5=0.[/math]
Determina il punto della parabola che ha distanza minima dalla retta e calcola tale distanza.
Metodo analitico: minimizzare la distanza
Un punto generico della parabola può essere scritto come
[math]\displaystyle P(t)=(t,t^2).[/math]
La distanza di un punto
[math]\displaystyle (x_0,y_0)[/math]
dalla retta
[math]\displaystyle ax+by+c=0[/math]
è
[math]\displaystyle d= \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.[/math]
Nel nostro caso la retta è
[math]\displaystyle 2x-y-5=0,[/math]
quindi
[math]\displaystyle a=2,\qquad b=-1,\qquad c=-5.[/math]
Il denominatore è
[math]\displaystyle \sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt5.[/math]
Sostituiamo le coordinate del punto [math]P(t)=(t,t^2)[/math]:
[math]\displaystyle d(t)= \frac{|2t-t^2-5|}{\sqrt5}.[/math]
Possiamo riscrivere l’espressione all’interno del valore assoluto:
[math]\displaystyle 2t-t^2-5=-(t^2-2t+5).[/math]
Ora osserviamo che
[math]\displaystyle t^2-2t+5=(t-1)^2+4.[/math]
Questa quantità è sempre positiva, perché
[math]\displaystyle (t-1)^2\geq0[/math]
e quindi
[math]\displaystyle (t-1)^2+4>0.[/math]
Il valore assoluto può dunque essere eliminato:
[math]\displaystyle d(t)= \frac{t^2-2t+5}{\sqrt5} = \frac{(t-1)^2+4}{\sqrt5}.[/math]
A questo punto il minimo è immediatamente visibile. La quantità
[math]\displaystyle (t-1)^2[/math]
è minima quando
[math]\displaystyle t=1.[/math]
Di conseguenza il punto della parabola più vicino alla retta è
[math]\displaystyle \boxed{P(1,1)}.[/math]
La distanza minima vale
[math]\displaystyle d_{\min}= \frac{4}{\sqrt5}.[/math]
Razionalizzando:
[math]\displaystyle \boxed{d_{\min}=\frac{4\sqrt5}{5}\approx1,789}.[/math]
Metodo geometrico: la tangente parallela
C’è però un secondo modo di arrivare allo stesso punto, che permette di vedere meglio la geometria del problema.
La retta
[math]\displaystyle 2x-y-5=0[/math]
può essere riscritta come
[math]\displaystyle y=2x-5.[/math]
Il suo coefficiente angolare è quindi
[math]\displaystyle m=2.[/math]
Nel punto di minima distanza, la normale alla curva è parallela alla normale alla retta; equivalentemente, la tangente alla parabola è parallela alla retta data.
La derivata della parabola è
[math]\displaystyle y’=2x.[/math]
Cerchiamo quindi il punto nel quale la tangente ha pendenza [math]2[/math]:
[math]\displaystyle 2x=2.[/math]
Otteniamo
[math]\displaystyle x=1.[/math]
La parabola fornisce
[math]\displaystyle y=1^2=1.[/math]
Ritroviamo così
[math]\displaystyle \boxed{P(1,1)}.[/math]
Calcoliamo la distanza dalla retta:
[math]\displaystyle d= \frac{|2(1)-1-5|}{\sqrt5} = \frac{4}{\sqrt5}.[/math]
Il risultato coincide con quello ottenuto attraverso la minimizzazione.
Perché i due metodi danno lo stesso risultato?
Nel punto di minima distanza, il segmento che collega la curva alla retta segue la direzione normale alla retta. Per una curva liscia, questo significa che la tangente alla curva deve essere parallela alla retta data.
Nel nostro esercizio la funzione distanza può essere minimizzata direttamente, ma la condizione geometrica della tangente parallela permette di individuare il punto molto rapidamente.
Questa proprietà deve però essere interpretata come una condizione locale di ottimalità, non come una regola che garantisce automaticamente un minimo globale in qualsiasi problema. Una curva può avere più punti nei quali la tangente è parallela alla stessa retta; per stabilire quale di questi realizzi il minimo globale occorre eventualmente confrontare i valori della distanza.
Grafico
Mini-quiz
Supponiamo ora che la retta sia
[math]\displaystyle y=2x-1.[/math]
È parallela alla precedente, ma passa proprio per il punto
[math]\displaystyle P(1,1).[/math]
Quanto vale la distanza minima dalla parabola?
Le risposte ai mini-quiz
Esercizio 1
Se
[math]\displaystyle \Delta=0,[/math]
l’equazione di intersezione ha una radice doppia. La retta incontra quindi la parabola in un solo punto ed è tangente.
Se invece
[math]\displaystyle \Delta<0,[/math]
non esistono soluzioni reali e quindi non ci sono punti reali di intersezione: la retta è esterna alla parabola.
Esercizio 2
Il punto
[math]\displaystyle B(1,0)[/math]
appartiene alla parabola perché
[math]\displaystyle 1^2-3(1)+2=0.[/math]
La derivata è
[math]\displaystyle y’=2x-3.[/math]
Nel punto [math]B[/math]:
[math]\displaystyle m=2(1)-3=-1.[/math]
La tangente è quindi
[math]\displaystyle y-0=-1(x-1),[/math]
ossia
[math]\displaystyle \boxed{y=-x+1}.[/math]
Non passa per [math]A(2,0)[/math], perché per [math]x=2[/math] restituisce
[math]\displaystyle y=-1.[/math]
La tangente dipende dal punto della parabola scelto: punti diversi hanno generalmente coefficienti angolari diversi.
Esercizio 3
La tangente orizzontale ha coefficiente angolare
[math]\displaystyle m=0.[/math]
Dobbiamo quindi imporre
[math]\displaystyle y’=0.[/math]
Poiché
[math]\displaystyle y’=-2x+4,[/math]
abbiamo
[math]\displaystyle -2x+4=0,[/math]
da cui
[math]\displaystyle x=2.[/math]
L’ordinata è
[math]\displaystyle y=-2^2+4(2)=-4+8=4.[/math]
Il vertice è quindi
[math]\displaystyle \boxed{V(2,4)}[/math]
e la tangente orizzontale è
[math]\displaystyle \boxed{y=4}.[/math]
Esercizio 4
Con il punto
[math]\displaystyle P(0,3)[/math]
la generica retta passante per [math]P[/math] è
[math]\displaystyle y=mx+3.[/math]
Intersecandola con
[math]\displaystyle y=x^2+1[/math]
otteniamo
[math]\displaystyle x^2+1=mx+3,[/math]
quindi
[math]\displaystyle x^2-mx-2=0.[/math]
Per avere una tangente:
[math]\displaystyle \Delta=m^2+8=0.[/math]
Ma
[math]\displaystyle m^2+8>0[/math]
per ogni [math]m\in\mathbb R[/math].
Non esistono quindi tangenti reali passanti per [math]P(0,3)[/math].
Il motivo geometrico si può leggere anche osservando che il punto si trova nella regione
[math]\displaystyle y>x^2+1,[/math]
cioè sopra il grafico della parabola. In questa configurazione non esiste una retta reale passante per [math]P[/math] che tocchi la parabola in un solo punto.
Esercizio 5
Se la parabola diventa
[math]\displaystyle y=2x^2-3x+3,[/math]
il sistema con
[math]\displaystyle y=x+k[/math]
diventa
[math]\displaystyle 2x^2-4x+(3-k)=0.[/math]
Il discriminante è
[math]\displaystyle \Delta=(-4)^2-4(2)(3-k).[/math]
Quindi
[math]\displaystyle \Delta=16-24+8k[/math]
e
[math]\displaystyle \Delta=8(k-1).[/math]
La tangenza si verifica quando
[math]\displaystyle \Delta=0,[/math]
quindi
[math]\displaystyle \boxed{k=1}.[/math]
Il valore critico è cambiato da [math]-1[/math] a [math]1[/math]. La ragione è che la parabola è stata traslata verticalmente verso l’alto di [math]2[/math] unità e anche la retta deve essere traslata verso l’alto della stessa quantità per mantenere la stessa configurazione di tangenza.
Esercizio 6
La retta
[math]\displaystyle y=2x-1[/math]
passa per
[math]\displaystyle P(1,1),[/math]
perché
[math]\displaystyle 2(1)-1=1.[/math]
Il punto [math]P(1,1)[/math] appartiene anche alla parabola
[math]\displaystyle y=x^2,[/math]
dato che
[math]\displaystyle 1^2=1.[/math]
Inoltre la derivata della parabola è
[math]\displaystyle y’=2x,[/math]
quindi nel punto [math]x=1[/math] la pendenza della tangente è [math]2[/math], proprio come quella della retta.
La retta è dunque la tangente alla parabola nel punto [math]P(1,1)[/math], e la distanza minima è
[math]\displaystyle \boxed{0}.[/math]
Il valore zero non è sorprendente: la retta e la parabola hanno un punto in comune.
Come scegliere il metodo?
Dopo questi sei esercizi possiamo raccogliere le strategie principali in una sola tabella.
| Problema | Metodo più diretto |
|---|---|
| Trovare i punti di intersezione | Sistema e sostituzione/confronto |
| Stabilire se una retta è secante, tangente o esterna | Discriminante |
| Trovare la tangente in un punto noto | Derivata |
| Trovare una tangente con pendenza assegnata | [math]f'(x)=m[/math] oppure [math]\Delta=0[/math] |
| Trovare le tangenti da un punto | Retta generica + condizione [math]\Delta=0[/math] |
| Discutere una famiglia di rette con parametro | Discriminante in funzione del parametro |
| Cercare una distanza minima | Funzione distanza oppure condizione di parallelismo della tangente |
Non esiste quindi un unico procedimento da applicare meccanicamente a tutti i problemi. La scelta dipende da quali informazioni sono già disponibili.
Se il punto di tangenza è noto, la derivata è generalmente il percorso più rapido. Se invece è presente un parametro nella retta e vogliamo sapere quando compare la tangenza, il discriminante diventa spesso lo strumento più naturale.
Tre modi per riconoscere la tangenza
Gli esercizi hanno mostrato tre letture dello stesso fenomeno.
Lettura algebrica
Quando intersechiamo retta e parabola, la tangenza corrisponde a
[math]\displaystyle \boxed{\Delta=0}.[/math]
L’equazione di secondo grado ha una radice doppia.
Lettura geometrica
La retta tocca la parabola in un solo punto senza attraversarla localmente.
Lettura analitica
Se la parabola è descritta da [math]y=f(x)[/math], nel punto di tangenza la retta e la curva hanno lo stesso coefficiente angolare:
[math]\displaystyle \boxed{m=f'(x_0)}.[/math]
Queste tre descrizioni non rappresentano tre problemi diversi: sono tre modi di leggere lo stesso evento geometrico.
Che cosa conviene ricordare?
Quando una retta e una parabola vengono messe a sistema, il problema geometrico si trasforma in un’equazione di secondo grado. Il suo discriminante permette di distinguere immediatamente i tre casi fondamentali:
[math]\displaystyle \boxed{
\begin{array}{ll}
\Delta>0 & \text{due intersezioni}\\
\Delta=0 & \text{tangenza}\\
\Delta<0 & \text{nessuna intersezione reale}
\end{array}}[/math]
Quando il punto di tangenza è noto, la derivata fornisce direttamente la pendenza della tangente. Quando invece bisogna trovare quali rette possono essere tangenti, è spesso conveniente introdurre un parametro, come il coefficiente angolare [math]m[/math], e imporre la condizione [math]\Delta=0[/math].
Infine, il problema della distanza mostra un passaggio ulteriore: la tangente non serve soltanto a descrivere come una curva viene toccata da una retta, ma può diventare uno strumento per risolvere un problema di ottimizzazione.
È proprio questo il filo che collega tutti gli esercizi: un problema geometrico può cambiare forma durante la soluzione, passando dall’equazione algebrica al grafico, dal discriminante alla derivata, senza perdere il significato matematico del problema iniziale.
📚 Per approfondire: parabola, coniche ed esercizi di geometria analitica
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