Ellisse e rette tangenti

Diciamoci la verità: mettersi a fare i conti tra un’ellisse e una retta è il modo più veloce per farsi venire il mal di testa, specialmente quando un segno meno decide di sparire a metà esercizio.

Eppure, capire come queste linee si sfiorano non è solo una tortura da professori di matematica; è la base per capire come funzionano le orbite o come si progettano gli specchi curvi.

In questa guida passiamo subito al sodo:

come si trovano queste benedette tangenti, quale metodo ti fa risparmiare tempo e come evitare gli errori più comuni che fanno perdere punti preziosi nel compito in classe.

Condizioni di tangenza ellisse – retta 

1. Metodo del Discriminante ([math]\Delta = 0[/math])

Sistema: Si mette a sistema l’equazione dell’ellisse con quella della retta (o fascio di rette):

[math]\begin{cases} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ y = mx + q \end{cases}[/math]

Equazione Risolvente: Si sostituisce la [math]y[/math] nella prima equazione, ottenendo un’equazione di secondo grado in [math]x[/math] del tipo [math]Ax^2 + Bx + C = 0[/math].

Condizione: Si impone [math]\Delta = B^2 – 4AC = 0[/math]. I valori di [math]m[/math] o [math]q[/math] che soddisfano questa uguaglianza definiscono la retta tangente.

Riassunto delle posizioni retta-ellisse:

• [math]\Delta > 0[/math]: La retta è secante (due intersezioni distinte).
• [math]\Delta = 0[/math]: La retta è tangente (un solo punto di intersezione o due punti coincidenti).
• [math]\Delta < 0[/math]: La retta è esterna (nessuna intersezione).

Se il punto da cui partono le tangenti è esterno all’ellisse, si otterranno generalmente due valori del coefficiente angolare [math]m[/math], corrispondenti alle due rette tangenti possibili.

2. Formula di Sdoppiamento

Se il punto [math]P(x_0, y_0)[/math] è noto e appartiene all’ellisse, questo è il metodo più rapido. Invece di passare per il sistema, si utilizza la formula diretta:

[math]\frac{x \cdot x_{0}}{a^{2}} + \frac{y \cdot y_{0}}{b^{2}} = 1[/math]

Nota: Questa formula è estremamente efficace nei compiti in classe perché riduce drasticamente il rischio di errori di calcolo algebrico legati al sistema e al discriminante.

Esercizio 1 — Tangente in un punto dell’ellisse

Data l’ellisse:

[math]\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1[/math]

determinare:

• se il punto [math]P\left(3, \frac{12}{5}\right)[/math] appartiene all’ellisse;
• l’equazione della retta tangente all’ellisse nel punto [math]P[/math].

Svolgimento

1. Verifica di appartenenza

Sostituiamo le coordinate del punto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\frac{3^2}{25} + \frac{\left(\frac{12}{5}\right)^2}{9} \\
&= \frac{9}{25} + \frac{144/25}{9} \\
&= \frac{9}{25} + \frac{144}{225} \\
&= \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1
\end{aligned}[/math]

Quindi il punto appartiene all’ellisse.

2. Equazione della tangente

Per l’ellisse:

[math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/math]

la tangente nel punto [math]P(x_0, y_0)[/math] è:

[math]\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1[/math]

Nel nostro caso:

• [math]a^2 = 25[/math]
• [math]b^2 = 9[/math]
• [math]x_0 = 3[/math]
• [math]y_0 = \frac{12}{5}[/math]

Sostituendo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\frac{3x}{25} + \frac{\frac{12}{5}y}{9} = 1 \\
&\frac{3x}{25} + \frac{4y}{15} = 1
\end{aligned}[/math]

Moltiplichiamo per 75:

[math]9x + 20y = 75[/math]

Risposta

[math]9x + 20y = 75[/math]

Osservazioni strategiche

• Conviene sempre verificare subito se il punto appartiene all’ellisse.
• La formula della tangente “simmetrica” è il metodo più veloce nelle verifiche.
• Dopo aver trovato la retta, controlla che il punto la soddisfi.

Esercizio 2 — Tangenti parallele a una retta assegnata

Determinare le rette tangenti all’ellisse:

[math]\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1[/math]

parallele alla retta:

[math]y = 2x + 1[/math]

Svolgimento

Le tangenti parallele devono avere lo stesso coefficiente angolare della retta data:

[math]m = 2[/math]

Scriviamo l’equazione della retta generica (fascio improprio):

[math]y = 2x + q[/math]

Sostituiamo nell’equazione dell’ellisse per trovare i punti di intersezione:

[math]\frac{x^2}{16} + \frac{(2x + q)^2}{4} = 1[/math]

Sviluppiamo i calcoli:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\frac{x^2}{16} + \frac{4x^2 + 4qx + q^2}{4} = 1 \\
&\frac{x^2}{16} + x^2 + qx + \frac{q^2}{4} = 1
\end{aligned}[/math]

Moltiplichiamo tutto per 16 per eliminare i denominatori:

[math]x^2 + 16x^2 + 16qx + 4q^2 = 16[/math]

Otteniamo l’equazione di secondo grado associata:

[math]17x^2 + 16qx + 4q^2 – 16 = 0[/math]

Affinché vi sia tangenza, il discriminante ([math]\Delta[/math]) deve essere nullo:

[math]\Delta = (16q)^2 – 4 \cdot 17 \cdot (4q^2 – 16) = 0[/math]

[math]256q^2 – 272q^2 + 1088 = 0[/math]

[math]-16q^2 + 1088 = 0[/math]

[math]q^2 = \frac{1088}{16} = 68[/math]

[math]q = \pm \sqrt{68} = \pm 2\sqrt{17}[/math]

Risposta

Le due rette tangenti cercate sono:

[math]y = 2x + 2\sqrt{17}[/math]

[math]y = 2x – 2\sqrt{17}[/math]

Osservazioni strategiche

• Quando una retta è “parallela a…”, il coefficiente angolare [math]m[/math] è già noto e non va calcolato.
• La condizione di tangenza in un sistema retta-curva si ottiene sempre imponendo [math]\Delta = 0[/math].
• Nelle verifiche scolastiche questo metodo (metodo del discriminante) è quello più richiesto e universale.

Esercizio 3 — Tangenti passanti per un punto esterno

Data l’ellisse:

[math]\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1[/math]

determinare le tangenti passanti per il punto esterno [math]A(6,0)[/math].

Svolgimento

1. Equazione della retta passante per [math]A(6,0)[/math]

Utilizziamo il fascio proprio di rette passante per il punto [math]A[/math]:

[math]y – 0 = m(x – 6) \implies y = m(x – 6)[/math]

2. Sostituzione nell’ellisse

Mettiamo a sistema la retta con l’ellisse [math]\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1[/math]:

[math]\frac{x^2}{9} + \frac{[m(x – 6)]^2}{4} = 1[/math]

Moltiplichiamo tutto per 36 (m.c.m. tra 9 e 4) per eliminare i denominatori:

[math]4x^2 + 9m^2(x – 6)^2 = 36[/math]

Sviluppiamo il quadrato e distribuiamo il coefficiente:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
4x^2 + 9m^2(x^2 – 12x + 36) &= 36 \\
4x^2 + 9m^2x^2 – 108m^2x + 324m^2 &= 36
\end{aligned}[/math]

Riorganizziamo l’equazione in forma normale [math]Ax^2 + Bx + C = 0[/math]:

[math](4 + 9m^2)x^2 – 108m^2x + (324m^2 – 36) = 0[/math]

3. Condizione di tangenza ([math]\Delta = 0[/math])

Poiché il coefficiente [math]B[/math] ([math]-108m^2[/math]) è pari, utilizziamo la formula del discriminante ridotto [math]\frac{\Delta}{4}[/math]:

[math]\frac{\Delta}{4} = (54m^2)^2 – (4 + 9m^2)(324m^2 – 36) = 0[/math]

Sviluppiamo i prodotti:

[math]2916m^4 – (1296m^2 – 144 + 2916m^4 – 324m^2) = 0[/math]
[math]2916m^4 – (2916m^4 + 972m^2 – 144) = 0[/math]
[math]-972m^2 + 144 = 0[/math]

Risolviamo per [math]m[/math]:

[math]m^2 = \frac{144}{972} = \frac{4}{27}[/math]
[math]m = \pm \sqrt{\frac{4}{27}} = \pm \frac{2}{3\sqrt{3}}[/math]

Razionalizzando ([math]\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}[/math]):

[math]m = \pm \frac{2\sqrt{3}}{9}[/math]

4. Equazioni delle tangenti

Sostituiamo i valori di [math]m[/math] trovati nell’equazione del fascio [math]y = m(x – 6)[/math]:

• Prima tangente: [math]y = \frac{2\sqrt{3}}{9}x – \frac{12\sqrt{3}}{9} \implies y = \frac{2\sqrt{3}}{9}x – \frac{4\sqrt{3}}{3}[/math]
• Seconda tangente: [math]y = -\frac{2\sqrt{3}}{9}x + \frac{4\sqrt{3}}{3}[/math]

💡 Osservazioni strategiche

• Sicurezza: Il metodo del discriminante nullo è universale e funziona per ogni conica.
• Efficienza: Eliminare subito i denominatori riduce drasticamente gli errori di calcolo.
• Velocità: Usare [math]\frac{\Delta}{4}[/math] quando possibile mantiene i numeri più piccoli e gestibili.
• Check finale: Verifica sempre i segni nel passaggio dal discriminante all’equazione finale, è il punto dove si commettono più errori.

Esercizio 4 — Punto di tangenza nota la tangente

Data l’ellisse [math]\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1[/math] e la retta [math]3x + 4y = 12[/math], determinare:

• se la retta è tangente all’ellisse;
• l’eventuale punto di tangenza.

Svolgimento

1. Portiamo la retta in forma normale

Per confrontarla agevolmente con la formula della tangente, dividiamo l’equazione della retta per 12 (il termine noto):

[math]\frac{3x}{12} + \frac{4y}{12} = \frac{12}{12} \implies \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1[/math]

2. Richiamiamo la formula della tangente (Sdoppiamento)

Per l’ellisse [math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/math], la tangente nel punto [math]P(x_0, y_0)[/math] è:

[math]\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} = 1[/math]

Nel nostro caso, avendo [math]a^2 = 16[/math] e [math]b^2 = 9[/math], la generica tangente è:

[math]\frac{xx_0}{16} + \frac{yy_0}{9} = 1[/math]

3. Confronto tra le due equazioni

Mettiamo a confronto i coefficienti della retta data con quelli della formula teorica:

• Coefficiente di [math]x[/math]: [math]\frac{x_0}{16} = \frac{1}{4} \implies x_0 = \frac{16}{4} = 4[/math]
• Coefficiente di [math]y[/math]: [math]\frac{y_0}{9} = \frac{1}{3} \implies y_0 = \frac{9}{3} = 3[/math]

Otteniamo così un “candidato” punto di tangenza: [math]P(4, 3)[/math].

4. Verifica di appartenenza

Affinché il punto sia effettivamente di tangenza, deve appartenere all’ellisse. Sostituiamo le coordinate di [math]P(4, 3)[/math] nell’equazione della curva:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{4^2}{16} + \frac{3^2}{9} &= \frac{16}{16} + \frac{9}{9} \\
&= 1 + 1 = 2
\end{aligned}[/math]

Poiché [math]2 \neq 1[/math], il punto non appartiene all’ellisse.

Conclusione

La retta [math]3x + 4y = 12[/math] non è tangente all’ellisse data. Di conseguenza:

• Non esiste alcun punto di tangenza.
• Il confronto dei coefficienti ha prodotto un “falso candidato” che, non appartenendo alla curva, conferma l’assenza di tangenza (la retta è in realtà esterna o secante, in questo caso specifica esterna ai vertici).

💡 Come riconoscere subito se una retta è tangente

Per una retta scritta nella forma [math]Ax + By = 1[/math], la condizione di tangenza all’ellisse [math]\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1[/math] è data dalla relazione:

[math]a^2A^2 + b^2B^2 = 1[/math]

Nel nostro caso:

[math]A = \frac{1}{4}, \quad B = \frac{1}{3}[/math]
[math]16 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 + 9 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 16 \cdot \frac{1}{16} + 9 \cdot \frac{1}{9} = 1 + 1 = 2[/math]

Poiché il risultato ([math]2[/math]) è diverso da [math]1[/math], abbiamo la conferma matematica immediata che la retta non può essere tangente.

Esercizio 5 — Studio completo tangente con parametro

Data l’ellisse:

[math]\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1[/math]

determinare per quali valori di [math]k[/math] la retta:

[math]y = kx + 5[/math]

è tangente all’ellisse.

Svolgimento

Sostituiamo l’equazione della retta nell’equazione dell’ellisse:

[math]\frac{x^2}{16} + \frac{(kx + 5)^2}{25} = 1[/math]

Sviluppiamo il quadrato del binomio:

[math]\frac{x^2}{16} + \frac{k^2x^2 + 10kx + 25}{25} = 1[/math]

Semplifichiamo i termini della frazione:

[math]\frac{x^2}{16} + \frac{k^2x^2}{25} + \frac{10kx}{25} + \frac{25}{25} = 1[/math]

[math]\frac{x^2}{16} + \frac{k^2x^2}{25} + \frac{2kx}{5} + 1 = 1[/math]

Sottraendo 1 da entrambi i membri, otteniamo:

[math]\frac{x^2}{16} + \frac{k^2x^2}{25} + \frac{2kx}{5} = 0[/math]

Moltiplichiamo per il minimo comune multiplo (400) per eliminare i denominatori:

[math]25x^2 + 16k^2x^2 + 160kx = 0[/math]

Raccogliamo la [math]x[/math]:

[math]x \left[ (25 + 16k^2)x + 160k \right] = 0[/math]

Affinché ci sia tangenza, l’equazione di secondo grado deve avere una sola soluzione reale (due soluzioni coincidenti). In questo caso, essendo un’equazione spuria, una soluzione è già [math]x = 0[/math]. La tangenza avviene se anche la seconda soluzione è [math]x = 0[/math], il che impone che il termine noto della parentesi quadra sia nullo:

[math]160k = 0 \implies k = 0[/math]

Nota tecnica: Osservando il grafico, il punto [math](0, 5)[/math] è il vertice superiore dell’ellisse ([math]b=5[/math]). Qualsiasi retta passante per quel vertice è tangente se è orizzontale ([math]k=0[/math]). Tuttavia, seguendo il metodo del discriminante nullo per la forma generale [math]Ax^2 + Bx + C = 0[/math]:

[math]\Delta = (160k)^2 – 4(25 + 16k^2)(0) = 0 \implies 25600k^2 = 0 \implies k = 0[/math]

Risposta

Il valore di [math]k[/math] per cui la retta è tangente è: [math]k = 0[/math]

Osservazioni strategiche

• Parametri: Negli esercizi con parametro [math]k[/math], la condizione di tangenza [math]\Delta = 0[/math] è quasi sempre la chiave risolutiva.
• Analisi preliminare: Prima di tuffarsi nei calcoli complessi del [math]\Delta[/math], semplifica bene l’equazione e osserva se il punto appartiene già a un vertice (come in questo caso il punto [math]0, 5[/math]).
• Errori comuni: Presta massima attenzione ai prodotti notevoli e ai segni quando moltiplichi per eliminare i denominatori.

Dietro le quinte: Cosa insegnano questi esercizi

Ecco perché questa selezione è fondamentale per padroneggiare le tangenti all’ellisse e quali competenze specifiche sviluppa ogni esercizio:

Metodi e strategie per le tangenti all’ellisse

👉 Ellisse nel piano cartesiano: teoria e formule

👉 Ellisse: quesiti frequenti ed esercizi svolti

👉 Esercizi svolti sull’ellisse (parte 1)

👉 Esercizi svolti sull’ellisse (parte 2)

👉 Applicazioni: traiettorie e proprietà focali dell’ellisse

👉 Ellisse: formule, proprietà ed esercizi svolti spiegati in modo chiaro (con trucchi geometrici)

👉 Non capisci l’ellisse? 9 esercizi guidati per la verifica

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