Esercizi svolti sulle coniche

ESERCIZIO 1:

Fissato su un piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy, scrivere l’equazione della retta tangente alla parabola y = x² – 4 e parallela alla bisettrice del I e III quadrante.

SOLUZIONE

La parabola in breve

L’equazione della bisettrice del I e III quadrante è y = x ; quindi il coefficiente angolare della retta cercata sarà 1 e la sua equazione sarà del tipo

y = x + k ; k ∈ ℜ :

Ora bisogna trovare il valore di k affinchè tale retta sia tangente alla parabola. Per fare ciò basta imporre che il sistema:

ESERCIZIO 2:

Fissato su un piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy, determinare i punti di intersezione dell’ellisse di equazione 3x² + y² = 12 con la circonferenza avente centro nell’origine del sistema di riferimento e raggio √10 .

SOLUZIONE

L’ellisse in breve:

L’equazione della circonferenza avente centro nell’origine del sistema di riferimento e raggio √10 è data da

x² + y² = 10 

Per trovare le intersezioni tra tale circonferenza e l’ellisse data basta risolvere il sistema:

ESERCIZIO 3:

Fissato su un piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy, determinare le coordinate del centro, gli assi e gli asintoti dell’iperbole di equazione

2x² –  3y² – 16x + 38= 0.

SOLUZIONE

L’iperbole in breve:

L’equazione dell’iperbole data si può riscrivere come

che è la forma canonica dell’iperbole data.
L’equazione:

rappresenta un’iperbole con centro in (x₀; y₀) e con asse trasverso (contenente i fuochi) parallelo all’asse y e di equazione
x = x₀ , mentre l’asse non trasverso è parallelo all’asse x ed ha equazione y = y₀.
Inoltre i suoi asintoti sono le rette

Allora l’iperbole data è centrata nel punto (4; 0) ed ha l’asse trasverso parallelo all’asse ye di equazione x = 4 e l’asse non trasverso coincidente con l’asse x.

Infine i suoi asintoti hanno equazione

 

 

 

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