Domanda Marshalliana e Identità di Roy: formule, derivazioni ed esercizi svolti

Quando un consumatore deve distribuire il proprio reddito tra beni diversi, la scelta dipende dai prezzi, dalle risorse disponibili e dalle sue preferenze. La teoria della scelta del consumatore traduce questo problema in un modello matematico nel quale è possibile determinare il paniere che offre il livello di utilità più elevato compatibilmente con il vincolo di bilancio.

Le funzioni di domanda Marshalliane descrivono le quantità che il consumatore sceglie in queste condizioni. La loro derivazione permette di comprendere come cambiano gli acquisti al variare del reddito e dei prezzi, mentre l’identità di Roy offre un procedimento alternativo per ricavare le stesse domande a partire dalla funzione di utilità indiretta.

Gli esercizi proposti affrontano tre situazioni complementari: le preferenze Cobb-Douglas simmetriche, il caso Cobb-Douglas generale con verifica dell’identità di Roy e le preferenze quasi-lineari, nelle quali la quantità ottima di un bene può non dipendere dal reddito finché la soluzione rimane interna.

Il problema di massimizzazione dell’utilità

Consideriamo un consumatore che acquista due beni, indicati con [math]x[/math] e [math]y[/math], ai prezzi rispettivi [math]p_x[/math] e [math]p_y[/math], disponendo di un reddito [math]m[/math]. La sua scelta consiste nel trovare le quantità che massimizzano la funzione di utilità [math]U(x,y)[/math], rispettando il vincolo di bilancio:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
p_xx+p_yy\leq m
\end{aligned}[/math]

Assumiamo che i prezzi siano positivi, che le quantità acquistate non possano essere negative e che la funzione di utilità sia continua. In queste condizioni, il vincolo individua un insieme di panieri ammissibili chiuso e limitato, per cui il teorema di Weierstrass garantisce l’esistenza di almeno un massimo della funzione di utilità.

Se le preferenze sono localmente non saziate, il consumatore ha interesse a utilizzare tutto il reddito disponibile e il vincolo diventa un’uguaglianza:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
p_xx+p_yy=m
\end{aligned}[/math]

La funzione di utilità rappresenta le preferenze del consumatore, ma non misura necessariamente una grandezza osservabile come il reddito o il benessere in termini monetari. Il modello permette piuttosto di ordinare i panieri e individuare quello preferito tra quelli acquistabili.

La Lagrangiana e le condizioni di ottimo

Per risolvere il problema con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, scriviamo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\mathcal L=U(x,y)+\lambda(m-p_xx-p_yy)
\end{aligned}[/math]

Il moltiplicatore [math]\lambda[/math] consente di tenere conto del vincolo di bilancio durante la massimizzazione. Le condizioni del primo ordine per una soluzione interna, nella quale entrambe le quantità sono strettamente positive, sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\begin{cases}
U_x(x,y)=\lambda p_x\\
U_y(x,y)=\lambda p_y\\
p_xx+p_yy=m
\end{cases}
\end{aligned}[/math]

Le derivate [math]U_x[/math] e [math]U_y[/math] rappresentano le utilità marginali dei due beni, cioè la variazione dell’utilità associata a un piccolo aumento della quantità acquistata, mantenendo invariata la quantità dell’altro bene.

Dividendo le prime due equazioni si elimina il moltiplicatore [math]\lambda[/math] e si ottiene:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{U_x}{U_y}=\frac{p_x}{p_y}
\end{aligned}[/math]

Il rapporto tra le utilità marginali, quando le derivate sono positive, coincide con il saggio marginale di sostituzione del bene [math]x[/math] rispetto al bene [math]y[/math]. In un ottimo interno, questo rapporto è uguale al rapporto tra i prezzi: la disponibilità del consumatore a sostituire un bene con l’altro, valutata al margine, coincide con il costo relativo imposto dal mercato.

La condizione di tangenza è uno strumento utile, ma non basta applicarla senza verificare le ipotesi del problema. Le condizioni del primo ordine sono necessarie per un ottimo interno regolare; per stabilire che il paniere individuato sia effettivamente un massimo globale occorre considerare anche la forma della funzione di utilità e la struttura dell’insieme ammissibile. Con preferenze convesse e condizioni di regolarità adeguate, le condizioni di ottimo sono sufficienti; con preferenze strettamente convesse, il paniere ottimo è unico.

Se una delle quantità ottime è nulla, la soluzione si trova sul bordo dell’insieme di bilancio e non si può imporre automaticamente l’uguaglianza tra saggio marginale di sostituzione e rapporto dei prezzi. In questi casi bisogna confrontare le possibili soluzioni di bordo oppure utilizzare le condizioni di Kuhn-Tucker, che tengono conto dei vincoli di non negatività.

Il moltiplicatore di Lagrange ha anche un significato economico. Sotto le usuali condizioni di regolarità, esso coincide con la derivata della funzione di utilità indiretta rispetto al reddito:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\lambda=\frac{\partial v(p_x,p_y,m)}{\partial m}
\end{aligned}[/math]

Esprime quindi l’incremento marginale del livello massimo di utilità ottenibile quando il reddito aumenta di una piccola quantità, mantenendo fissi i prezzi. Il valore numerico dipende dalla rappresentazione della funzione di utilità scelta: non è una misura assoluta e indipendente da essa.

Le funzioni di domanda Marshalliane

Risolvendo il problema di massimizzazione si ottengono le funzioni di domanda Marshalliane:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x=x(p_x,p_y,m)
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y=y(p_x,p_y,m)
\end{aligned}[/math]

Queste funzioni indicano le quantità ottimali acquistate in corrispondenza di ogni combinazione ammissibile di prezzi e reddito. Sono dette anche domande ordinarie perché descrivono le scelte del consumatore quando il suo reddito monetario è dato.

Omogeneità di grado zero

Una proprietà importante delle domande Marshalliane è l’omogeneità di grado zero rispetto a prezzi e reddito. Se tutti i prezzi e il reddito vengono moltiplicati per uno stesso numero positivo [math]t[/math], le quantità ottime non cambiano:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x(tp_x,tp_y,tm)=x(p_x,p_y,m)
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y(tp_x,tp_y,tm)=y(p_x,p_y,m)
\end{aligned}[/math]

La ragione è semplice: se prezzi e reddito aumentano nella stessa proporzione, il potere d’acquisto resta invariato e l’insieme dei panieri acquistabili non cambia. La proprietà riguarda il modello con prezzi e reddito monetari e non implica che le quantità siano insensibili a una variazione isolata di un prezzo.

Beni normali, beni inferiori e curve di Engel

Un bene è normale quando la quantità domandata aumenta al crescere del reddito, mantenendo fissi i prezzi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\partial x}{\partial m}>0
\end{aligned}[/math]

Se invece la quantità domandata diminuisce all’aumentare del reddito, il bene è inferiore, almeno nell’intervallo considerato:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\partial x}{\partial m}<0
\end{aligned}[/math]

Le curve di Engel descrivono la relazione tra reddito e quantità domandata, mantenendo costanti i prezzi. La loro forma dipende dalle preferenze del consumatore e può essere lineare o non lineare.

Un altro indicatore utile è l’elasticità della domanda rispetto al reddito:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\varepsilon_{x,m}=
\frac{\partial x}{\partial m}\frac{m}{x}
\end{aligned}[/math]

Un’elasticità positiva segnala un bene normale, mentre un’elasticità negativa indica un bene inferiore. Se l’elasticità è uguale a uno, la quantità domandata varia nella stessa proporzione del reddito.

Quote di spesa

La quota di reddito destinata a ciascun bene è definita da:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
s_x=\frac{p_xx}{m},
\qquad
s_y=\frac{p_yy}{m}
\end{aligned}[/math]

Quando il consumatore spende tutto il reddito, le quote sommano a uno:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
s_x+s_y=1
\end{aligned}[/math]

Queste grandezze consentono di passare dalle quantità fisiche alle scelte di allocazione del budget e saranno particolarmente utili negli esercizi con preferenze Cobb-Douglas.

Preferenze Cobb-Douglas e domanda Marshalliana

Una delle funzioni di utilità più utilizzate negli esercizi di microeconomia è la Cobb-Douglas:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
U(x,y)=x^\alpha y^{1-\alpha},
\qquad 0<\alpha<1
\end{aligned}[/math]

Il parametro [math]\alpha[/math] descrive il peso relativo del bene [math]x[/math] nella funzione di utilità, mentre [math]1-\alpha[/math] è il peso attribuito al bene [math]y[/math]. La forma della funzione genera, con prezzi positivi e reddito positivo, un ottimo interno quando entrambi i beni sono desiderabili.

Le utilità marginali sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
U_x=\alpha x^{\alpha-1}y^{1-\alpha}
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
U_y=(1-\alpha)x^\alpha y^{-\alpha}
\end{aligned}[/math]

Il loro rapporto è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{U_x}{U_y}
=\frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{y}{x}
\end{aligned}[/math]

Imponendo la condizione di tangenza si ottiene:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{y}{x}
=\frac{p_x}{p_y}
\end{aligned}[/math]

Da questa relazione si ricava il rapporto tra le quantità ottime:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y=\frac{(1-\alpha)p_x}{\alpha p_y}x
\end{aligned}[/math]

Sostituendo nel vincolo di bilancio e risolvendo rispetto alle due quantità, si ottengono le domande Marshalliane:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=\frac{\alpha m}{p_x}
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y^*=\frac{(1-\alpha)m}{p_y}
\end{aligned}[/math]

Le formule mostrano che il consumatore destina la quota [math]\alpha[/math] del reddito al bene [math]x[/math] e la quota [math]1-\alpha[/math] al bene [math]y[/math], indipendentemente dai prezzi. I prezzi influenzano le quantità acquistate, ma non modificano le quote di spesa previste da questo particolare modello.

Le quote si verificano direttamente:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
s_x=\frac{p_x}{m}\frac{\alpha m}{p_x}=\alpha
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
s_y=\frac{p_y}{m}\frac{(1-\alpha)m}{p_y}=1-\alpha
\end{aligned}[/math]

La domanda di ciascun bene è lineare nel reddito, quindi le curve di Engel sono rette passanti per l’origine. Inoltre, l’elasticità rispetto al reddito è unitaria per entrambi i beni. Queste proprietà sono specifiche della forma Cobb-Douglas e non devono essere estese automaticamente a funzioni di utilità differenti.

Utilità indiretta e identità di Roy

La funzione di utilità indiretta descrive il massimo livello di utilità raggiungibile in funzione dei prezzi e del reddito:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
v(p_x,p_y,m)=
\max_{x,y}U(x,y)
\end{aligned}[/math]

dove la massimizzazione avviene rispettando il vincolo di bilancio. Per le preferenze Cobb-Douglas, sostituendo nella funzione di utilità le domande Marshalliane, si ottiene:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
v(p_x,p_y,m)=
\left(\frac{\alpha m}{p_x}\right)^\alpha
\left(\frac{(1-\alpha)m}{p_y}\right)^{1-\alpha}
\end{aligned}[/math]

Semplificando:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
v(p_x,p_y,m)=
\alpha^\alpha(1-\alpha)^{1-\alpha}
\frac{m}{p_x^\alpha p_y^{1-\alpha}}
\end{aligned}[/math]

Questa espressione permette di ricavare le domande Marshalliane mediante l’identità di Roy, senza ripetere ogni volta l’intera procedura di massimizzazione.

Per un bene [math]x[/math], l’identità è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x(p_x,p_y,m)=
-\frac{\partial v/\partial p_x}
{\partial v/\partial m}
\end{aligned}[/math]

La domanda del bene [math]y[/math] si ottiene in modo analogo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y(p_x,p_y,m)=
-\frac{\partial v/\partial p_y}
{\partial v/\partial m}
\end{aligned}[/math]

Le formule valgono nei punti in cui la funzione di utilità indiretta è differenziabile e la derivata rispetto al reddito è positiva.

Il significato economico emerge dal teorema dell’inviluppo. Sotto le usuali condizioni di regolarità, la variazione dell’utilità indiretta rispetto al prezzo di un bene è pari all’opposto del moltiplicatore di Lagrange moltiplicato per la quantità ottima acquistata:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\partial v}{\partial p_x}=-\lambda x
\end{aligned}[/math]

Per il reddito, invece:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\partial v}{\partial m}=\lambda
\end{aligned}[/math]

Dividendo le due relazioni e cambiando segno si ricava l’identità di Roy. Il procedimento collega quindi le variazioni dell’utilità massima rispetto ai prezzi e al reddito alle quantità effettivamente domandate.

Preferenze quasi-lineari e soluzioni d’angolo

Consideriamo ora una funzione di utilità quasi-lineare:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
U(x,y)=4\ln x+y
\end{aligned}[/math]

con [math]x>0[/math] e [math]y\geq0[/math]. La funzione è logaritmica rispetto al bene [math]x[/math] e lineare rispetto al bene [math]y[/math]. Supponiamo che entrambi i prezzi siano positivi e che il consumatore disponga di un reddito [math]m>0[/math].

Il problema consiste nel massimizzare l’utilità rispettando il vincolo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
p_xx+p_yy\leq m
\end{aligned}[/math]

Per una soluzione interna, le condizioni del primo ordine sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{4}{x}=\lambda p_x,
\qquad
1=\lambda p_y
\end{aligned}[/math]

Dalla seconda equazione segue [math]\lambda=1/p_y[/math].

Sostituendo nella prima:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{4}{x}=\frac{p_x}{p_y}
\end{aligned}[/math]

e quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=\frac{4p_y}{p_x}
\end{aligned}[/math]

La quantità ottima di [math]x[/math], quando la soluzione è interna, non dipende dal reddito: è determinata dal rapporto tra i prezzi e dalla forma della funzione di utilità. Il reddito residuo viene destinato al bene [math]y[/math], la cui quantità è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y^*=\frac{m-4p_y}{p_y}
\end{aligned}[/math]

Questa espressione è ammissibile soltanto quando [math]m\geq4p_y[/math], perché la quantità di [math]y[/math] non può essere negativa. Il reddito necessario per acquistare la quantità interna di [math]x[/math] è infatti:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
p_xx^*=p_x\frac{4p_y}{p_x}=4p_y
\end{aligned}[/math]

Se il reddito è inferiore a [math]4p_y[/math], il consumatore non può acquistare la quantità di [math]x[/math] individuata dalla condizione di tangenza e mantenere una quantità non negativa di [math]y[/math]. In questo caso, la soluzione ottima si trova sul bordo del vincolo di bilancio, con tutto il reddito destinato a [math]x[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=\frac{m}{p_x},
\qquad
y^*=0
\end{aligned}[/math]

Le funzioni di domanda complete sono pertanto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*(p_x,p_y,m)=
\begin{cases}
\dfrac{4p_y}{p_x}, & m\geq4p_y\\[6pt]
\dfrac{m}{p_x}, & 0<m<4p_y
\end{cases}
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y^*(p_x,p_y,m)=
\begin{cases}
\dfrac{m-4p_y}{p_y}, & m\geq4p_y\\[6pt]
0, & 0<m<4p_y
\end{cases}
\end{aligned}[/math]

Nel punto [math]m=4p_y[/math], le due espressioni per [math]x^*[/math] coincidono e la quantità di [math]y[/math] è zero. Si tratta del punto di transizione tra la soluzione sul bordo e quella interna.

Questo esempio mostra perché non è sufficiente risolvere le condizioni del primo ordine senza controllare il vincolo: la formula ottenuta con la tangenza descrive correttamente la scelta soltanto quando il reddito consente di acquistare la quantità richiesta.

Esercizi svolti

Esercizio 1 — Cobb-Douglas simmetrica e omogeneità della domanda

Scenario

Marta crea contenuti digitali e dispone di un budget mensile di 60 euro. Acquista due servizi: [math]x[/math], pacchetti di clip stock al prezzo di 3 euro ciascuno, e [math]y[/math], crediti per l’editing tramite intelligenza artificiale al prezzo di 2 euro ciascuno. La funzione di utilità è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
U(x,y)=\sqrt{xy}=x^{1/2}y^{1/2}
\end{aligned}[/math]

Si vuole determinare il paniere ottimo, calcolare la spesa destinata a ciascun bene e verificare che il paniere non cambi quando prezzi e reddito raddoppiano nella stessa proporzione.

Svolgimento

Il problema di massimizzazione è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\max_{x,y}\sqrt{xy}
\end{aligned}[/math]

soggetto a:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
3x+2y=60
\end{aligned}[/math]

La Lagrangiana è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\mathcal L=\sqrt{xy}+\lambda(60-3x-2y)
\end{aligned}[/math]

Le condizioni del primo ordine sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac12\sqrt{\frac{y}{x}}=3\lambda
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac12\sqrt{\frac{x}{y}}=2\lambda
\end{aligned}[/math]

Dividendo la prima equazione per la seconda si elimina [math]\lambda[/math].

Il rapporto tra i due membri di sinistra è [math]y/x[/math], per cui:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{y}{x}=\frac32
\end{aligned}[/math]

e dunque:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y=\frac32x
\end{aligned}[/math]

Questa relazione indica che, nel paniere ottimo, la quantità di crediti per editing è una volta e mezza quella delle clip stock. Per determinare le quantità effettive occorre utilizzare anche il vincolo di bilancio, che stabilisce quanto il consumatore può spendere.

Sostituendo [math]y=\frac32x[/math] nel vincolo si ottiene:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
3x+2\left(\frac32x\right)=60
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
6x=60
\end{aligned}[/math]

da cui:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=10
\end{aligned}[/math]

La quantità di [math]y[/math] è quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y^*=\frac32\cdot10
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y^*=15
\end{aligned}[/math]

Il paniere ottimo è [math](10,15)[/math]. La spesa per le clip stock è [math]3\cdot10=30[/math] euro, mentre quella per l’editing è [math]2\cdot15=30[/math] euro. Le due spese sono uguali perché la funzione di utilità attribuisce ai due beni lo stesso peso.

Verifica mediante le domande Marshalliane

La funzione di utilità è Cobb-Douglas con [math]\alpha=1/2[/math], quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=\frac{m}{2p_x},
\qquad
y^*=\frac{m}{2p_y}
\end{aligned}[/math]

Con i dati iniziali si ritrovano le quantità già calcolate:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=\frac{60}{2\cdot3}=10
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y^*=\frac{60}{2\cdot2}=15
\end{aligned}[/math]

Le quote di spesa sono entrambe pari al 50%:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
s_x=\frac{3\cdot10}{60}=\frac12
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
s_y=\frac{2\cdot15}{60}=\frac12
\end{aligned}[/math]

Che cosa accade se prezzi e reddito raddoppiano?

Se il reddito passa da 60 a 120 euro e i prezzi diventano rispettivamente 6 e 4 euro, le domande sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=\frac{120}{2\cdot6}=10
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y^*=\frac{120}{2\cdot4}=15
\end{aligned}[/math]

Il paniere rimane invariato perché il potere d’acquisto non cambia. Questa è una manifestazione dell’omogeneità di grado zero delle domande Marshalliane.

Variazione del prezzo di un solo bene

Se il prezzo delle clip stock aumenta da 3 a 4 euro, mentre il reddito resta pari a 60 euro e [math]p_y=2[/math], si ottiene:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=\frac{60}{2\cdot4}=7{,}5
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y^*=\frac{60}{2\cdot2}=15
\end{aligned}[/math]

La spesa per [math]x[/math] rimane pari a 30 euro, cioè il 50% del reddito. La quantità acquistata diminuisce perché il prezzo è aumentato, ma la quota di spesa resta costante per effetto della specifica funzione Cobb-Douglas simmetrica.

Domande di verifica

• Quale proprietà delle funzioni di domanda spiega l’invarianza del paniere quando prezzi e reddito raddoppiano?
• Perché la quota di spesa destinata a [math]x[/math] resta al 50% anche quando il suo prezzo aumenta?

Risposte commentate

La prima risposta è l’omogeneità di grado zero: moltiplicando prezzi e reddito per uno stesso fattore positivo, l’insieme dei panieri acquistabili resta invariato. La seconda dipende dalla struttura Cobb-Douglas simmetrica, nella quale il consumatore destina metà del reddito a ciascun bene, purché siano soddisfatte le ipotesi del modello.

Esercizio 2 — Cobb-Douglas generale e identità di Roy

Scenario

Una cooperativa di mobilità distribuisce il proprio budget [math]m[/math] tra [math]x[/math], corse in bike-sharing al prezzo [math]p_x[/math], e [math]y[/math], unità di servizio di trasporto pubblico al prezzo [math]p_y[/math]. Le preferenze sono descritte da:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
U(x,y)=x^\alpha y^{1-\alpha},
\qquad 0<\alpha<1
\end{aligned}[/math]

Si vogliono ricavare le domande Marshalliane, determinare l’utilità indiretta e verificare la domanda di [math]x[/math] mediante l’identità di Roy.

Svolgimento

Il problema di massimizzazione è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\max_{x,y}x^\alpha y^{1-\alpha}
\end{aligned}[/math]

soggetto a:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
p_xx+p_yy=m
\end{aligned}[/math]

La Lagrangiana è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\mathcal L=x^\alpha y^{1-\alpha}
+\lambda(m-p_xx-p_yy)
\end{aligned}[/math]

Le condizioni del primo ordine sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\alpha x^{\alpha-1}y^{1-\alpha}=\lambda p_x
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(1-\alpha)x^\alpha y^{-\alpha}=\lambda p_y
\end{aligned}[/math]

Dividendo la prima equazione per la seconda, si elimina il moltiplicatore e si ottiene:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\alpha}{1-\alpha}\frac{y}{x}
=\frac{p_x}{p_y}
\end{aligned}[/math]

Moltiplicando e riordinando i termini:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
p_xx=\frac{\alpha}{1-\alpha}p_yy
\end{aligned}[/math]

La relazione esprime il rapporto tra le spese ottime per i due beni.

Sostituendola nel vincolo di bilancio:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\alpha}{1-\alpha}p_yy+p_yy=m
\end{aligned}[/math]

Raccogliendo [math]p_yy[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
p_yy\left(\frac{\alpha+1-\alpha}{1-\alpha}\right)=m
\end{aligned}[/math]

da cui:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y^*=\frac{(1-\alpha)m}{p_y}
\end{aligned}[/math]

Sostituendo questa espressione nella relazione tra le spese si ottiene:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=\frac{\alpha m}{p_x}
\end{aligned}[/math]

Le domande Marshalliane mostrano che la cooperativa destina la quota [math]\alpha[/math] del budget al bike-sharing e la quota [math]1-\alpha[/math] al trasporto pubblico. Se, per esempio, [math]\alpha=0{,}3[/math], il 30% del budget viene speso per il primo servizio e il 70% per il secondo.

Derivazione dell’utilità indiretta

Sostituendo le domande nella funzione di utilità si ottiene il massimo livello raggiungibile:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
v(p_x,p_y,m)=
\left(\frac{\alpha m}{p_x}\right)^\alpha
\left(\frac{(1-\alpha)m}{p_y}\right)^{1-\alpha}
\end{aligned}[/math]

Poiché gli esponenti di [math]m[/math] sommano a uno, la formula si semplifica in:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
v(p_x,p_y,m)=
\alpha^\alpha(1-\alpha)^{1-\alpha}
\frac{m}{p_x^\alpha p_y^{1-\alpha}}
\end{aligned}[/math]

L’espressione sintetizza l’effetto di prezzi e reddito sul massimo livello di utilità ottenibile. A parità di prezzi, un reddito più elevato permette di raggiungere un livello di utilità maggiore.

Verifica con l’identità di Roy

Per applicare l’identità di Roy alla domanda di [math]x[/math], calcoliamo la derivata dell’utilità indiretta rispetto al prezzo [math]p_x[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\partial v}{\partial p_x}
=-\frac{\alpha}{p_x}v(p_x,p_y,m)
\end{aligned}[/math]

La derivata rispetto al reddito è invece:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\partial v}{\partial m}
=\frac{v(p_x,p_y,m)}{m}
\end{aligned}[/math]

Inserendo queste due espressioni nell’identità di Roy:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=-\frac{\partial v/\partial p_x}
{\partial v/\partial m}
\end{aligned}[/math]

si ottiene:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=-\frac{-\frac{\alpha}{p_x}v}
{\frac{v}{m}}
\end{aligned}[/math]

Semplificando [math]v[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=\frac{\alpha m}{p_x}
\end{aligned}[/math]

Il risultato coincide con la domanda Marshalliana ricavata direttamente dalle condizioni del primo ordine. La verifica mostra che l’identità di Roy restituisce la domanda ordinaria a partire dall’utilità indiretta, senza dover risolvere di nuovo il problema di massimizzazione.

Curve di Engel ed elasticità rispetto al reddito

Poiché:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=\frac{\alpha}{p_x}m
\end{aligned}[/math]

la curva di Engel è una retta passante per l’origine, con pendenza [math]\alpha/p_x[/math].

L’elasticità rispetto al reddito è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\varepsilon_{x,m}
=\frac{\partial x}{\partial m}\frac{m}{x}
\end{aligned}[/math]

Dato che [math]\partial x/\partial m=\alpha/p_x[/math], segue:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\varepsilon_{x,m}
=\frac{\alpha}{p_x}
\frac{m}{\alpha m/p_x}=1
\end{aligned}[/math]

La domanda di [math]x[/math] è quindi unitaria rispetto al reddito: un aumento dell’1% del reddito determina un aumento dell’1% della quantità domandata, mantenendo fissi i prezzi. La stessa proprietà vale per il bene [math]y[/math].

Domande di verifica

• Se [math]\alpha=0{,}3[/math], quale quota del reddito viene destinata a ciascun bene?
• Perché le curve di Engel sono rette passanti per l’origine?
• Qual è il vantaggio di utilizzare l’identità di Roy dopo aver determinato l’utilità indiretta?

Risposte commentate

Con [math]\alpha=0{,}3[/math], la spesa destinata a [math]x[/math] è il 30% del reddito e quella per [math]y[/math] è il 70%. Le curve di Engel sono lineari perché le domande sono proporzionali al reddito, con prezzi e parametri della funzione di utilità mantenuti fissi. L’identità di Roy permette di ricavare le domande Marshalliane dalle derivate dell’utilità indiretta, offrendo una verifica indipendente della soluzione ottenuta con la Lagrangiana.

Esercizio 3 — Preferenze quasi-lineari e soluzione d’angolo

Scenario

Un professionista deve scegliere quante ore acquistare in uno spazio di coworking, indicate con [math]x[/math], e quante risorse destinare agli altri consumi, rappresentati dal bene composito [math]y[/math]. Il prezzo di un’ora di coworking è [math]p_x=2[/math] euro, mentre il bene composito ha prezzo [math]p_y=1[/math] euro. Il reddito iniziale è [math]m=20[/math] euro e la funzione di utilità è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
U(x,y)=4\ln x+y
\end{aligned}[/math]

Si vuole determinare il paniere ottimo, ricavare le domande generali e verificare che cosa accade quando il reddito scende sotto la soglia necessaria per una soluzione interna.

Svolgimento

Il problema è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\max_{x,y}\left(4\ln x+y\right)
\end{aligned}[/math]

soggetto a:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
p_xx+p_yy=m,
\qquad x>0,\ y\geq0
\end{aligned}[/math]

La Lagrangiana è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\mathcal L=4\ln x+y+
\lambda(m-p_xx-p_yy)
\end{aligned}[/math]

Per una soluzione interna, le condizioni del primo ordine sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac4x=\lambda p_x
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
1=\lambda p_y
\end{aligned}[/math]

Dalla seconda equazione ricaviamo [math]\lambda=1/p_y[/math]. Sostituendo nella prima:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac4x=\frac{p_x}{p_y}
\end{aligned}[/math]

e quindi:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=\frac{4p_y}{p_x}
\end{aligned}[/math]

Con i prezzi iniziali [math]p_x=2[/math] e [math]p_y=1[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=\frac{4\cdot1}{2}=2
\end{aligned}[/math]

Il professionista acquista quindi due ore di coworking. La spesa per questo bene è pari a [math]2\cdot2=4[/math] euro; il reddito residuo, pari a 16 euro, viene destinato al bene composito:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y^*=\frac{m-p_xx^*}{p_y}
=\frac{20-2\cdot2}{1}=16
\end{aligned}[/math]

Il paniere ottimo è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x^*,y^*)=(2,16)
\end{aligned}[/math]

Perché la quantità di coworking non dipende dal reddito?

Nel tratto interno, la quantità ottima di [math]x[/math] dipende soltanto dai prezzi e dal coefficiente della funzione di utilità. Questo accade perché l’utilità marginale del bene composito è costante e pari a uno, mentre l’utilità marginale del coworking è [math]4/x[/math], che diminuisce all’aumentare della quantità acquistata.

Il consumatore sceglie [math]x[/math] in modo che le utilità marginali ponderate per i prezzi siano uguali. Una volta raggiunta questa quantità, un aumento del reddito viene destinato a [math]y[/math], senza modificare [math]x[/math], finché la soluzione rimane interna. Nel modello, quindi, l’effetto reddito sulla domanda di [math]x[/math] è nullo nel tratto interno.

Individuazione della soglia di reddito

La quantità interna di [math]x[/math] richiede una spesa pari a:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
p_xx^*=p_x\frac{4p_y}{p_x}=4p_y
\end{aligned}[/math]

Per poter acquistare questa quantità senza avere una quantità negativa di [math]y[/math], il reddito deve soddisfare:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
m\geq4p_y
\end{aligned}[/math]

Quando [math]m\geq4p_y[/math], le domande sono:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=\frac{4p_y}{p_x},
\qquad
y^*=\frac{m-4p_y}{p_y}
\end{aligned}[/math]

Se invece [math]0<m<4p_y[/math], il consumatore non dispone del reddito necessario per raggiungere la quantità interna di [math]x[/math]. La soluzione ottima si trova allora sul bordo del vincolo di bilancio, dove [math]y=0[/math] e tutto il reddito viene speso per [math]x[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=\frac{m}{p_x},
\qquad
y^*=0
\end{aligned}[/math]

La domanda di [math]x[/math] aumenta quindi con il reddito quando il consumatore si trova nella regione d’angolo, ma diventa indipendente dal reddito una volta superata la soglia che permette la soluzione interna.

Un caso con reddito ridotto

Supponiamo ora che il reddito scenda a 3 euro, mantenendo [math]p_x=2[/math] e [math]p_y=1[/math].

La soglia necessaria per la soluzione interna è:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
4p_y=4\text{ euro}
\end{aligned}[/math]

Poiché [math]3<4[/math], la quantità interna di coworking non è economicamente sostenibile.

Il consumatore spende tutto il reddito per [math]x[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^*=\frac{3}{2}=1{,}5
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle \begin{aligned}
y^*=0
\end{aligned}[/math]

Il paniere ottimo diventa quindi [math](1{,}5,0)[/math]. Il risultato è coerente con il vincolo di bilancio, perché [math]2\cdot1{,}5=3[/math] euro, e con la non negatività delle quantità.

Domande di verifica

• Perché la domanda di [math]x[/math] non dipende dal reddito quando la soluzione è interna?
• Qual è il paniere ottimo con [math]m=3[/math], [math]p_x=2[/math] e [math]p_y=1[/math]?
• Che cosa accade esattamente quando [math]m=4p_y[/math]?

Risposte commentate

La domanda di [math]x[/math] non dipende dal reddito nel tratto interno perché la condizione di tangenza determina una quantità che dipende soltanto dai prezzi e dalla forma della funzione di utilità; il reddito aggiuntivo viene destinato al bene composito [math]y[/math]. Con un reddito di 3 euro, il consumatore sceglie [math]x=1{,}5[/math] e [math]y=0[/math], perché non può permettersi la quantità interna di [math]x[/math]. Quando [math]m=4p_y[/math], può acquistare esattamente la quantità interna [math]x=4p_y/p_x[/math], ma non rimane reddito per il bene [math]y[/math], per cui [math]y=0[/math]: è il punto di transizione tra la soluzione d’angolo e quella interna.

Conclusioni

Le domande Marshalliane descrivono le quantità che massimizzano l’utilità dato il reddito monetario e il sistema dei prezzi. La loro derivazione richiede di combinare le condizioni di ottimo con il vincolo di bilancio, prestando attenzione alla differenza tra soluzioni interne e soluzioni d’angolo.

Le preferenze Cobb-Douglas offrono un esempio particolarmente chiaro perché producono domande proporzionali al reddito e quote di spesa costanti. L’utilità indiretta permette inoltre di applicare l’identità di Roy, che ricava le domande Marshalliane attraverso le derivate rispetto ai prezzi e al reddito.

Le preferenze quasi-lineari mostrano infine che la domanda non deve necessariamente aumentare con il reddito in ogni situazione: nel tratto interno la quantità di un bene può restare costante, mentre al di sotto di una soglia di reddito la scelta può spostarsi sul bordo del vincolo di bilancio.

Per affrontare correttamente gli esercizi di microeconomia è quindi importante non fermarsi alla soluzione algebrica, ma verificare sempre che il paniere sia ammissibile, che rispetti il vincolo di bilancio e che le condizioni utilizzate siano coerenti con la forma delle preferenze.

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