Integrazione per parti esercizi svolti

Formula di integrazione per parti

Si tratta di un metodo per trovare una primitiva del prodotto di due funzioni, nell’ipotesi che una di queste due funzioni sia la derivata di qualche altra funzione nota (magari più semplice).

Consideriamo due funzioni derivabili, f e g.

Sappiamo che la derivata del loro prodotto è data da

La precedente uguaglianza prende il nome di formula di integrazione per parti.

Come si vede, essa serve ad esprimere l’integrale indefinito di f·g’ in termini dell’integrale indefinito di f’·g, nella speranza che quest’ultimo sia più semplice da calcolare.

Qualche esempio chiarirà meglio l’ambito di applicazione di questa tecnica.

Esempio 1 

Calcola il seguente integrale indefinito:

Notiamo che la funzione di cui vogliamo trovare una primitiva, cioè 2x ln(x), risulta essere il prodotto di due funzioni: y = ln(x) e y = 2x. Il punto fondamentale è che ci accorgiamo che una di queste due funzioni, precisamente y = 2x, è la derivata di una funzione nota abbastanza semplice: 2x = (x²)’. Questa è esattamente la situazione per poter utilizzare la formula di integrazione per parti.
Si ha dunque:

Esempio 2

Calcola il seguente integrale indefinito:

Si noti che possiamo riscrivere l’integrale come

Il punto cruciale è che ci siamo accorti che il secondo fattore, in questo caso la funzione esponenziale, si può scrivere come derivata di qualcosa (in questo caso di se stessa).
Quindi possiamo utilizzare la formula di integrazione per parti:

ESERCIZIO 1:

Calcolare l’integrale:

Soluzione

Integrando per parti si ottiene:

ESERCIZIO 2:

Calcolare il seguente integrale:

Soluzione

Integrando per parti si ha:

ESERCIZIO 3:

Calcolare il seguente integrale:

Soluzione

Per risolvere il seguente integrale occorre integrare per parti. Possiamo porre:

ESERCIZIO 4:

Calcolare, integrando per parti, i seguenti integrali:

Soluzione

(a) Integrando per parti, si ha

(b) Analogamente, si ottiene

ESERCIZIO 5:

Calcolare, integrando per parti, i seguenti integrali:

Soluzione

(a) Integrando per parti, si ha

(b) Integrando per parti ed usando il risultato precedente, si ha

(c) Integrando per parti ed usando il risultato precedente, si ottiene

ESERCIZIO 6:

Calcolare, integrando per parti, i seguenti integrali:

 

Soluzione

(a) Integrando per parti, si ottiene

 

ESERCIZIO 7:

Calcolare, integrando per parti, l’integrale

Soluzione

(b) Integrando per parti ed usando il risultato precedente, si ha

 

(c) Integrando per parti ed usando il risultato precedente, si ha

(8514)

PubblicitàPubblicità