Combinazioni con Ripetizione – Esercizi

Richiamo Teorico

Le combinazioni con ripetizione si utilizzano quando dobbiamo contare il numero di modi per scegliere k oggetti da un insieme di n oggetti distinti, con la possibilità di scegliere lo stesso oggetto più volte e senza che l’ordine di scelta sia importante. Immaginate di avere n tipi di caramelle e di voler riempire un sacchetto con k caramelle. Non vi interessa l’ordine in cui mettete le caramelle nel sacchetto, ma solo quante caramelle di ogni tipo ci sono alla fine.

• L’ordine di selezione non conta.

• Gli elementi possono essere ripetuti (cioè, uno stesso elemento può essere selezionato più volte).

La formula per calcolare il numero di combinazioni con ripetizione è:

[math]C_{n,k}^{rip} = \binom{n+k-1}{k}[/math]

dove:

• [math]n[/math] è il numero di tipi di elementi disponibili,
• [math]k[/math] è il numero di elementi da selezionare.

La formula deriva dal problema equivalente di distribuire k oggetti identici in n contenitori distinti. Questo può essere visualizzato utilizzando la tecnica “stelle e sbarre”. Immaginate k stelle (gli oggetti da scegliere) e n-1 sbarre per separare gli n tipi di oggetti. Il numero totale di posizioni per stelle e sbarre è k + n – 1. Dobbiamo scegliere k posizioni per le stelle (o equivalentemente n-1 posizioni per le sbarre). Questo porta alla formula del coefficiente binomiale:

[math]\binom{n+k-1}{k}[/math].

Esercizio 1 (Facile)

Problema: Quanti modi ci sono per scegliere 3 gelati da 2 gusti disponibili (cioccolato e vaniglia)? I gusti possono essere ripetuti.

Soluzione:

Vogliamo scegliere 3 gelati (k=3) da 2 gusti disponibili (n=2). L’ordine in cui scegliamo i gelati non conta (un gelato cioccolato e due vaniglia è lo stesso di vaniglia, cioccolato, vaniglia) e possiamo scegliere lo stesso gusto più volte.

Qui [math]n=2[/math] (cioccolato e vaniglia) e [math]k=3[/math] (gelati da scegliere).

Usiamo la formula delle combinazioni con ripetizione:

[math]C_{2,3}^{rip} = \binom{2+3-1}{3} = \binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = 4[/math]

I possibili modi sono:

• 3 cioccolato
• 2 cioccolato e 1 vaniglia
• 1 cioccolato e 2 vaniglia
• 3 vaniglia

Risposta: Ci sono 4 modi.

Esercizio 2 (Medio)

Problema: In una panetteria sono disponibili 3 tipi di brioche: alla crema, al cioccolato e alla marmellata. In quanti modi diversi si possono scegliere 4 brioche?

Soluzione:

Dobbiamo scegliere 4 brioche (k=4) da 3 tipi disponibili (n=3). L’ordine non conta e possiamo scegliere più volte lo stesso tipo di brioche.

In questo caso, abbiamo [math]n=3[/math] (i tipi di brioche) e vogliamo scegliere [math]k=4[/math] brioche.

Applichiamo la formula delle combinazioni con ripetizione:

[math]C_{3,4}^{rip} = \binom{3+4-1}{4} = \binom{6}{4}[/math]

Calcoliamo il coefficiente binomiale:

[math]\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{6 \times 5}{2} = 15[/math]

Risposta: Ci sono 15 modi diversi per scegliere 4 brioche.

Esercizio 3 (Medio-Difficile)

Problema: Un’azienda produce 5 diversi tipi di penne. Un cliente vuole acquistare 3 penne. Quante diverse selezioni di penne può fare il cliente, sapendo che può scegliere anche più penne dello stesso tipo?

Soluzione:

Vogliamo acquistare 3 penne (k=3) da 5 tipi diversi (n=5). Possiamo scegliere più penne dello stesso tipo e l’ordine di scelta non è rilevante.

Abbiamo [math]n=5[/math] (i tipi di penne) e il cliente vuole scegliere [math]k=3[/math] penne.

Utilizziamo la formula per le combinazioni con ripetizione:

[math]C_{5,3}^{rip} = \binom{5+3-1}{3} = \binom{7}{3}[/math]

Calcoliamo il coefficiente binomiale:

[math]\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35[/math]

Risposta: Il cliente può fare 35 diverse selezioni di penne.

Esercizio 4 (Difficile)

Problema: Quante diverse combinazioni di 6 monete si possono ottenere utilizzando monete da 1, 2 e 5 euro?

Soluzione:

Dobbiamo formare combinazioni di 6 monete (k=6) utilizzando 3 tipi di monete (1, 2, 5 euro, quindi n=3). L’ordine delle monete nella combinazione non conta (una moneta da 1€, due da 2€ e tre da 5€ è la stessa combinazione di tre da 5€, una da 1€ e due da 2€).

In questo problema, i tipi di elementi sono i valori delle monete, quindi [math]n=3[/math] (1 euro, 2 euro, 5 euro). Il numero di elementi da selezionare è [math]k=6[/math] (le monete da scegliere).

Applichiamo la formula delle combinazioni con ripetizione:

[math]C_{3,6}^{rip} = \binom{3+6-1}{6} = \binom{8}{6}[/math]

Calcoliamo il coefficiente binomiale:

[math]\binom{8}{6} = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{8 \times 7}{2} = 4 \times 7 = 28[/math]

Risposta: Si possono ottenere 28 diverse combinazioni di 6 monete.

Esercizio 5 (Molto Difficile)

Problema: Un sacchetto contiene un numero illimitato di palline rosse, blu e verdi. In quanti modi diversi si possono estrarre 7 palline dal sacchetto?

Soluzione:

Vogliamo estrarre 7 palline (k=7) da un sacchetto con 3 colori disponibili (n=3), con un numero illimitato di palline per ogni colore. L’ordine di estrazione non conta.

Abbiamo [math]n=3[/math] (i colori delle palline: rosso, blu, verde) e vogliamo estrarre [math]k=7[/math] palline.

Utilizziamo la formula delle combinazioni con ripetizione:

[math]C_{3,7}^{rip} = \binom{3+7-1}{7} = \binom{9}{7}[/math]

Calcoliamo il coefficiente binomiale:

[math]\binom{9}{7} = \frac{9!}{7!(9-7)!} = \frac{9!}{7!2!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{9 \times 8}{2} = 9 \times 4 = 36[/math]

Risposta: Ci sono 36 modi diversi per estrarre 7 palline dal sacchetto.

👉 Disposizioni con Ripetizione: Definizione, Formula, Esercizi Risolti e Differenze con Combinazioni e Permutazioni

Esercizio 6 (Medio-Difficile)

Problema: Quanti diversi monomi di grado 5 si possono formare con 3 variabili x,y,z? (Un monomio è del tipo x^ay^bz^c, dove a,b,c sono interi non negativi e a+b+c=5).

Soluzione:

Un monomio di grado 5 con 3 variabili (x, y, z) ha la forma [math]x^a y^b z^c[/math] dove a, b, c sono interi non negativi e a + b + c = 5. Questo problema è equivalente a distribuire 5 unità (il grado) tra 3 variabili. Possiamo pensare alle variabili come i tipi di elementi (n=3) e al grado come il numero di elementi da scegliere (k=5).

Qui n=3 (variabili) e k=5 (grado del monomio).

Usiamo la formula: [math]C_{n+k-1, k} = \binom{n+k-1}{k}[/math]

Quindi: [math]C_{3+5-1, 5} = \binom{3+5-1}{5} = \binom{7}{5} = 21[/math]

Ogni monomio corrisponde a una combinazione con ripetizione delle variabili.

Risposta: Ci sono 21 monomi possibili.

Esercizio 7 (Difficile)

Problema: Quanti modi ci sono per distribuire 10 caramelle identiche a 4 bambini? Ogni bambino può ricevere da 0 a 10 caramelle.

Soluzione:

Dobbiamo distribuire 10 caramelle identiche (k=10) a 4 bambini (n=4). Ogni bambino può ricevere da 0 a 10 caramelle. Questo è un classico problema di “stelle e sbarre”, dove le caramelle sono le stelle e i bambini sono i contenitori separati dalle sbarre.

Qui n=4 (bambini) e k=10 (caramelle).

Usiamo la formula: [math]C_{n+k-1, k} = \binom{n+k-1}{k}[/math]

Quindi: [math]C_{4+10-1, 10} = \binom{13}{10} = 286[/math]

Ogni distribuzione corrisponde a una combinazione con ripetizione.

Risposta: Ci sono 286 modi.

Esercizio 8 (Molto Difficile)

Problema: Quanti sono i numeri di 5 cifre (da 0 a 9) in cui le cifre sono in ordine non decrescente? (Ad esempio, 11234 è valido, mentre 12123 no).

Soluzione:

Vogliamo contare i numeri di 5 cifre (da 0 a 9) in cui le cifre sono in ordine non decrescente. Questo significa che una volta scelta una cifra, la cifra successiva deve essere maggiore o uguale alla precedente. Questo è equivalente a scegliere 5 cifre (k=5) dall’insieme {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (n=10) con ripetizione, dove l’ordine di scelta non è importante perché verrà automaticamente ordinato in modo non decrescente.

Questo problema equivale a scegliere 5 cifre (con ripetizione) da 0 a 9, con l’ordine fissato.

Qui n=10 (cifre da 0 a 9) e k=5 (cifre da scegliere).

Usiamo la formula: [math]C_{n+k-1, k} = \binom{n+k-1}{k}[/math]

Quindi: [math]C_{10+5-1, 5} = \binom{14}{5} = 2002[/math]

Ogni combinazione corrisponde a un numero con cifre in ordine non decrescente.

Risposta: Ci sono 2002 numeri possibili.

Esercizio 9 (Medio-Difficile)

Problema: In un ristorante, un menù fisso permette di scegliere 3 portate da un elenco di 5 opzioni (antipasto, primo, secondo, contorno, dessert). Le portate possono essere ripetute (ad esempio, si può scegliere due primi e un dessert). Quante combinazioni di piatti sono possibili?

Soluzione:

Dobbiamo scegliere 3 portate (k=3) da un elenco di 5 opzioni (n=5), con la possibilità di ripetere le portate e senza che l’ordine di scelta sia importante.

Identificare i parametri:

n=5 (opzioni disponibili: antipasto, primo, secondo, contorno, dessert).

k=3 (portate da scegliere).

Applicare la formula delle combinazioni con ripetizione:

[math]C_{n,k}^{rip} = \binom{n+k-1}{k}[/math]

Sostituendo i valori:

[math]C_{5,3}^{rip} = \binom{5+3-1}{3} = \binom{7}{3}[/math]

Calcolare il coefficiente binomiale:

[math]\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35[/math]

Interpretazione:

Ci sono 35 modi diversi per scegliere 3 portate, considerando che le portate possono essere ripetute.

Risposta: Ci sono 35 combinazioni possibili.

Esercizio 10 (Molto Difficile)

Problema: Un sistema richiede la creazione di una password di 6 caratteri, utilizzando solo lettere minuscole (26 lettere). Tuttavia, la password deve contenere almeno 2 caratteri uguali (cioè, i caratteri possono ripetersi). Quante password sono possibili?

Soluzione:

Vogliamo trovare il numero di password di 6 caratteri (k=6) utilizzando 26 lettere minuscole (n=26), con la condizione che la password deve contenere almeno 2 caratteri uguali. È più facile calcolare il numero totale di password possibili e sottrarre il numero di password in cui tutti i caratteri sono distinti.

Identificare i parametri:

n=26 (lettere disponibili).

k=6 (caratteri della password).

Calcolare il numero totale di password senza restrizioni:

Poiché ogni carattere può essere ripetuto e ci sono 26 scelte per ogni posizione, il numero totale di password è:

[math]26^6[/math]

Calcolare il numero di password con tutti i caratteri distinti:

Se i caratteri non possono ripetersi, il numero di password è dato dalle disposizioni semplici:

[math]D_{26,6} = 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21[/math]

Calcolare il numero di password con almeno 2 caratteri uguali:

Sottraiamo dal totale delle password il numero di password con tutti i caratteri distinti:

Password con ripetizioni = [math]26^6 – D_{26,6}[/math]

Calcoli numerici:

[math]26^6 = 308,915,776[/math]

[math]D_{26,6} = 165,765,600[/math]

Quindi:

[math]308,915,776 – 165,765,600 = 143,150,176[/math]

Interpretazione:

Ci sono 143,150,176 password possibili che soddisfano i requisiti.

Risposta: Ci sono 143,150,176 password possibili.

(391)

PubblicitàPubblicità