L’Integrazione per Parti: Oltre le Regole Base
Davanti al prodotto di due funzioni dentro un integrale, le regole base non bastano più. Se hai mai provato a risolvere un [math]\int x e^x \, dx[/math] sperando bastasse integrare i singoli pezzi, sai già che il risultato è un disastro.
L’integrazione per parti nasce proprio per toglierci d’impaccio in queste situazioni: non è una formula magica da imparare a memoria, ma un trucco per “spostare” la derivata dalla funzione più fastidiosa a quella più gestibile.
La logica dietro la formula
Tutto deriva dalla regola di derivazione del prodotto. Integrando entrambi i membri della derivata di [math]u \cdot v[/math], otteniamo la celebre formula:
[math]\int u \, dv = uv – \int v \, du[/math]
In pratica, decidiamo quale parte “sacrificare” derivandola ([math]u[/math]) e quale parte integrare ([math]dv[/math]), con l’obiettivo di ottenere un secondo integrale decisamente più semplice del primo.
In questo articolo abbiamo raccolto 10 esercizi, partendo da quelli diretti fino ad arrivare ai temuti integrali ciclici. Non troverai solo i passaggi meccanici, ma anche la spiegazione del perché abbiamo fatto certe scelte.
Perché, alla fine, il vero ostacolo nell’integrazione per parti è solo uno: scegliere correttamente chi derivare e chi integrare.
Come scegliere [math]u[/math] e [math]dv[/math]?
La domanda che tormenta ogni studente è sempre la stessa: chi derivare e chi integrare? Se scegli la strada sbagliata, l’integrale diventa un mostro sempre più grande. Se scegli quella giusta, si scioglie in due passaggi.
Ecco le linee guida per non sbagliare rotta:
1. Quando scegliere [math]u[/math] (Cosa conviene Derivare)
L’obiettivo della derivazione nell’integrazione per parti è semplificare la funzione o renderla “commestibile”.
- Logaritmi ([math]\ln x[/math]): Obbligatorio derivarli. Non abbiamo una primitiva immediata del logaritmo, ma la sua derivata ([math]\frac{1}{x}[/math]) è una potenza che si semplifica facilmente con il resto dell’integrale.
- Funzioni Circolari Inverse ([math]\arctan x[/math], [math]\arcsin x[/math]): Anche queste vanno derivate. Trasformano una funzione trascendentale complicata in una funzione algebrica razionale (come [math]\frac{1}{1+x^2}[/math]), molto più facile da gestire.
- Polinomi ([math]x^n[/math]): Si derivano per “abbassarli di grado”. Ogni volta che derivi [math]x^2[/math], ottieni [math]2x[/math]; derivandolo ancora, ottieni una costante. È la tecnica del “logoramento” del polinomio.
2. Quando scegliere [math]dv[/math] (Cosa conviene Integrare)
Scegliamo come “pezzo da integrare” le funzioni che, anche se integrate, non cambiano faccia o rimangono comunque semplici.
- Esponenziali ([math]e^x[/math]): Sono i candidati ideali. Integrarli o derivarli non cambia nulla, quindi lasciamo che “subiscano” l’integrazione mentre ci occupiamo di semplificare l’altro pezzo.
- Seno e Coseno ([math]\sin x[/math], [math]\cos x[/math]): Si alternano tra loro senza aumentare di complessità. Sono perfetti come elementi da integrare quando sono accoppiati a un polinomio.
3. Quando aspettarsi la Ciclicità
C’è un caso speciale in cui nessuno dei due pezzi “sparisce” mai: l’incontro tra un’esponenziale e una trigonometrica (es. [math]\int e^x \cos x \, dx[/math]).
- Il segnale: Se dopo due passaggi per parti ti ritrovi esattamente con l’integrale di partenza (magari con un coefficiente diverso), non hai sbagliato!
- La soluzione: Non continuare a integrare all’infinito. Tratta l’integrale come un’incognita [math]I[/math] e risolvi l’equazione algebrica che si è creata.
💡 Regola d’oro (LIATE): Per scegliere [math]u[/math], segui l’ordine di questa parola:
Logaritmi, Inverse, Algebriche (polinomi), Trigonometriche, Esponenziali.
La prima che incontri partendo da sinistra è la tua [math]u[/math].
1. (Facile)
Calcola [math]\int x e^x \, dx[/math].
A) [math]x e^x – e^x + C[/math]
B) [math]x e^x + e^x + C[/math]
C) [math]e^x + C[/math]
D) [math]\frac{x^2}{2} e^x + C[/math]
💡 Osservazione – La scelta di [math]u[/math] e [math]dv[/math] segue la regola LIATE (Logaritmi, Inverse trigonometriche, Algebriche, Trigonometriche, Esponenziali): qui la parte algebrica [math]x[/math] è preferibile come [math]u[/math].
Domanda di riflessione: Perché è meglio derivare il polinomio invece di integrarlo in questo caso?
2. (Facile)
Calcola [math]\int x \sin x \, dx[/math].
A) [math]-x \cos x + \sin x + C[/math]
B) [math]x \cos x – \sin x + C[/math]
C) [math]-x \cos x – \sin x + C[/math]
D) [math]x \cos x + \sin x + C[/math]
💡 Osservazione – L’integrazione per parti è:
[math]\int u \, dv = uv – \int v \, du[/math].
Derivando [math]x[/math] si semplifica il grado.
Domanda di riflessione: Cosa cambierebbe se l’integrale fosse [math]\int x^2 \sin x \, dx[/math]?
3. (Medio)
Calcola [math]\int \ln x \, dx[/math].
A) [math]x \ln x – x + C[/math]
B) [math]\frac{1}{x} + C[/math]
C) [math]x \ln x + x + C[/math]
D) [math]\frac{1}{x} \ln x – \frac{1}{x} + C[/math]
💡 Osservazione – Si pone [math]u = \ln x[/math] (derivabile) e [math]dv = dx[/math]. L’integrale di [math]dx[/math] è [math]x[/math].
Domanda di riflessione: Perché non possiamo scegliere [math]u = 1[/math] e [math]dv = \ln x \, dx[/math]?
4. (Medio)
Calcola [math]\int x^2 e^x \, dx[/math].
A) [math]e^x(x^2 – 2x + 2) + C[/math]
B) [math]e^x(x^2 + 2x + 2) + C[/math]
C) [math]\frac{x^3}{3} e^x + C[/math]
D) [math]e^x(x^2 – 2x) + C[/math]
💡 Osservazione – Si applica l’integrazione per parti due volte, oppure si usa la formula di riduzione per polinomi moltiplicati per esponenziali.
Domanda di riflessione: Quante iterazioni servirebbero per [math]\int x^n e^x \, dx[/math]? Quale operazione conduce a un integrale elementare?
5. (Medio)
Calcola [math]\int e^x \cos x \, dx[/math].
A) [math]\frac{e^x}{2}(\sin x + \cos x) + C[/math]
B) [math]\frac{e^x}{2}(\sin x – \cos x) + C[/math]
C) [math]\frac{e^x}{2}(\cos x – \sin x) + C[/math]
D) [math]e^x \sin x + C[/math]
💡 Osservazione – Integrale ciclico: dopo due parti si riottiene l’integrale di partenza. Si risolve un’equazione.
Domanda di riflessione: Come si comporta l’integrale se l’esponente dell’esponenziale fosse [math]e^{kx}[/math] e l’argomento del coseno fosse [math]mx[/math]?
6. (Medio-difficile)
Calcola [math]\int \arctan x \, dx[/math].
A) [math]x \arctan x – \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C[/math]
B) [math]x \arctan x + \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C[/math]
C) [math]\frac{x^2}{2} \arctan x + C[/math]
D) [math]\arctan x – \frac{x}{1+x^2} + C[/math]
💡 Osservazione – Si pone [math]u = \arctan x[/math] e [math]dv = dx[/math]. L’integrale di [math]v \, du[/math] diventa [math]\int \frac{x}{1+x^2} dx[/math] che si risolve con un semplice cambio di variabile.
Domanda di riflessione: Quale regola di derivazione è alla base della derivata di [math]\arctan x[/math]?
7. (Difficile)
Calcola [math]\int x^3 \ln x \, dx[/math].
A) [math]\frac{x^4}{4} \ln x – \frac{x^4}{16} + C[/math]
B) [math]\frac{x^4}{4} \ln x + \frac{x^4}{16} + C[/math]
C) [math]\frac{x^4}{4} \ln x – \frac{x^4}{4} + C[/math]
D) [math]\frac{x^4}{4} \ln x + C[/math]
💡 Osservazione – Si sceglie [math]u = \ln x[/math] (derivata [math]\frac{1}{x}[/math]) e [math]dv = x^3 dx[/math] (integrale [math]\frac{x^4}{4}[/math]). Il prodotto [math]v \, du[/math] si semplifica facilmente.
Domanda di riflessione: Perché in questo caso non conviene porre [math]u = x^3[/math] e [math]dv = \ln x \, dx[/math]?
8. (Difficile)
Calcola [math]\int e^{2x} \sin(3x) \, dx[/math].
A) [math]\frac{e^{2x}}{13}(2 \sin 3x – 3 \cos 3x) + C[/math]
B) [math]\frac{e^{2x}}{13}(2 \sin 3x + 3 \cos 3x) + C[/math]
C) [math]\frac{e^{2x}}{13}(3 \sin 3x – 2 \cos 3x) + C[/math]
D) [math]\frac{e^{2x}}{13}(3 \sin 3x + 2 \cos 3x) + C[/math]
💡 Osservazione – Integrale ciclico con coefficienti: si integra per parti due volte, si isola l’integrale incognito e si risolve un’equazione lineare.
Domanda di riflessione: Quale forma assume la primitiva per [math]\int e^{ax} \sin(bx) dx[/math] in generale?
9. (Difficile)
Calcola [math]\int x^2 \cos(2x) \, dx[/math].
A) [math]\frac{x^2}{2} \sin 2x + \frac{x}{2} \cos 2x – \frac{1}{4} \sin 2x + C[/math]
B) [math]\frac{x^2}{2} \sin 2x – \frac{x}{2} \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C[/math]
C) [math]\frac{x^2}{2} \sin 2x + \frac{x}{2} \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C[/math]
D) [math]\frac{x^2}{2} \sin 2x – \frac{x}{2} \cos 2x – \frac{1}{4} \sin 2x + C[/math]
💡 Osservazione – Si applica l’integrazione per parti due volte, oppure si usa la formula di riduzione. Attenzione ai segni quando si integra [math]\cos(2x)[/math].
Domanda di riflessione: In [math]\int x^2 \cos(kx) \, dx[/math], come si può ricavare rapidamente il risultato senza ripetere i calcoli ogni volta?
10. (Molto difficile)
Calcola [math]\int \arcsin x \, dx[/math].
A) [math]x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C[/math]
B) [math]x \arcsin x – \sqrt{1-x^2} + C[/math]
C) [math]x \arcsin x + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + C[/math]
D) [math]\frac{x^2}{2} \arcsin x + C[/math]
💡 Osservazione – Si pone [math]u = \arcsin x[/math], [math]dv = dx[/math]. L’integrale di [math]v \, du = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx[/math] si risolve con la sostituzione [math]t = 1-x^2[/math].
Domanda di riflessione: Perché l’integrale di [math]\arccos x[/math] si ottiene con un ragionamento analogo? Qual è la relazione tra le due primitive?
Soluzioni commentate
1. [math]\int x e^x \, dx[/math]
Risposta corretta: A – [math]x e^x – e^x + C[/math]
Spiegazione:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Poniamo } u = x \text{ (derivata } du = dx\text{), } \\
&dv = e^x \, dx \text{ (integrale } v = e^x\text{).} \\
&\text{Allora } \int x e^x \, dx = x e^x – \int e^x \, dx \\
&{} \quad = x e^x – e^x + C.
\end{aligned}[/math]
Riflessione: Derivare il polinomio lo fa sparire (diventa costante), mentre integrarlo aumenterebbe il grado, rendendo l’integrale più complicato.
2. [math]\int x \sin x \, dx[/math]
Risposta corretta: A – [math]-x \cos x + \sin x + C[/math]
Spiegazione:
[math]u = x, \, dv = \sin x \, dx \Rightarrow du = dx, \, v = -\cos x.[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\int x \sin x \, dx = -x \cos x – \int (-\cos x) \, dx \\
&{} \quad = -x \cos x + \int \cos x \, dx \\
&{} \quad = -x \cos x + \sin x + C.
\end{aligned}[/math]
Riflessione: Con [math]x^2[/math] si dovrebbe applicare due volte la formula; dopo la prima parte si otterrebbe un integrale del tipo [math]\int x \cos x \, dx[/math], che richiede un’ulteriore applicazione.
3. [math]\int \ln x \, dx[/math]
Risposta corretta: A – [math]x \ln x – x + C[/math]
Spiegazione:
[math]u = \ln x, \, dv = dx \Rightarrow du = \frac{1}{x} \, dx, \, v = x.[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\int \ln x \, dx = x \ln x – \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx \\
&{} \quad = x \ln x – \int 1 \, dx = x \ln x – x + C.
\end{aligned}[/math]
Riflessione: Scegliendo [math]u = 1, \, dv = \ln x \, dx[/math] non sappiamo integrare [math]\ln x[/math] (è proprio quello che cerchiamo!). La scelta corretta sfrutta il fatto che sappiamo derivare [math]\ln x[/math].
4. [math]\int x^2 e^x \, dx[/math]
Risposta corretta: A – [math]e^x(x^2 – 2x + 2) + C[/math]
Spiegazione:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Prima parte: } u = x^2, \, dv = e^x \, dx \Rightarrow du = 2x \, dx, \, v = e^x \\
&\rightarrow \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x – 2 \int x e^x \, dx.
\end{aligned}[/math]
L’integrale [math]\int x e^x \, dx = e^x(x – 1)[/math] (dal primo esercizio).
Sostituendo: [math]x^2 e^x – 2e^x(x – 1) + C = e^x(x^2 – 2x + 2) + C.[/math]
Riflessione: Per [math]\int x^n e^x \, dx[/math] servono [math]n[/math] iterazioni, fino a ridursi a [math]\int e^x \, dx[/math]. Il polinomio viene derivato ripetutamente fino a diventare costante.
5. (Medio)
Calcola [math]\int e^x \cos x \, dx[/math].
Risposta corretta: A
Spiegazione dettagliata:
Questo è un classico integrale ciclico: dopo due applicazioni dell’integrazione per parti si riottiene l’integrale di partenza.
[math]I = \int e^x \cos x \, dx[/math]
Prima integrazione per parti:
Scegliamo [math]u = e^x[/math] (derivata semplice) e [math]dv = \cos x \, dx[/math] (integrabile).
Allora [math]du = e^x dx[/math] e [math]v = \sin x[/math].
[math]I = e^x \sin x – \int e^x \sin x \, dx[/math]
Chiamiamo [math]J = \int e^x \sin x \, dx[/math].
Seconda integrazione per parti (su [math]J[/math]):
Ora [math]u = e^x[/math], [math]dv = \sin x \, dx \rightarrow du = e^x dx[/math], [math]v = -\cos x[/math].
[math]J = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx = -e^x \cos x + I[/math]
Sostituiamo [math]J[/math] nell’espressione di [math]I[/math]:
[math]I = e^x \sin x – (-e^x \cos x + I) = e^x \sin x + e^x \cos x – I[/math]
Portiamo [math]-I[/math] a sinistra:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&I + I = e^x(\sin x + \cos x) \Rightarrow 2I = e^x(\sin x + \cos x) \\
&I = \frac{e^x}{2}(\sin x + \cos x) + C
\end{aligned}[/math]
💡 Quando l’integrale contiene il prodotto di un’esponenziale e una funzione trigonometrica (seno o coseno), l’integrazione per parti due volte riconduce all’integrale originale. Si risolve quindi un’equazione lineare in [math]I[/math].
La formula generale per [math]\int e^{ax} \cos(bx) \, dx[/math] è:
[math]\frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a \cos(bx) + b \sin(bx)) + C[/math]
6. [math]\int \arctan x \, dx[/math]
Risposta corretta: A – [math]x \arctan x – \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C[/math]
Spiegazione:
[math]u = \arctan x, \, dv = dx \Rightarrow du = \frac{1}{1 + x^2} dx, \, v = x.[/math]
[math]\int \arctan x \, dx = x \arctan x – \int \frac{x}{1 + x^2} dx.[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Poniamo } t = 1 + x^2, \, dt = 2x \, dx \rightarrow \int \frac{x}{1 + x^2} dx \\
&{} \quad = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2). \\
&\text{Quindi risultato: } x \arctan x – \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C.
\end{aligned}[/math]
Riflessione: La derivata di [math]\arctan x[/math] è [math]\frac{1}{1 + x^2}[/math], regola di derivazione della funzione inversa.
7. [math]\int x^3 \ln x \, dx[/math]
Risposta corretta: A – [math]\frac{x^4}{4} \ln x – \frac{x^4}{16} + C[/math]
Spiegazione:
[math]u = \ln x, \, dv = x^3 \, dx \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx, \, v = \frac{x^4}{4}.[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\int x^3 \ln x \, dx = \frac{x^4}{4} \ln x – \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x} dx \\
&{} \quad = \frac{x^4}{4} \ln x – \frac{1}{4} \int x^3 \, dx \\
&{} \quad = \frac{x^4}{4} \ln x – \frac{1}{4} \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{x^4}{4} \ln x – \frac{x^4}{16} + C.
\end{aligned}[/math]
Riflessione: Con [math]u = x^3[/math] e [math]dv = \ln x \, dx[/math] si dovrebbe integrare [math]\ln x[/math], che sappiamo fare, ma poi l’integrale diventerebbe più complesso poiché [math]du = 3x^2 \, dx[/math] e [math]v = x \ln x – x[/math]. La scelta migliore è sempre “logaritmo” come [math]u[/math].
8. [math]\int e^{2x} \sin(3x) \, dx[/math]
Risposta corretta: A – [math]\frac{e^{2x}}{13}(2 \sin 3x – 3 \cos 3x) + C[/math]
Spiegazione:
[math]I = \int e^{2x} \sin(3x) \, dx.[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Prima parte: } u = e^{2x}, \, dv = \sin(3x) \, dx \Rightarrow du = 2e^{2x} dx, \, v = -\frac{\cos(3x)}{3}. \\
&I = -\frac{e^{2x} \cos(3x)}{3} + \frac{2}{3} \int e^{2x} \cos(3x) \, dx.
\end{aligned}[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Ora } J = \int e^{2x} \cos(3x) \, dx \text{ per parti: } \\
&u = e^{2x}, \, dv = \cos(3x) \, dx \Rightarrow du = 2e^{2x} dx, \, v = \frac{\sin(3x)}{3}. \\
&J = \frac{e^{2x} \sin(3x)}{3} – \frac{2}{3} \int e^{2x} \sin(3x) \, dx = \frac{e^{2x} \sin(3x)}{3} – \frac{2}{3} I.
\end{aligned}[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Sostituendo: } I = -\frac{e^{2x} \cos(3x)}{3} + \frac{2}{3} \left( \frac{e^{2x} \sin(3x)}{3} – \frac{2}{3} I \right) \\
&I = -\frac{e^{2x} \cos(3x)}{3} + \frac{2e^{2x} \sin(3x)}{9} – \frac{4}{9} I. \\
&\text{Portiamo il termine in I: } I + \frac{4}{9} I = \frac{13}{9} I = \frac{e^{2x}}{9} (2 \sin 3x – 3 \cos 3x). \\
&\text{Quindi } I = \frac{e^{2x}}{13} (2 \sin 3x – 3 \cos 3x) + C.
\end{aligned}[/math]
Riflessione: In generale [math]\int e^{ax} \sin(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \sin bx – b \cos bx) + C[/math].
9. [math]\int x^2 \cos(2x) \, dx[/math]
Risposta corretta: A – [math]\frac{x^2}{2} \sin 2x + \frac{x}{2} \cos 2x – \frac{1}{4} \sin 2x + C[/math]
Spiegazione:
[math]u = x^2, \, dv = \cos(2x) \, dx \Rightarrow du = 2x \, dx, \, v = \frac{\sin(2x)}{2}.[/math]
[math]I = \frac{x^2}{2} \sin(2x) – \int x \sin(2x) \, dx.[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Ora } K = \int x \sin(2x) \, dx: \, u = x, \, dv = \sin(2x) \, dx \\
&\Rightarrow du = dx, \, v = -\frac{\cos(2x)}{2}. \\
&K = -\frac{x \cos(2x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx \\
&{} \quad = -\frac{x \cos(2x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} = -\frac{x \cos(2x)}{2} + \frac{\sin(2x)}{4}.
\end{aligned}[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Quindi } I = \frac{x^2}{2} \sin(2x) – \left( -\frac{x \cos(2x)}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} \right) + C \\
&{} \quad = \frac{x^2}{2} \sin(2x) + \frac{x}{2} \cos 2x – \frac{1}{4} \sin 2x + C.
\end{aligned}[/math]
Riflessione: Per integrali del tipo [math]\int x^n \cos(kx) \, dx[/math] si può usare una formula di riduzione o il metodo tabellare (derivare il polinomio fino a zero).
10. [math]\int \arcsin x \, dx[/math]
Risposta corretta: A – [math]x \arcsin x + \sqrt{1 – x^2} + C[/math]
Spiegazione:
[math]u = \arcsin x, \, dv = dx \Rightarrow du = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} dx, \, v = x.[/math]
[math]\int \arcsin x \, dx = x \arcsin x – \int \frac{x}{\sqrt{1 – x^2}} dx.[/math]
[math]\displaystyle \begin{aligned}
&\text{Sostituzione } t = 1 – x^2, \, dt = -2x \, dx \Rightarrow x \, dx = -\frac{dt}{2}. \\
&\int \frac{x}{\sqrt{1 – x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \left( -\frac{dt}{2} \right) = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} \, dt \\
&{} \quad = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} = -\sqrt{1 – x^2}. \\
&\text{Quindi } x \arcsin x – (-\sqrt{1 – x^2}) + C = x \arcsin x + \sqrt{1 – x^2} + C.
\end{aligned}[/math]
Riflessione: [math]\int \arccos x \, dx = x \arccos x – \sqrt{1 – x^2} + C[/math] (si ottiene per simmetria o derivazione). La relazione è [math]\arcsin x + \arccos x = \pi / 2[/math].
Risposte alle domande di riflessione
1. Derivare il polinomio ne riduce il grado, mentre integrarlo lo aumenterebbe, rendendo l’integrale più complesso. La scelta [math]u = \text{polinomio}[/math] è ottimale.
2. Con [math]x^2[/math] si applicherebbe due volte l’integrazione per parti; dopo la prima si ottiene un integrale del tipo [math]\int x \cos x \, dx[/math], che a sua volta richiede un’altra applicazione.
3. Se scegliessimo [math]u = 1[/math] e [math]dv = \ln x \, dx[/math], dovremmo conoscere già l’integrale di [math]\ln x[/math] (che è proprio l’incognita). È una scelta circolare e inutile.
4. Servono [math]n[/math] iterazioni. L’operazione che porta all’integrale elementare è derivare ripetutamente il polinomio fino a ottenere una costante, integrando l’esponenziale ogni volta.
5. Per [math]e^{kx} \cos(mx)[/math] la primitiva è:
[math]\frac{e^{kx}}{k^2 + m^2}(k \cos(mx) + m \sin(mx))[/math]
a meno di segni; per il seno vale una formula analoga con segni scambiati.
6. La derivata di [math]\arctan x[/math] è [math]\frac{1}{1 + x^2}[/math], che deriva dalla derivazione della funzione inversa: se [math]y = \arctan x[/math] allora [math]x = \tan y[/math] e:
[math]\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}.[/math]
7. Porre [math]u = x^3[/math] e [math]dv = \ln x \, dx[/math] porterebbe a dover integrare [math]\ln x[/math] (che sappiamo fare) ma anche a un integrale del tipo [math]\int x^2 (x \ln x – x) \, dx[/math] più complicato. La scelta [math]u = \ln x[/math] sfrutta il fatto che la sua derivata semplifica la potenza.
8. La forma generale è:
[math]\int e^{ax} \sin(bx) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a \sin(bx) – b \cos(bx)) + C.[/math]
Stessa struttura con [math]\cos[/math].
9. Si può usare la formula di riduzione per parti o il metodo tabellare (derivare [math]x^2[/math] fino a zero, integrare [math]\cos(kx)[/math] ripetutamente, moltiplicare in diagonale con segni alterni).
10. [math]\int \arccos x \, dx[/math] si ottiene con lo stesso procedimento e dà [math]x \arccos x – \sqrt{1 – x^2} + C[/math]. La differenza è un segno nel termine radicale, perché [math]\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}[/math]. Inoltre [math]\arcsin x + \arccos x = \pi / 2[/math], da cui si può dedurre una primitiva dall’altra.
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Ricorda: l’obiettivo non è il voto perfetto, ma capire dove migliorare!
Da 0 a 3 punti: C’è ancora un po’ di ruggine da togliere ⚙️
L’integrazione per parti può sembrare un labirinto all’inizio, è normalissimo sentirsi disorientati. Probabilmente fai ancora fatica a scegliere correttamente chi derivare ([math]u[/math]) e chi integrare ([math]dv[/math]), finendo per complicare l’integrale invece di semplificarlo.
Il tuo prossimo passo: Non scoraggiarti. Ripassa bene la regola LIATE, tieni le tavole degli integrali a portata di mano e rifai gli esercizi 1, 2 e 3 passo dopo passo, scrivendo tutto su un foglio.
Da 4 a 6 punti: Sulla buona strada 🚶♂️
Hai afferrato i concetti fondamentali e te la cavi bene con le funzioni più classiche come polinomi ed esponenziali. Probabilmente hai perso qualche punto per via di distrazioni sui segni (il classico “meno” che scompare davanti all’integrale) o sei andato in confusione davanti al trucco del “fattore 1” o agli integrali ciclici.
Il tuo prossimo passo: Il grosso del lavoro concettuale è fatto! Ora devi solo allenare la precisione. Riguarda le soluzioni degli esercizi intermedi e prova a rifarli domani senza sbirciare.
Da 7 a 8 punti: Ottimo lavoro 🎯
Hai una padronanza solida dell’argomento. Hai capito perfettamente il meccanismo di base, sai gestire le iterazioni multiple e non ti spaventa l’idea di integrare una funzione inversa associandola a [math]dx[/math]. Gli eventuali errori sono quasi certamente dovuti a piccole sviste algebriche o a calcoli un po’ troppo lunghi (come negli esercizi 8 e 9).
Il tuo prossimo passo: Sei praticamente pronto per il compito o per l’esame. Continua a fare pratica per velocizzare i calcoli e affinare l’occhio.
9 o 10 punti: Maestro dell’Integrazione 🏆
Complimenti! Non solo hai compreso la tecnica alla perfezione, ma sai anche muoverti con agilità tra i calcoli più complessi, i cambi di segno insidiosi e le equazioni degli integrali ciclici. Hai dimostrato di avere non solo memoria, ma una vera e propria visione analitica.
Il tuo prossimo passo: Goditi il risultato. L’integrazione per parti non ha più segreti per te!
👉 Integrazione per parti: teoria ed esempi
👉 Integrazione per parti: esercizi svolti
👉Integrazione per parti: esercizio svolto riepilogativo
👉Integrazione per parti: 6 esercizi svolti e commentati
👉 Metodi di integrazione spiegati facilmente (esercizi passo-passo)
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