Area di una figura geometrica “impossibile”? Il segreto nascosto dietro quattro cerchi e un quadrato

Eppure, la geometria ha un lato meravigliosamente ironico. Spesso, dietro un groviglio di archi e sovrapposizioni che ci fa esclamare “è impossibile”, si nasconde una soluzione di un’eleganza disarmante.

Il problema che affrontiamo oggi è esattamente questo.

A prima vista, calcolare l’area della regione colorata sembra un incubo di calcoli e intersezioni. Ma se impariamo a guardare la figura non come un blocco unico, bensì attraverso la lente delle simmetrie, tutto cambia. I conti si semplificano, le aree si bilanciano magicamente e il caos si trasforma in una formula finale pulita e bellissima:

[math]\displaystyle A=\frac{a^2}{4}(\pi-2)[/math]

Non si tratta di fare calcoli difficili, ma di imparare a osservare. Vediamo insieme come funziona.

Testo del problema

Nel quadrato [math]ABCD[/math] di lato [math]a[/math] è inscritta una circonferenza [math]\Gamma[/math], tangente ai quattro lati del quadrato.

All’interno della circonferenza [math]\Gamma[/math] sono disegnate quattro circonferenze congruenti, ciascuna avente raggio pari alla metà del raggio della circonferenza maggiore e con i centri nei punti medi dei raggi orizzontali e verticali della circonferenza grande.

Le regioni colorate sono ottenute:

• dalle parti della circonferenza maggiore non occupate dalle quattro circonferenze minori;
• dalle intersezioni tra coppie di circonferenze minori adiacenti.

Dimostrare che l’area totale della regione colorata vale:

[math]\displaystyle A=\frac{a^2}{4}(\pi-2)[/math]

Perché questo problema è più difficile di quanto sembri

Molti studenti, appena vedono la figura, pensano subito:

“Basta fare area del cerchio grande meno area dei quattro piccoli.”

Sembra ragionevole. Peccato che il risultato ottenuto sia:

[math]A=0[/math]

che ovviamente è assurdo.

Perché succede?

Perché i quattro cerchi piccoli non sono separati. Si sovrappongono.

E quando figure geometriche si sovrappongono, una semplice sottrazione di aree non basta più: bisogna capire quali regioni vengono contate più volte.

Questo è il vero punto critico del problema.

La strategia vincente consiste nel trasformare una figura apparentemente artistica in una combinazione rigorosa di elementi semplici:

• settori circolari;
• triangoli;
• segmenti circolari;
• simmetrie.

Passo 1 — Individuare correttamente i raggi

La circonferenza maggiore è inscritta nel quadrato di lato [math]a[/math]. Questo significa che il diametro coincide con il lato del quadrato.

Quindi:

[math]2R=a[/math]

da cui:

[math]R=\frac a2[/math]

Le quattro circonferenze minori hanno raggio pari alla metà del raggio della circonferenza maggiore:

[math]r=\frac R2[/math]

cioè:

[math]r=\frac a4[/math]

Questo passaggio sembra banale, ma è fondamentale. Molti errori nascono proprio da una cattiva interpretazione iniziale dei raggi.

Passo 2 — Il primo colpo di scena: le aree coincidono

Calcoliamo ora le aree.

Area della circonferenza maggiore

Abbiamo:

[math]A_{\Gamma} = \pi R^2[/math]

Sostituendo [math]R=\frac a2[/math]:

[math]\displaystyle A_{\Gamma} = \pi \left( \frac a2 \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}[/math]

Area totale dei quattro cerchi piccoli

L’area di un singolo cerchio piccolo è:

[math]A_{piccolo} = \pi r^2[/math]

quindi:

[math]\displaystyle A_{piccolo} = \pi \left( \frac a4 \right)^2 = \frac{\pi a^2}{16}[/math]

Poiché i cerchi sono quattro:

[math]\displaystyle 4A_{piccolo} = 4 \cdot \frac{\pi a^2}{16} = \frac{\pi a^2}{4}[/math]

Ed ecco la sorpresa:

[math]A_{\Gamma} = 4A_{piccolo}[/math]

In altre parole: la somma delle aree dei quattro cerchi piccoli coincide esattamente con l’area del cerchio grande.

A questo punto qualcuno potrebbe pensare: “Allora la parte colorata è zero!”

Ma qui entra in gioco il vero cuore geometrico del problema.

L’idea decisiva: petali e lunette si compensano

La chiave di volta dell’esercizio è capire cosa succede quando sommiamo le aree dei quattro cerchi piccoli.

Le regioni centrali di sovrapposizione — i cosiddetti petali — appartengono contemporaneamente a due cerchi. Questo significa che vengono contate due volte.

D’altra parte, alcune zone della circonferenza maggiore rimangono scoperte: sono le lunette esterne.

Poiché [math]A_{\Gamma} = 4A_{piccolo}[/math], l’eccesso di area dovuto ai doppi conteggi deve necessariamente compensare le parti lasciate vuote.

Quindi possiamo affermare un fatto fondamentale: l’area totale delle lunette coincide esattamente con l’area totale dei petali.

Ed è qui che il problema si semplifica drasticamente. Infatti non dobbiamo calcolare tutta la figura. Basta calcolare:

• un singolo petalo;
• moltiplicare per quattro;
• raddoppiare il risultato.

Una strategia elegantissima.

Passo 3 — Studiamo un solo petalo

Grazie alla simmetria della figura, invece di affrontare un problema enorme possiamo concentrarci su un unico elemento.

Consideriamo due cerchi adiacenti. Entrambi hanno raggio [math]r=\frac a4[/math].

La distanza fra i centri è:

[math]\displaystyle d = \sqrt{ \left( \frac a4 \right)^2 + \left( \frac a4 \right)^2 } = \frac a4\sqrt2[/math]

Passo 4 — L’angolo nascosto del petalo

Consideriamo il triangolo formato dai due centri e da un punto di intersezione dei due cerchi. Abbiamo un triangolo isoscele con lati [math]r[/math], [math]r[/math], [math]r\sqrt2[/math].

Per determinare l’angolo al centro utilizziamo il teorema del coseno. Se indichiamo con [math]\theta[/math] l’angolo cercato:

[math]\displaystyle (r\sqrt2)^2 = r^2+r^2-2r^2\cos\theta[/math]

cioè:

[math]2r^2 = 2r^2(1-\cos\theta)[/math]

Dividendo per [math]2r^2[/math]:

[math]1=1-\cos\theta[/math]

da cui [math]\cos\theta=0[/math] e quindi [math]\theta=\frac{\pi}{2}[/math].

Abbiamo così dimostrato rigorosamente che ogni petalo è delimitato da due settori di 90°.

Passo 5 — Calcolare l’area di un petalo

Un petalo è composto da due settori circolari meno due triangoli rettangoli isosceli.

Area dei due settori: Ogni settore rappresenta un quarto di cerchio [math]\frac14\pi r^2[/math]. Quindi due settori valgono [math]\frac12\pi r^2[/math].

Area dei due triangoli: Ogni triangolo ha area [math]\frac12r^2[/math]. Quindi [math]r^2[/math].

Area del petalo: Sottraendo:

[math]\displaystyle A_p = \frac12\pi r^2-r^2 = r^2 \left( \frac{\pi}{2}-1 \right)[/math]

Sostituendo [math]r=\frac a4[/math]:

[math]\displaystyle A_p = \frac{a^2}{16} \left( \frac{\pi}{2}-1 \right)[/math]

Passo 6 — Area totale dei petali

I petali sono quattro:

[math]A_{petali} = 4A_p[/math]

Quindi:

[math]\displaystyle A_{petali} = 4 \cdot \frac{a^2}{16} \left( \frac{\pi}{2}-1 \right)[/math]

Semplificando:

[math]\displaystyle A_{petali} = \frac{a^2}{8} (\pi-2)[/math]

Passo 7 — Area delle lunette

Ricordiamo il risultato chiave: petali e lunette hanno la stessa area.

[math]\displaystyle A_{lunette} = \frac{a^2}{8} (\pi-2)[/math]

Passo 8 — Area totale della regione colorata

Sommiamo [math]A = A_{petali} + A_{lunette}[/math]:

[math]\displaystyle A = \frac{a^2}{8} (\pi-2) + \frac{a^2}{8} (\pi-2)[/math]

Otteniamo infine:

[math]\displaystyle \boxed{ A = \frac{a^2}{4} (\pi-2) }[/math]

Osservazioni  da maturità

1. La simmetria riduce drasticamente il problema: Invece di studiare tutta la figura, studia un solo petalo e moltiplica. È una tecnica ricorrente nei problemi avanzati.
2. Le sovrapposizioni cambiano completamente il ragionamento: Il problema non si risolve con una semplice differenza di aree. Serve un ragionamento di inclusione–esclusione.
3. L’intuizione non basta: L’angolo di 90° sembra evidente, ma deve essere giustificato rigorosamente. Usare il teorema del coseno rende la soluzione inattaccabile.

Generalizzazione del problema

Finora abbiamo studiato il caso particolare in cui il raggio dei cerchi piccoli vale metà del raggio del cerchio grande.

Ma cosa succede se cambiamo il rapporto tra i raggi?

Supponiamo che il raggio delle quattro circonferenze minori sia:

[math]r=kR[/math]

con:

[math]0 < k < 1[/math]

dove:

• [math]R[/math] è il raggio della circonferenza maggiore;
• [math]k[/math] è un parametro reale.

Vogliamo:

• capire quando le circonferenze si toccano o si sovrappongono;
• determinare una formula generale dell’area azzurra.

Comprendere la nuova geometria

Poiché ogni cerchio piccolo è tangente internamente alla circonferenza maggiore, il centro di ciascun cerchio si trova a distanza:

[math]d=R-r[/math]

dal centro della figura. Sostituendo [math]r=kR[/math] si ottiene:

[math]d=R(1-k)[/math]

I centri delle quattro circonferenze si trovano quindi nei punti:

[math](R(1-k),0)[/math], [math](-R(1-k),0)[/math], [math](0,R(1-k))[/math], [math](0,-R(1-k))[/math].

Quando le circonferenze minori si toccano?

Consideriamo due cerchi adiacenti. La distanza tra i loro centri vale:

[math]\displaystyle D = \sqrt{[R(1-k)]^2 + [R(1-k)]^2}[/math]

cioè:

[math]\displaystyle D = \sqrt{2}R(1-k)[/math]

Ora distinguiamo tre casi geometrici.

Caso 1 — Cerchi separati
Se [math]D > 2r[/math], i cerchi non si toccano.

Caso 2 — Cerchi tangenti
Se [math]D = 2r[/math], esiste un solo punto di contatto.

Caso 3 — Cerchi sovrapposti
Se [math]D < 2r[/math], si formano i petali centrali.

Determinare il valore critico di [math]k[/math]

Imponiamo la condizione di tangenza:

[math]\sqrt{2} R(1-k) = 2kR[/math]

Semplificando [math]R[/math]:

[math]\sqrt{2}(1-k) = 2k[/math]

Sviluppiamo:

[math]\sqrt{2} – \sqrt{2}k = 2k[/math]

Raccogliendo:

[math]\sqrt{2} = k(2 + \sqrt{2})[/math]

quindi:

[math]\displaystyle k = \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}[/math]

Razionalizzando:

[math]k = \sqrt{2} – 1[/math]

Otteniamo così il valore critico:

[math]\boxed{k = \sqrt{2} – 1}[/math] ossia circa [math]k \approx 0.414[/math].

Discussione completa dei casi

Caso A — Nessuna sovrapposizione

Se [math]0 < k \le \sqrt{2}-1[/math], i cerchi risultano separati (oppure tangenti in un solo punto). In questo caso non esistono petali.

L’area azzurra coincide semplicemente con la parte del cerchio grande non occupata dai cerchi piccoli:

[math]A = \pi R^2 – 4\pi(kR)^2[/math]

cioè:

[math]\boxed{A = \pi R^2(1 – 4k^2)}[/math]

Caso B — Presenza di petali

Se [math]\sqrt2-1 < k < 1[/math], i cerchi si sovrappongono e si formano le regioni centrali di intersezione (i petali).

Nel caso particolare [math]k=\frac12[/math] abbiamo sfruttato una scorciatoia elegante: area totale delle lunette = area totale dei petali.

Ma attenzione: questa proprietà non vale in generale.

Per [math]k \neq \frac12[/math], infatti, la somma delle aree dei quattro cerchi piccoli non coincide più con l’area del cerchio grande. Infatti:

[math]A_\Gamma=\pi R^2[/math]

mentre:

[math]4A_{piccoli} = 4\pi(kR)^2 = 4\pi k^2R^2[/math]

Le due quantità coincidono solo se:

[math]4k^2=1 \quad\Longrightarrow\quad k=\frac12[/math]

Perciò dobbiamo costruire una formula generale usando un ragionamento di inclusione–esclusione.

Area di un petalo

L’angolo del settore è:

[math]\displaystyle \theta = \arccos \left( \frac{\sqrt2(1-k)}{2k} \right)[/math]

L’area di un singolo petalo vale:

[math]A_p = k^2R^2 \left( 2\theta-\sin(2\theta) \right)[/math]

Area occupata dai quattro cerchi piccoli

La somma delle aree dei quattro cerchi è [math]4\pi k^2R^2[/math]. Ma le quattro intersezioni vengono contate due volte. Per ottenere l’area effettivamente occupata dall’unione dei quattro cerchi bisogna sottrarre una volta ciascun petalo:

[math]A_{unione} = 4\pi k^2R^2 – 4A_p[/math]

Area delle lunette

Le lunette sono la parte del cerchio grande non occupata dai cerchi piccoli. Quindi:

[math]A_{lunette} = A_\Gamma – A_{unione}[/math]

cioè:

[math]A_{lunette} = \pi R^2 – \left( 4\pi k^2R^2 – 4A_p \right)[/math]

Semplificando:

[math]A_{lunette} = \pi R^2(1-4k^2) + 4A_p[/math]

Area azzurra totale

La regione colorata totale è data da:

• lunette;
• quattro petali.

Pertanto:

[math]A_{tot} = A_{lunette} + 4A_p[/math]

cioè:

[math]A_{tot} = \pi R^2(1-4k^2) + 8A_p[/math]

Sostituendo [math]A_p[/math]:

[math]\displaystyle \boxed{ A(k) = \pi R^2(1-4k^2) + 8k^2R^2 \left[ 2\theta-\sin(2\theta) \right] }[/math]

dove:

[math]\displaystyle \theta = \arccos \left( \frac{\sqrt2(1-k)}{2k} \right)[/math]

Verifica del caso originale

Se [math]k=\frac12[/math], allora [math]1-4k^2=0[/math], quindi il primo termine sparisce automaticamente e resta:

[math]A= 8A_p[/math]

esattamente la formula usata nel problema iniziale. Questo conferma che il caso classico è una situazione speciale di perfetto bilanciamento delle aree, non una proprietà universale.