Esercizio 1  Parabola per tre punti

Testo: Trova l’equazione della parabola passante per i punti [math]A(1,0)[/math], [math]B(2,1)[/math], e [math]C(3,4)[/math].

Passo 1: Impostare il sistema

L’equazione generale di una parabola è [math]y = ax^2 + bx + c[/math]. Sostituiamo le coordinate dei punti dati nell’equazione per ottenere un sistema di tre equazioni lineari in tre incognite (a, b, c):

[math]\begin{cases} 0 = a(1)^2 + b(1) + c \\ 1 = a(2)^2 + b(2) + c \\ 4 = a(3)^2 + b(3) + c \end{cases}[/math]

Questo sistema può essere riscritto come:

[math]\begin{cases} a + b + c = 0 \\ 4a + 2b + c = 1 \\ 9a + 3b + c = 4 \end{cases}[/math]

Risolvendo questo sistema di equazioni (ad esempio, utilizzando il metodo di sostituzione, eliminazione o matrici), otteniamo i valori di a, b e c:

[math]a = 1[/math], [math]b = -2[/math], [math]c = 1[/math]

Sostituendo questi valori nell’equazione generale della parabola, otteniamo l’equazione specifica della parabola passante per i tre punti dati:

[math]y = (1)x^2 + (-2)x + 1[/math]

[math]y = x^2 – 2x + 1[/math]

Questa equazione può anche essere scritta come:

[math]y = (x – 1)^2[/math]

Snippet Python per disegnare il grafico

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 3, 100)
y = x**2 - 2*x + 1

plt.plot(x, y, label="y = x² - 2x + 1")
plt.scatter([1, 2, 3], [0, 1, 4], color='red', label="Punti A, B, C")
plt.legend()
plt.grid()
plt.title("Parabola passante per (1,0), (2,1), (3,4)")
plt.show()

È importante notare che, dati tre punti non collineari nel piano, esiste un’unica parabola (con asse parallelo all’asse y) che passa per essi. Questo è analogo al fatto che per due punti passa un’unica retta.

Esercizio 2  Retta tangente a una parabola

Testo: Trova la retta tangente alla parabola [math]y = x^2 – 3x + 2[/math] nel punto [math]P(2,0)[/math].

Passo 1: Calcolare la derivata

La derivata della funzione [math]y = x^2 – 3x + 2[/math] rispetto a [math]x[/math] fornisce il coefficiente angolare della retta tangente in un qualsiasi punto della parabola.

Calcoliamo la derivata [math]y'[/math]:

[math]y’ = \frac{d}{dx}(x^2 – 3x + 2) = 2x – 3[/math]

Il coefficiente angolare [math]m[/math] della retta tangente nel punto [math]x = 2[/math] è dato da:

[math]m = y'(2) = 2(2) – 3 = 4 – 3 = 1[/math]

Passo 2: Equazione della retta tangente

Utilizziamo l’equazione della retta passante per un punto [math](x_0, y_0)[/math] con coefficiente angolare [math]m[/math], data da:

[math]y – y_0 = m(x – x_0)[/math]

Nel nostro caso, il punto è [math]P(2,0)[/math], quindi [math]x_0 = 2[/math] e [math]y_0 = 0[/math], e il coefficiente angolare è [math]m = 1[/math]. Sostituendo questi valori nell’equazione della retta tangente:

[math]y – 0 = 1(x – 2)[/math]

[math]y = x – 2[/math]

Pertanto, l’equazione della retta tangente alla parabola [math]y = x^2 – 3x + 2[/math] nel punto [math]P(2,0)[/math] è [math]y = x – 2[/math].

Snippet Python per disegnare il grafico

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1, 4, 100)
y_parabola = x**2 - 3*x + 2
y_tangente = x - 2

plt.plot(x, y_parabola, label="y = x² - 3x + 2")
plt.plot(x, y_tangente, label="y = x - 2", linestyle='--')
plt.scatter(2, 0, color='red', label="Punto P(2,0)")
plt.legend()
plt.grid()
plt.title("Retta tangente alla parabola in P(2,0)")
plt.show()

Geometricamente, la derivata [math]y'[/math] in un punto rappresenta la pendenza della retta che ‘tocca’ la curva in quel preciso punto senza attraversarla (localmente). In questo caso, la derivata in [math]x = 2[/math] è [math]1[/math], che è proprio il coefficiente angolare della retta tangente trovata.

Esercizio 3 Parabola e intersezioni con condizioni

Testo: Data [math]y = -x^2 + 4x[/math], trova le rette passanti per [math]P(1,4)[/math] tangenti alla parabola e i punti di tangenza.

Passo 1: Retta generica per [math]P(1,4)[/math]

L’equazione di una retta passante per il punto [math]P(1,4)[/math] con coefficiente angolare [math]m[/math] è data da:

[math]y – 4 = m(x – 1)[/math]

Risolvendo per [math]y[/math], otteniamo la forma esplicita della retta:

[math]y = mx – m + 4[/math]

Passo 2: Sistema parabola-retta

Per trovare i punti di intersezione tra la retta e la parabola, dobbiamo risolvere il sistema formato dalle loro equazioni. Sostituiamo l’espressione di [math]y[/math] della retta nell’equazione della parabola:

[math]mx – m + 4 = -x^2 + 4x[/math]

Riarrangiando l’equazione per ottenere una forma quadratica:

[math]x^2 + (m – 4)x – m + 4 = 0[/math]

Perché la retta sia tangente alla parabola, l’equazione quadratica deve avere una sola soluzione (cioè, il discriminante deve essere uguale a zero). Il discriminante [math]\Delta[/math] di un’equazione quadratica [math]ax^2 + bx + c = 0[/math] è dato da [math]\Delta = b^2 – 4ac[/math]. Nel nostro caso, [math]a = 1[/math], [math]b = m – 4[/math], e [math]c = -m + 4[/math]. Imponendo [math]\Delta = 0[/math]:

[math](m – 4)^2 – 4(1)(-m + 4) = 0[/math]

Espandendo e semplificando l’equazione:

[math]m^2 – 8m + 16 + 4m – 16 = 0[/math]

[math]m^2 – 4m = 0[/math]

Fattorizzando l’equazione quadratica in [math]m[/math]:

[math]m(m – 4) = 0[/math]

Questo ci dà due possibili valori per il coefficiente angolare [math]m[/math]:

[math]m = 0[/math] o [math]m = 4[/math]

Passo 3: Trova le rette e i punti di tangenza

Caso 1: [math]m = 0[/math]

Sostituiamo [math]m = 0[/math] nell’equazione della retta [math]y = mx – m + 4[/math]:

[math]y = 0 \cdot x – 0 + 4[/math]

[math]y = 4[/math]

Questa è l’equazione della prima retta tangente. Per trovare il punto di tangenza, sostituiamo [math]y = 4[/math] nell’equazione della parabola:

[math]4 = -x^2 + 4x[/math]

[math]x^2 – 4x + 4 = 0[/math]

[math](x – 2)^2 = 0[/math]

[math]x = 2[/math]

Il punto di tangenza per [math]m = 0[/math] è [math](2, 4)[/math].

Caso 2: [math]m = 4[/math]

Sostituiamo [math]m = 4[/math] nell’equazione della retta [math]y = mx – m + 4[/math]:

[math]y = 4x – 4 + 4[/math]

[math]y = 4x[/math]

Questa è l’equazione della seconda retta tangente. Per trovare il punto di tangenza, sostituiamo [math]y = 4x[/math] nell’equazione della parabola:

[math]4x = -x^2 + 4x[/math]

[math]x^2 = 0[/math]

[math]x = 0[/math]

Sostituendo [math]x = 0[/math] in [math]y = 4x[/math], otteniamo [math]y = 4(0) = 0[/math].

Il punto di tangenza per [math]m = 4[/math] è [math](0, 0)[/math].

Il discriminante [math]\Delta = b^2 – 4ac[/math] di un’equazione quadratica determina il numero di soluzioni reali. Se [math]\Delta > 0[/math], ci sono due intersezioni (la retta è secante); se [math]\Delta < 0[/math], non ci sono intersezioni (la retta è esterna); se [math]\Delta = 0[/math], c’è una sola soluzione, il che significa che la retta ‘tocca’ la parabola in un solo punto, definendo la condizione di tangenza.

Conclusioni

Le rette passanti per [math]P(1,4)[/math] tangenti alla parabola [math]y = -x^2 + 4x[/math] sono:

• [math]y = 4[/math], con punto di tangenza [math](2, 4)[/math].
• [math]y = 4x[/math], con punto di tangenza [math](0, 0)[/math].

Snippet Python per disegnare il grafico

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1, 5, 100)
y_parabola = -x**2 + 4*x
y_retta1 = 0*x + 4
y_retta2 = 4*x

plt.plot(x, y_parabola, label="y = -x² + 4x")
plt.plot(x, y_retta1, label="y = 4", linestyle='--')
plt.plot(x, y_retta2, label="y = 4x", linestyle='-.')
plt.scatter(1, 4, color='red', label="Punto P(1,4)")
plt.scatter([2, 0], [4, 0], color='green', label="Punti di tangenza")
plt.legend()
plt.grid()
plt.title("Rette tangenti per P(1,4)")
plt.show()

Questo esercizio è più complesso e coinvolge la ricerca di rette tangenti a una parabola passanti per un punto esterno. Matematicamente, si imposta un sistema tra l’equazione generica di una retta passante per il punto dato e l’equazione della parabola. La condizione di tangenza viene imposta richiedendo che il discriminante dell’equazione quadratica risultante sia nullo (una sola soluzione, quindi un solo punto di intersezione).

Esercizio 4 (Difficile) – Parabola con parametro e condizioni di tangenza

Testo: Determina per quali valori di [math]k[/math] la retta [math]y = 2x + k[/math] è tangente alla parabola [math]y = x^2 – 3x + 4[/math]. Trova inoltre il punto di tangenza.

Passo 1: Sistema parabola-retta

Per trovare i punti di intersezione tra la retta e la parabola, uguagliamo le espressioni per [math]y[/math]:

[math]2x + k = x^2 – 3x + 4[/math]

Riarrangiando l’equazione per ottenere una forma quadratica:

[math]x^2 – 3x – 2x + 4 – k = 0[/math]

[math]x^2 – 5x + (4 – k) = 0[/math]

Passo 2: Imponi la condizione di tangenza ([math]\Delta = 0[/math])

Affinché la retta sia tangente alla parabola, l’equazione quadratica deve avere una sola soluzione, il che significa che il suo discriminante ([math]\Delta[/math]) deve essere uguale a zero. Il discriminante di un’equazione quadratica [math]ax^2 + bx + c = 0[/math] è dato da [math]\Delta = b^2 – 4ac[/math]. Nel nostro caso, [math]a = 1[/math], [math]b = -5[/math], e [math]c = 4 – k[/math].

Imponiamo [math]\Delta = 0[/math]:

[math](-5)^2 – 4(1)(4 – k) = 0[/math]

[math]25 – 16 + 4k = 0[/math]

[math]9 + 4k = 0[/math]

[math]4k = -9[/math]

[math]k = -\frac{9}{4}[/math]

Il parametro [math]k[/math] nell’equazione della retta [math]y = 2x + k[/math] rappresenta l’intercetta con l’asse y. Variando il valore di [math]k[/math], otteniamo una famiglia di rette parallele con pendenza [math]2[/math]. Il valore specifico [math]k = -\frac{9}{4}[/math] è quello per cui questa retta particolare risulta tangente alla parabola data.

Passo 3: Trova il punto di tangenza

Sostituiamo il valore di [math]k = -\frac{9}{4}[/math] nell’equazione di secondo grado ottenuta nel Passo 1:

[math]x^2 – 5x + \left(4 – \left(-\frac{9}{4}\right)\right) = 0[/math]

[math]x^2 – 5x + \left(4 + \frac{9}{4}\right) = 0[/math]

[math]x^2 – 5x + \left(\frac{16}{4} + \frac{9}{4}\right) = 0[/math]

[math]x^2 – 5x + \frac{25}{4} = 0[/math]

Questa equazione può essere risolta utilizzando la formula quadratica [math]x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}[/math]. Poiché abbiamo imposto [math]\Delta = 0[/math], avremo una sola soluzione:

[math]x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{0}}{2(1)} = \frac{5}{2}[/math]

Ora, sostituiamo il valore di [math]x = \frac{5}{2}[/math] nell’equazione della retta [math]y = 2x + k[/math] (con [math]k = -\frac{9}{4}[/math]) per trovare la coordinata [math]y[/math] del punto di tangenza:

[math]y = 2\left(\frac{5}{2}\right) – \frac{9}{4}[/math]

[math]y = 5 – \frac{9}{4}[/math]

[math]y = \frac{20}{4} – \frac{9}{4} = \frac{11}{4}[/math]

Il punto di tangenza è [math]\left(\frac{5}{2}, \frac{11}{4}\right)[/math].

Questo esercizio introduce un parametro nell’equazione della retta e chiede di trovare i valori di questo parametro per cui la retta è tangente alla parabola. Matematicamente, si procede in modo simile all’esercizio precedente: si imposta il sistema, si ricava l’equazione quadratica e si impone che il discriminante sia nullo per la condizione di tangenza. Teoricamente, estende il concetto di tangenza introducendo un parametro, il che porta a una famiglia di rette.

 

Esercizio 5 (Molto Difficile) – Parabola e area minima

Testo: Data la parabola [math]y = x^2[/math], considera un punto [math]P[/math] su di essa nel primo quadrante. Determina le coordinate di [math]P[/math] tali che, tracciata la retta tangente in [math]P[/math], l’area del triangolo formato da questa retta, l’asse [math]x[/math] e la retta [math]x = 2[/math] sia minima.

Soluzione

Passo 1: Retta tangente alla parabola nel punto P

Consideriamo la parabola: [math]y = x^2[/math].

Sia [math]P(a, a^2)[/math] un punto generico della parabola. La derivata della funzione fornisce il coefficiente angolare della tangente: [math]y’ = 2x[/math].

Quindi, il coefficiente angolare della tangente in [math]P(a, a^2)[/math] è: [math]m = 2a[/math].

L’equazione della retta tangente in [math]P(a, a^2)[/math] è quindi:

[math]y – a^2 = 2a(x – a)[/math]

Riscrivendola in forma esplicita:

[math]y = 2ax – 2a^2 + a^2[/math]

[math]y = 2ax – a^2[/math]

Passo 2: Intersezioni della tangente per determinare il triangolo

Intersezione con l’asse x ([math]y = 0[/math])

Poniamo [math]0[/math] al posto di [math]y[/math] nell’equazione della tangente: [math]0 = 2ax – a^2[/math].

Quindi il punto di intersezione con l’asse x è: [math]A\left(\frac{a}{2}, 0\right)[/math].

Intersezione con la retta verticale [math]x = 2[/math]

Sostituendo [math]x = 2[/math] nell’equazione della tangente: [math]y = 2a(2) – a^2 = 4a – a^2[/math].

Quindi il punto di intersezione con la retta [math]x = 2[/math] è: [math]B(2, 4a – a^2)[/math].

Il terzo vertice del triangolo è il punto [math]C(2, 0)[/math], intersezione della retta [math]x = 2[/math] con l’asse x.

Passo 3: Calcolo dell’area del triangolo

La base del triangolo [math]ABC[/math] è: [math]\text{Base } AC = \left|2 – \frac{a}{2}\right| = 2 – \frac{a}{2}[/math] (poiché [math]P[/math] è nel primo quadrante e per formare un triangolo non degenere, consideriamo [math]a \neq 4[/math]).

L’altezza del triangolo è la coordinata [math]y[/math] di [math]B[/math]: [math]\text{Altezza } = |4a – a^2| = 4a – a^2[/math] (per [math]0 < a < 4[/math]).

L’area è quindi: [math]A(a) = \frac{1}{2} \times \left(2 – \frac{a}{2}\right) \times (4a – a^2)[/math].

Semplificando: [math]A(a) = \frac{1}{4} (4 – a) a (4 – a) = \frac{1}{4} a (4 – a)^2 = \frac{1}{4} (a^3 – 8a^2 + 16a)[/math].

Passo 4: Ottimizzazione dell’area

Per trovare i punti critici, calcoliamo la derivata prima: [math]A'(a) = \frac{1}{4} (3a^2 – 16a + 16)[/math].

Punti critici imponendo [math]A'(a) = 0[/math]: [math]3a^2 – 16a + 16 = 0[/math].

Da cui: [math]a = \frac{16 \pm \sqrt{256 – 192}}{6} = \frac{16 \pm 8}{6}[/math], ottenendo [math]a = 4[/math] o [math]a = \frac{4}{3}[/math].

Analisi del segno di [math]A'(a) = \frac{1}{4} (3a – 4)(a – 4)[/math]:

• Per [math]0 < a < \frac{4}{3}[/math], [math]A'(a) > 0[/math] (funzione crescente).
• Per [math]\frac{4}{3} < a < 4[/math], [math]A'(a) < 0[/math] (funzione decrescente).

🚨 Conclusione: Il punto [math]a = \frac{4}{3}[/math] corrisponde a un massimo locale, non un minimo.

L’area tende a 0 nei limiti [math]a \to 0^+[/math] e [math]a \to 4[/math]. Dunque, il minimo assoluto dell’area è 0, e non esiste un minimo positivo.

Motivo per cui non si è usata la derivata seconda

Non è stato necessario calcolare la derivata seconda [math]A”(a)[/math] perché l’analisi del segno di [math]A'(a)[/math] era sufficiente a stabilire la natura dei punti critici. Il passaggio da crescente a decrescente indica un massimo locale, confermando che il minimo assoluto si trova ai limiti dell’intervallo.

 

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