Non chiamatelo “cerchio schiacciato”!

😅 Se le equazioni dell’ellisse ti fanno venire il mal di testa, abbiamo preparato una guida pratica con 4 esercizi risolti passo dopo passo. Niente formule gettate a caso: ti mostriamo come trovare fuochi, vertici, tangenti e, soprattutto, un paio di “trucchi del mestiere” (come usare la geometria per saltare calcoli lunghissimi).

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Esercizio 1 – Un’orbita semplice

Testo

Un satellite descrive un’orbita ellittica attorno alla Terra. Nel sistema di coordinate con origine al centro della Terra, l’equazione dell’orbita è
[math]\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1[/math]
(distanze in migliaia di km). Determina:

• la lunghezza del semiasse maggiore e del semiasse minore;
• le coordinate dei vertici e dei fuochi;
• l’eccentricità;
• disegna l’ellisse.

Risoluzione

Identificazione dei parametri

L’equazione è nella forma canonica [math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]
con [math]a^2 = 25[/math] e [math]b^2 = 16[/math].
Poiché [math]25 > 16[/math], il semiasse maggiore è
[math]a = \sqrt{25} = 5[/math] (sull’asse [math]x[/math]),
il semiasse minore è [math]b = \sqrt{16} = 4[/math] (sull’asse [math]y[/math]).

Richiamo: Per un’ellisse centrata nell’origine, se [math]a > b[/math] i fuochi giacciono sull’asse [math]x[/math].

Vertici

Vertici sull’asse [math]x[/math]: [math](\pm a, 0) = (\pm 5, 0)[/math].
Vertici sull’asse [math]y[/math]: [math](0, \pm b) = (0, \pm 4)[/math].

Fuochi

[math]\displaystyle \begin{aligned}
& \text{Si calcola } c \text{ con } c^2 = a^2 – b^2 = 25 – 16 = 9, \\
& \text{quindi } c = 3.
\end{aligned}[/math]

I fuochi sono [math](\pm c, 0) = (\pm 3, 0)[/math].

Eccentricità

[math]e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0.6[/math]

Osservazioni strategiche

💡 Attenzione: L’equazione canonica è [math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]
con [math]a[/math] sempre il semiasse maggiore, anche se l’ellisse è più alta che larga.
Verifica sempre il denominatore più grande per trovare [math]a[/math].

Domanda di riflessione

Quale proprietà geometrica dell’ellisse lega i semiassi [math]a, b[/math] e la distanza focale [math]c[/math]?

Esercizio 2 – Dalla geometria all’equazione

Testo

Un’ellisse ha i fuochi in [math]F_1(-2,0)[/math] e [math]F_2(2,0)[/math] e passa per il punto [math]P\left(2, \frac{5}{3}\right)[/math]. Scrivi la sua equazione in forma canonica.

Risoluzione

Informazioni dai fuochi

I fuochi sono simmetrici rispetto all’origine e giacciono sull’asse [math]x[/math]. Quindi il centro è [math]C(0,0)[/math] e l’asse maggiore è orizzontale.

[math]\displaystyle \begin{aligned}
& \text{Distanza focale: } 2c = 4 \Rightarrow c = 2. \\
& \text{Per un’ellisse centrata nell’origine con fuochi sull’asse } x \\
& \text{l’equazione è } \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \text{ con } a^2 – b^2 = c^2 = 4.
\end{aligned}[/math]

Uso del punto [math]P[/math]

Sostituiamo [math]P\left(2, \frac{5}{3}\right)[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
& \frac{2^2}{a^2} + \frac{(5/3)^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{4}{a^2} + \frac{25}{9b^2} = 1. \\
& \text{Sappiamo anche } b^2 = a^2 – 4.
\end{aligned}[/math]

Sostituzione e risoluzione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
& \frac{4}{a^2} + \frac{25}{9(a^2 – 4)} = 1. \\
& \text{Moltiplichiamo per } 9a^2(a^2 – 4) \text{ (con } a^2 > 4): \\
& 36(a^2 – 4) + 25a^2 = 9a^2(a^2 – 4) \\
& 36a^2 – 144 + 25a^2 = 9a^4 – 36a^2 \\
& 61a^2 – 144 = 9a^4 – 36a^2 \\
& 0 = 9a^4 – 97a^2 + 144. \\
& \text{Poniamo } t = a^2: \quad 9t^2 – 97t + 144 = 0.
\end{aligned}[/math]

Calcoliamo il discriminante:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
& \Delta = 97^2 – 4 \cdot 9 \cdot 144 = 9409 – 5184 = 4225, \\
& \sqrt{\Delta} = 65. \\
& \text{Soluzioni: } t = \frac{97 \pm 65}{18} \\
& t_1 = \frac{162}{18} = 9, \quad t_2 = \frac{32}{18} = \frac{16}{9}.
\end{aligned}[/math]

Poiché [math]a^2 > c^2 = 4[/math], entrambe sono ammissibili? Se [math]a^2 = 16/9 \approx 1.78 < 4[/math] non va bene perché allora [math]b^2 = a^2 – 4[/math] sarebbe negativo.

Quindi:
[math]a^2 = 9[/math],
[math]b^2 = 9 – 4 = 5[/math].

Equazione

[math]\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1.[/math]

Esercizio 3 – Ellisse traslata

Testo

Un’arena sportiva ha una pianta ellittica con centro situato nel punto [math]C(2,-1)[/math]. L’asse maggiore è lungo 10 metri ed è parallelo all’asse [math]x[/math], mentre l’asse minore è lungo 6 metri. Determina l’equazione dell’ellisse in forma generale e individua le coordinate dei vertici e dei fuochi.

Risoluzione

Parametri

[math]\displaystyle \begin{aligned}
& \text{Semiasse maggiore } a = 10/2 = 5 \text{ (orizzontale),} \\
& \text{semiasse minore } b = 6/2 = 3. \\
& \text{Centro } C(h,k) = (2,-1). \\
& \text{Equazione canonica traslata: } \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1.
\end{aligned}[/math]

Scrittura

[math]\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1.[/math]

Vertici

• Vertici sull’asse maggiore (orizzontale):
  [math](h \pm a, k) = (2 \pm 5, -1) \Rightarrow (7, -1)[/math] e [math](-3, -1)[/math].
• Vertici sull’asse minore:
  [math](h, k \pm b) = (2, -1 \pm 3) \Rightarrow (2, 2)[/math] e [math](2, -4)[/math].

Fuochi

[math]c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{25 – 9} = 4.[/math]

I fuochi giacciono sull’asse maggiore (orizzontale) spostati dal centro:
[math](h \pm c, k) = (2 \pm 4, -1) \Rightarrow (6, -1)[/math] e [math](-2, -1)[/math].

Osservazioni

💡 Per passare dalla forma canonica traslata a quella generale si possono sviluppare i quadrati:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
& \frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1 \\
& \text{Moltiplicando per 225:} \\
& 9(x^2 – 4x + 4) + 25(y^2 + 2y + 1) = 225 \\
& 9x^2 – 36x + 36 + 25y^2 + 50y + 25 = 225 \\
& 9x^2 + 25y^2 – 36x + 50y – 164 = 0.
\end{aligned}[/math]

Questo può essere utile per riconoscere un’ellisse da un’equazione di secondo grado.

Domanda di riflessione

Cosa succede all’equazione se l’ellisse traslata viene ruotata di 90° (cioè scambi i ruoli di asse maggiore e minore)? Come si modificano le coordinate di vertici e fuochi?

Osservazioni

💡 La condizione di tangenza [math]\Delta = 0[/math] è un metodo potente. Per rette in forma implicita [math]Ax + By + C = 0[/math] si può usare la formula di sdoppiamento o la distanza dal centro.

Ricorda: per un’ellisse centrata nell’origine, la retta [math]y = mx \pm \sqrt{a^2 m^2 + b^2}[/math] è tangente.

Domanda di riflessione

Quale relazione lega i coefficienti di una retta tangente a un’ellisse? Come si estende il concetto a un’ellisse traslata?

Risposte alle domande di riflessione