Quando facciamo la spesa, compriamo un caffè al bar o decidiamo gli ingredienti per una cena, stiamo risolvendo complessi problemi matematici senza accorgercene.
Il nostro cervello valuta prezzi, bilancia il budget a disposizione e cerca di massimizzare la nostra soddisfazione personale.
In microeconomia, chiamiamo questa soddisfazione “utilità”.
Ma come si traduce il gusto personale in un’equazione? E soprattutto, come possiamo prevedere le scelte di acquisto quando i prezzi cambiano all’improvviso?
In questo articolo affronteremo tre scenari pratici. Partiremo da una classica preferenza bilanciata (Cobb-Douglas), passeremo a una guerra di prezzi tra due marche percepite come identiche (sostituti perfetti) e chiuderemo ai fornelli, calcolando le dosi di una ricetta che non ammette variazioni (complementi perfetti).
Carta, penna e calcolatrice: iniziamo.
Come riconoscere la funzione in 3 secondi
Quando ti trovi davanti al testo di un esercizio, non guardare i numeri, guarda la struttura matematica della funzione di utilità [math]U(x,y)[/math].
Ognuna ha una “firma” inconfondibile:
Cobb-Douglas (Le preferenze bilanciate)
Identikit:
I due beni si moltiplicano tra loro e sono elevati a una potenza.
- Forma base: [math]U(x,y) = x^\alpha y^\beta[/math] (es. [math]x^{0.4}y^{0.6}[/math] oppure [math]x^2 y^3[/math])
- Variante bastarda: [math]\ln U = \alpha \ln x + \beta \ln y[/math] (è sempre lei, ma trasformata in logaritmi!)
Sostituti Perfetti (La scelta da discount)
Identikit:
I due beni sono semplicemente sommati tra loro, ognuno moltiplicato per un coefficiente fisso. Non ci sono esponenti.
- Forma base: [math]U(x,y) = ax + by[/math] (es. [math]2x + y[/math] oppure [math]3x + 4y[/math])
Complementi Perfetti (La ricetta rigida)
Identikit:
C’è sempre la parolina magica [math]\min[/math] davanti a una parentesi graffa. Significa che l’utilità non aumenta se non aumenti entrambi i beni nella giusta proporzione.
- Forma base: [math]U(x,y) = \min\left\{\frac{x}{a}, \frac{y}{b}\right\}[/math] (es. [math]\min\left\{\frac{x}{2}, y\right\}[/math])
📌Il trucco:
- Se vedi un segno [math]+[/math] tra i beni, stai quasi certamente guardando dei sostituti perfetti (o una quasi-lineare).
- Se vedi un segno [math]\cdot[/math] (moltiplicazione), sei nel mondo Cobb-Douglas.
- Se vedi [math]\min[/math], vai d’angolo al kink (complementi perfetti).
ESERCIZIO 1: Le basi – Scelta tra caffè e tè (Facile)
Testo
Mario è un consumatore con preferenze razionali definite sul paniere di beni (caffè, tè). Le sue preferenze sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità:
[math]U(x,y) = x^{0.6} y^{0.4}[/math]
dove [math]x[/math] = tazze di caffè e [math]y[/math] = tazze di tè.
a) Verifica che questa funzione di utilità sia una Cobb-Douglas e determina il suo parametro caratteristico. Calcola l’utilità per i panieri [math]A=(4,1)[/math], [math]B=(2,2)[/math] e [math]C=(1,4)[/math].
b) Deriva l’equazione della curva d’indifferenza per un livello di utilità [math]U=\bar{U}[/math]. Per [math]\bar{U}=2[/math], trova almeno due punti sulla curva.
c) Calcola il Saggio Marginale di Sostituzione (SMS) in forma generale e interpretane il significato economico. Valutalo nel punto [math](4,1)[/math].
d) Rappresenta graficamente la mappa delle curve d’indifferenza.
✅ Soluzione
Parte a) Identificazione e calcolo dell’utilità
La funzione data è una Cobb-Douglas nella forma generale:
[math]U(x,y) = A x^{\alpha} y^{\beta} \quad \text{con } A>0, \alpha>0, \beta>0[/math]
Nel nostro caso: [math]A=1[/math], [math]\alpha=0.6[/math], [math]\beta=0.4[/math].
Proprietà fondamentale: [math]\alpha+\beta=1[/math], quindi la funzione è omogenea di grado 1 (rendimenti di scala costanti). Ciò significa che raddoppiando entrambi i beni, l’utilità raddoppia.
Calcolo dell’utilità:
[math]U(4,1) = 4^{0.6} \cdot 1^{0.4} = 4^{0.6} \approx 2.297[/math]
[math]U(2,2) = 2^{0.6} \cdot 2^{0.4} = 2^{1} = 2[/math]
[math]U(1,4) = 1^{0.6} \cdot 4^{0.4} = 4^{0.4} \approx 1.741[/math]
Osservazione: Il paniere A ha utilità maggiore di B, che a sua volta ha utilità maggiore di C. Le preferenze di Mario sono monotone (più è meglio) ma non linearmente: il caffè pesa di più nella sua funzione di utilità ([math]\alpha \gt \beta[/math]).
Parte b) Curva d’indifferenza
Per [math]\bar{U}=2[/math]:
[math]x^{0.6} y^{0.4} = 2[/math]
Elevando entrambi i membri a [math]\frac{1}{0.4}=2.5[/math]:
[math]y = 2^{2.5} \cdot x^{-1.5} = (2^{\frac{5}{2}}) x^{-\frac{3}{2}} = 4\sqrt{2} \cdot x^{-1.5} \approx 5.657 \cdot x^{-1.5}[/math]
Punti sulla curva:
| [math]x[/math] | [math]y = 5.657 \cdot x^{-1.5}[/math] | Punto |
|---|---|---|
| [math]1[/math] | [math]5.657[/math] | [math](1, 5.657)[/math] |
| [math]2[/math] | [math]2.000[/math] | [math](2, 2)[/math] |
| [math]4[/math] | [math]0.707[/math] | [math](4, 0.707)[/math] |
| [math]8[/math] | [math]0.250[/math] | [math](8, 0.25)[/math] |
Parte c) Saggio Marginale di Sostituzione
Il SMS misura il tasso al quale il consumatore è disposto a rinunciare a un bene in cambio di un’unità aggiuntiva dell’altro, mantenendo costante il livello di utilità.
[math]\displaystyle SMS_{x,y} = -\frac{dy}{dx}\Bigg|_{U=\bar{U}} = \frac{\partial U / \partial x}{\partial U / \partial y}[/math]
Derivate parziali:
[math]\displaystyle \frac{\partial U}{\partial x} = 0.6 x^{-0.4} y^{0.4} = \frac{0.6 y^{0.4}}{x^{0.4}}[/math]
[math]\displaystyle \frac{\partial U}{\partial y} = 0.4 x^{0.6} y^{-0.6} = \frac{0.4 x^{0.6}}{y^{0.6}}[/math]
SMS:
[math]\displaystyle SMS = \frac{0.6 x^{-0.4} y^{0.4}}{0.4 x^{0.6} y^{-0.6}} = \frac{0.6}{0.4} \cdot \frac{y^{0.4} \cdot y^{0.6}}{x^{0.4} \cdot x^{0.6}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y}{x} = 1.5 \cdot \frac{y}{x}[/math]
Interpretazione: Il SMS dipende dal rapporto [math]y/x[/math]. All’aumentare di [math]x[/math] (caffè), il SMS diminuisce: il consumatore è disposto a cedere sempre meno tè per un’unità aggiuntiva di caffè, perché il caffè diventa relativamente più abbondante.
Nel punto [math](4,1)[/math]:
[math]SMS(4,1) = 1.5 \cdot \frac{1}{4} = 0.375[/math]
Significa che Mario è disposto a rinunciare a [math]0.375[/math] tazze di tè per ottenere [math]1[/math] tazza aggiuntiva di caffè, mantenendo la stessa utilità.
Parte d) Rappresentazione grafica
Caratteristiche delle curve:
- Convesse verso l’origine (SMS decrescente)
- Non si intersecano mai
- Curve più lontane dall’origine corrispondono a utilità maggiore
- Asintotiche agli assi: per ottenere un livello di utilità positivo, sono necessari entrambi i beni
💡 Osservazioni strategiche
- Proprietà della Cobb-Douglas: Il rapporto tra i coefficienti [math]\alpha / \beta[/math] determina l’inclinazione delle curve d’indifferenza e il SMS relativo.
- Perché SMS decrescente? Per la proprietà di convessità delle preferenze, che riflette il principio del “meno caro”: più si ha di un bene, meno lo si valuta in termini dell’altro.
- Strumento utile: La trasformazione logaritmica [math]\ln U = 0.6 \ln x + 0.4 \ln y[/math] rende spesso i calcoli più semplici.
❓ Mini quiz
Quale proprietà delle preferenze hai usato per affermare che le curve d’indifferenza non si intersecano? E perché?
ESERCIZIO 2: Sostituti perfetti – La scelta tra due marche (Facile-Medio)
Testo
Anna deve scegliere tra due marche di acqua minerale: AcquaAlpha ([math]x[/math]) e AcquaBeta ([math]y[/math]). Per lei le due marche sono perfettamente sostituibili, ma ha una leggera preferenza per l’AcquaAlpha: 1 bottiglia di AcquaAlpha le dà la stessa soddisfazione di 2 bottiglie di AcquaBeta.
a) Scrivi la funzione di utilità che rappresenta le preferenze di Anna, specificando se è un caso di sostituti perfetti.
b) Deriva l’equazione delle curve d’indifferenza e calcola il SMS. Cosa osservi?
c) Supponiamo ora che i prezzi siano: [math]p_x = 3[/math]€ e [math]p_y = 2[/math]€ e che Anna abbia un reddito [math]M = 24[/math]€. Determina il paniere ottimo di consumo.
d) Come cambia la scelta se il prezzo di [math]y[/math] scende a [math]p_y = 1[/math]€? E se [math]p_y = 4[/math]€?
e) Trova le funzioni di domanda di Anna per entrambi i beni.
✅ Soluzione
Parte a) Funzione di utilità
Poiché i beni sono sostituti perfetti, la funzione di utilità è lineare:
[math]U(x,y) = ax + by[/math]
Dove [math]a[/math] e [math]b[/math] rappresentano le “utilità” per unità di ciascun bene.
Il rapporto di sostituzione ci dice: [math]1[/math] unità di [math]x[/math] equivale a [math]2[/math] unità di [math]y[/math], quindi [math]a = 2b[/math].
Scegliendo [math]b=1[/math] e [math]a=2[/math]:
[math]U(x,y) = 2x + y[/math]
Questa funzione rappresenta le preferenze di Anna.
Parte b) Curve d’indifferenza e SMS
Per [math]\bar{U}[/math] costante:
[math]2x + y = \bar{U} \Rightarrow y = \bar{U} – 2x[/math]
Il SMS è:
[math]SMS = \frac{\partial U / \partial x}{\partial U / \partial y} = \frac{2}{1} = 2 \quad \text{(costante)}[/math]
Osservazione: Il SMS costante implica che le curve d’indifferenza sono rette parallele e il rapporto di scambio non dipende dalle quantità possedute. Questo è tipico dei sostituti perfetti.
Parte c) Scelta ottima con prezzi iniziali
Dati: [math]p_x = 3[/math], [math]p_y = 2[/math], [math]M = 24[/math]
Vincolo di bilancio: [math]3x + 2y = 24[/math]
La scelta ottima si trova confrontando il prezzo relativo con il SMS.
Strategia risolutiva per sostituti perfetti: si confronta il rapporto dei prezzi con il SMS.
[math]\frac{p_x}{p_y} = \frac{3}{2} = 1.5[/math]
[math]SMS = 2[/math]
Poiché [math]SMS > \frac{p_x}{p_y}[/math] (ovvero [math]2 > 1.5[/math]), Anna valuta [math]x[/math] più di quanto costi sul mercato.
Interpretazione: Anna è disposta a rinunciare a [math]2[/math] unità di [math]y[/math] per [math]1[/math] unità di [math]x[/math] (SMS=2). Sul mercato, per avere [math]1[/math] unità di [math]x[/math] deve rinunciare a [math]\frac{p_x}{p_y} = 1.5[/math] unità di [math]y[/math]. Il mercato rende [math]x[/math] “più conveniente” di quanto lei lo valuti.
Soluzione di angolo: Anna consumerà solo [math]x[/math].
[math]x = \frac{M}{p_x} = \frac{24}{3} = 8, \quad y = 0[/math]
Utilità: [math]U = 2(8) + 0 = 16[/math]
Parte d) Variazioni di prezzo
Caso 1: [math]p_y = 1[/math]
[math]\frac{p_x}{p_y} = \frac{3}{1} = 3 > SMS = 2[/math]
Ora il mercato rende [math]y[/math] più conveniente (per [math]1[/math] unità di [math]x[/math] si rinuncia a [math]3[/math] di [math]y[/math], ma Anna è disposta a rinunciare solo a [math]2[/math]). Soluzione di angolo su [math]y[/math]:
[math]y = \frac{M}{p_y} = 24, \quad x = 0[/math]
Caso 2: [math]p_y = 4[/math]
[math]\frac{p_x}{p_y} = \frac{3}{4} = 0.75 < SMS = 2[/math]
Ancora soluzione su [math]x[/math]: [math]x = \frac{24}{3} = 8, \quad y = 0[/math]
Osservazione: La soluzione rimane su [math]x[/math] fino a quando [math]\frac{p_x}{p_y} < 2[/math], poi salta bruscamente su [math]y[/math] quando [math]\frac{p_x}{p_y} > 2[/math].
Parte e) Funzioni di domanda
Per la funzione di utilità [math]U = 2x + y[/math]:
Se [math]\frac{p_x}{p_y} < 2[/math]:
[math]x = \frac{M}{p_x}, \quad y = 0[/math]
Se [math]\frac{p_x}{p_y} > 2[/math]:
[math]x = 0, \quad y = \frac{M}{p_y}[/math]
Se [math]\frac{p_x}{p_y} = 2[/math]:
qualunque paniere sul vincolo di bilancio.
Formalmente:
[math]\displaystyle
x(p_x, p_y, M) =
\begin{cases}
\dfrac{M}{p_x} & \text{se } p_x < 2p_y \\[6pt] [0,\; M/p_x] & \text{se } p_x = 2p_y \\[6pt] 0 & \text{se } p_x > 2p_y
\end{cases}
[/math]
💡 Osservazioni strategiche
- Sostituti perfetti: Le curve d’indifferenza sono lineari e la soluzione è quasi sempre agli estremi. Il consumatore spende tutto il reddito sul bene con il “miglior rapporto qualità-prezzo”.
- SMS vs rapporto prezzi: È il confronto cruciale. Se [math]SMS > p_x/p_y[/math], il bene [math]x[/math] è preferito; se [math]SMS < p_x/p_y[/math], il bene [math]y[/math] è preferito.
- Discontinuità: La domanda è una funzione discontinua nel rapporto dei prezzi, caratteristica dei sostituti perfetti.
❓ Mini quiz
Cosa accade alla domanda di [math]x[/math] se [math]p_x[/math] aumenta ma rimane inferiore a [math]2p_y[/math]? La domanda è elastica o anelastica?
ESERCIZIO 3: Complementi perfetti – La ricetta perfetta (Medio)
Testo
Un famoso chef, Giovanni, prepara il suo piatto signature: “Risotto al Tartufo”. La ricetta richiede esattamente 2 porzioni di riso ([math]x[/math]) per ogni 1 porzione di tartufo ([math]y[/math]). Giovanni considera i due ingredienti complementi perfetti nella proporzione fissa 2:1.
a) Scrivi la funzione di utilità che rappresenta le preferenze di Giovanni per riso e tartufo.
b) Trova l’equazione delle curve d’indifferenza.
c) Calcola il SMS. È definito in tutti i punti? Spiega.
d) Se i prezzi sono [math]p_x = 10[/math]€ e [math]p_y = 40[/math]€ e Giovanni ha un budget [math]M = 240[/math]€, qual è la combinazione ottima di ingredienti? Quante porzioni di risotto può preparare?
e) Deriva le funzioni di domanda di Giovanni per riso e tartufo.
✅ Soluzione
Parte a) Funzione di utilità
Per complementi perfetti con proporzione fissa [math]a:b[/math] (cioè [math]a[/math] unità di [math]x[/math] per [math]b[/math] unità di [math]y[/math]), la funzione di utilità è:
[math]U(x,y) = \min\left\{\frac{x}{a}, \frac{y}{b}\right\}[/math]
Nel nostro caso [math]a=2[/math] (riso), [math]b=1[/math] (tartufo):
[math]U(x,y) = \min\left\{\frac{x}{2}, y\right\}[/math]
Interpretazione: L’utilità è determinata dal componente limitante, cioè dall’ingrediente che prima si esaurisce.
Parte b) Curve d’indifferenza
Per [math]\bar{U}[/math] costante:
[math]\min\left\{\frac{x}{2}, y\right\} = \bar{U}[/math]
Questo implica:
[math]\frac{x}{2} \ge \bar{U} \quad \text{e} \quad y \ge \bar{U}[/math]
La curva d’indifferenza è a forma di L:
- Tratto verticale: [math]\frac{x}{2} = \bar{U} \Rightarrow x = 2\bar{U}[/math], con [math]y \ge \bar{U}[/math]
- Tratto orizzontale: [math]y = \bar{U}[/math], con [math]\frac{x}{2} \ge \bar{U} \Rightarrow x \ge 2\bar{U}[/math]
Insieme dei panieri:
[math]\{(x,y) \in \mathbb{R}_+^2 \mid x \ge 2\bar{U}, y \ge \bar{U}, \text{ e } \min\{x/2, y\} = \bar{U}\}[/math]
Il “punto d’angolo” (kink) si trova in [math](2\bar{U}, \bar{U})[/math].
Parte c) Saggio Marginale di Sostituzione
Il SMS non è definito in tutti i punti. Calcoliamolo per regioni:
Se [math]\frac{x}{2} < y[/math] (il riso è il bene limitante):
[math]U = x/2[/math]
[math]\frac{\partial U}{\partial x} = 1/2, \quad \frac{\partial U}{\partial y} = 0[/math]
[math]SMS = \frac{1/2}{0} = \infty[/math] (verticale)
Se [math]\frac{x}{2} > y[/math] (il tartufo è il bene limitante):
[math]U = y[/math]
[math]\frac{\partial U}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial U}{\partial y} = 1[/math]
[math]SMS = \frac{0}{1} = 0[/math] (orizzontale)
Nel punto d’angolo [math]\frac{x}{2} = y[/math]:
- Il SMS non è definito perché la funzione non è differenziabile (le derivate parziali non esistono entrambe)
- Esistono infiniti SMS compresi tra [math]0[/math] e [math]\infty[/math]
Interpretazione: Se Giovanni ha troppo riso rispetto al tartufo, il riso ha valore marginale nullo: il SMS è [math]0[/math]. Se ha troppo tartufo, il tartufo ha valore marginale nullo: il SMS è infinito. Al kink, l’aggiunta di un ingrediente senza l’altro non dà alcuna utilità aggiuntiva.
Parte d) Scelta ottima
Dati: [math]p_x = 10[/math], [math]p_y = 40[/math], [math]M = 240[/math]
Vincolo di bilancio: [math]10x + 40y = 240[/math]
Per i complementi perfetti, la scelta ottima si trova sempre al kink (a meno che i prezzi non rendano un bene proibitivo, ma qui non è il caso):
[math]\frac{x}{2} = y \Rightarrow x = 2y[/math]
Sostituendo nel vincolo:
[math]10(2y) + 40y = 240 \Rightarrow 20y + 40y = 240 \Rightarrow 60y = 240 \Rightarrow y = 4[/math]
[math]x = 2y = 8[/math]
Panieri ottimo: [math](x^*, y^*) = (8, 4)[/math]
Utilità: [math]U = \min\{8/2, 4\} = \min\{4, 4\} = 4[/math]
Giovanni può preparare 4 porzioni di risotto.
Parte e) Funzioni di domanda
Per la funzione [math]U = \min\{x/2, y\}[/math]:
All’ottimo: [math]\frac{x}{2} = y \Rightarrow x = 2y[/math]
Vincolo di bilancio: [math]p_x x + p_y y = M[/math]
Sostituendo [math]x = 2y[/math]:
[math]p_x(2y) + p_y y = M \Rightarrow y(2p_x + p_y) = M[/math]
[math]\displaystyle y(p_x, p_y, M) = \frac{M}{2p_x + p_y}[/math]
[math]\displaystyle x(p_x, p_y, M) = 2y = \frac{2M}{2p_x + p_y}[/math]
Verifica con i nostri dati:
[math]x = \frac{2 \cdot 240}{20 + 40} = \frac{480}{60} = 8[/math]
[math]y = \frac{240}{60} = 4[/math]
💡 Osservazioni strategiche
- Complementi perfetti: La scelta ottima è sempre al kink, dove il rapporto dei beni è esattamente quello richiesto dalla tecnologia di consumo.
- Non differenziabilità: Il SMS non è definito al kink, il che richiede un approccio diverso (il vincolo di proporzione fissa) per trovare l’ottimo.
- Domanda “a catena”: Le funzioni di domanda sono continue e dipendono dalla somma ponderata dei prezzi ([math]2p_x + p_y[/math]).
- Elasticità: L’elasticità incrociata è negativa: se [math]p_x[/math] aumenta, la domanda di [math]y[/math] diminuisce (sono complementi).
❓ Mini quiz
Se il prezzo del tartufo raddoppiasse, come varierebbe la quantità domandata di riso? Cosa implica questo sulla relazione tra i due beni?
RISPOSTE AI MINI QUIZ
Risposta Quiz 1
Quale proprietà delle preferenze hai usato per affermare che le curve d’indifferenza non si intersecano? E perché?
Ho utilizzato la proprietà di transitività delle preferenze.
Se due curve d’indifferenza si intersecassero in un punto [math]A[/math], allora:
- Per definizione, tutti i punti sulla curva 1 danno la stessa utilità: [math]U(A)=U(B)[/math] per ogni [math]B[/math] sulla curva 1.
- Tutti i punti sulla curva 2 danno la stessa utilità: [math]U(A)=U(C)[/math] per ogni [math]C[/math] sulla curva 2.
- Per transitività, [math]U(B)=U(C)[/math], il che implicherebbe che [math]B[/math] e [math]C[/math] sono sulla stessa curva d’indifferenza, contraddicendo l’ipotesi che fossero su curve diverse.
Quindi le curve d’indifferenza non possono intersecarsi.
Risposta Quiz 2
Cosa accade alla domanda di [math]x[/math] se [math]p_x[/math] aumenta ma rimane inferiore a [math]2p_y[/math]? La domanda è elastica o anelastica?
Se [math]p_x[/math] aumenta ma rimane inferiore a [math]2p_y[/math], la scelta rimane su [math]x[/math] (soluzione d’angolo). La quantità domandata è [math]x = M/p_x[/math].
Elasticità della domanda:
[math]\displaystyle \epsilon_x = \frac{\partial x}{\partial p_x} \cdot \frac{p_x}{x} = -\frac{M}{p_x^2} \cdot \frac{p_x}{M/p_x} = -1[/math]
La domanda è a elasticità unitaria ([math]|\epsilon_x| = 1[/math]). Una variazione dell'[math]1\%[/math] del prezzo causa una variazione opposta dell'[math]1\%[/math] della quantità domandata, mantenendo costante la spesa totale.
Risposta Quiz 3
Se il prezzo del tartufo raddoppiasse, come varierebbe la quantità domandata di riso? Cosa implica questo sulla relazione tra i due beni?
Dalle funzioni di domanda:
[math]\displaystyle x = \frac{2M}{2p_x + p_y}[/math]
Se [math]p_y[/math] raddoppia ([math]p_y \rightarrow 2p_y[/math]):
[math]\displaystyle x’ = \frac{2M}{2p_x + 2p_y} = \frac{M}{p_x + p_y}[/math]
Il rapporto:
[math]\displaystyle \frac{x’}{x} = \frac{M/(p_x + p_y)}{2M/(2p_x + p_y)} = \frac{2p_x + p_y}{2(p_x + p_y)}[/math]
Per [math]p_x = 10, p_y = 40[/math]:
[math]\displaystyle \frac{x’}{x} = \frac{20 + 40}{2(10 + 40)} = \frac{60}{100} = 0.6[/math]
La quantità di riso diminuisce del 40%.
Implicazione:
I due beni sono complementi perfetti. Un aumento del prezzo del tartufo riduce la domanda di riso perché i due beni devono essere consumati in proporzione fissa. L’elasticità incrociata è negativa.
Confronto tra i tre modelli
Se sei arrivato fin qui, hai affrontato calcoli, derivate e ragionamenti logici. Per fissare i concetti prima di chiudere il libro, ecco una tabella riassuntiva che sintetizza le differenze fondamentali tra le tre tipologie di preferenze che abbiamo visto.
Fai uno screenshot: ti tornerà utile per un ripasso veloce prima dell’esame.
| Proprietà | Cobb-Douglas | Sostituti Perfetti | Complementi Perfetti |
|---|---|---|---|
| Curve d’indifferenza | Convesse verso l’origine | Rette parallele | A forma di “L” |
| SMS | Variabile e decrescente | Costante | Non definito al kink |
| Soluzione ottima | Interna (punto di tangenza) | D’angolo (tutto su un bene) | Al vertice (proporzione fissa) |
| Elasticità di sostituzione | Positiva | Infinita | Zero |
Come leggere questa tabella in un secondo:
- Se il consumatore vuole bilanciare i beni, siamo nel mondo Cobb-Douglas (soluzione interna).
- Se cerca solo il risparmio puro tra beni identici, andrà agli estremi (sostituti perfetti).
- Se è vincolato a una ricetta rigida, comprerà le quantità esatte senza sprecare nulla (complementi perfetti).
Analisi Applicativa: Perché questi esercizi sono interessanti nel mondo reale
Esercizio 1: Il bilanciamento (Cobb-Douglas)
La funzione Cobb-Douglas non è solo un comodo artificio matematico, ma modella un comportamento di consumo estremamente diffuso: l’allocazione a spesa costante. Le preferenze di Mario ci dicono che, indipendentemente dai prezzi di mercato o dal suo reddito, lui destinerà sempre esattamente il [math]60\%[/math] del suo budget al caffè e il [math]40\%[/math] al tè (proprietà derivante dagli esponenti [math]\alpha[/math] e [math]\beta[/math]). Le aziende usano modelli simili per prevedere come i consumatori distribuiranno la loro spesa mensile tra categorie di base (es. cibo vs affitto) al variare dei salari.
Esercizio 2: La guerra dei prezzi (Sostituti Perfetti)
Questo esercizio spiega perfettamente la strategia dei “discount” e dei prodotti “white label” (quelli a marchio del supermercato). Anna ha una leggera preferenza per la marca famosa (AcquaAlpha), ma la sua fedeltà al brand non è assoluta. Se l’AcquaBeta abbassa il prezzo sotto una certa soglia critica (nel nostro caso quando [math]p_x / p_y > 2[/math]), Anna cambia interamente le sue abitudini d’acquisto. Questo modello di funzione di utilità è la base teorica che spiega perché la competizione sui prezzi per beni standardizzati (come benzina, farina o acqua) è così feroce e porta a improvvisi e massicci spostamenti di quote di mercato.
Esercizio 3: La rigidità del processo (Complementi Perfetti)
Il caso dello chef Giovanni è affascinante perché ci porta fuori dalla pura teoria del consumatore e ci avvicina all’economia della produzione e alle catene di montaggio (la cosiddetta tecnologia di Leontief). Quando i beni sono complementi perfetti, il mercato diventa estremamente vulnerabile ai “colli di bottiglia”. Come dimostra il mini-quiz finale, se il prezzo di un solo ingrediente (il tartufo) esplode, l’intera domanda per l’altro ingrediente (il riso) crolla, anche se il riso non ha subìto alcuna variazione di prezzo. È esattamente quello che succede nell’industria dell’auto: se mancano i microchip (tartufo), la domanda di acciaio per le portiere (riso) si blocca.
Oltre la Teoria: Quale funzione usano i manager nella realtà?
Fino ad ora abbiamo giocato con mondi ideali: mercati in cui due beni sono o assolutamente identici o drammaticamente legati a una ricetta. Ma là fuori, nel mercato reale, come scelgono davvero i consumatori?
I direttori marketing e gli analisti dati usano le funzioni di utilità per prevedere le reazioni a un aumento di prezzo. Questa tabella mostra come i modelli che hai appena studiato si applicano a mercati veri, introducendo la sfumatura più importante: i sostituti imperfetti.
| Situazione Reale | Modello Teorico | Logica Economica (Cosa succede sul mercato) |
|---|---|---|
| Alimentazione generale | Cobb-Douglas | Bilanciamento: Se il prezzo della carne raddoppia, non smetti di mangiare. Riduci la carne e compri più pasta. C’è sostituzione, ma mantieni un paniere diversificato. |
| Benzinai sullo stesso incrocio | Sostituti Perfetti | Guerra di centesimi: Per la tua auto, la benzina Eni o IP è chimicamente identica. Se Eni costa un centesimo in meno, il [math]100\%[/math] dei clienti gira a sinistra. Soluzione d’angolo pura. |
| Stampante + Cartucce | Complementi Perfetti | Vincolo tecnologico: Una stampante senza cartuccia è un fermacarte; una cartuccia senza stampante è inutile. Il rapporto di consumo è rigidamente [math]1:1[/math]. |
| Smartphone + Caricatore proprietario | Complementi Perfetti | Lock-in: Se compri quell’orologio smart, sei obbligato a comprare il suo cavetto specifico. Il produttore sa che la tua domanda per il secondo bene è totalmente rigida. |
| Coca-Cola vs Pepsi | Quasi Sostituti | Fedeltà psicologica: Sono quasi identiche, ma il brand crea una barriera. Se la Pepsi alza il prezzo, molti passano a Coca-Cola, ma i “fedelissimi” restano. Le curve sono quasi rette, ma leggermente smussate. |
| Spotify vs Apple Music | Sostituti Imperfetti | Costi di switch: Fanno la stessa cosa (streaming musicale), ma le tue playlist salvate e l’abitudine all’interfaccia rendono i due beni non perfettamente intercambiabili. |
💡 Il salto di qualità: Verso la funzione CES
I casi studiati all’università (sostituti e complementi perfetti) sono gli estremi di uno spettro. Nella realtà, quasi tutti i beni sono sostituti imperfetti. Per modellarli, gli economisti avanzati usano la funzione CES (Constant Elasticity of Substitution).
La forza della CES sta nel fatto che non ti costringe a scegliere un modello rigido. È una funzione dotata di una “manopola” matematica (il parametro [math]\rho[/math], ovvero rho) che, a seconda di come viene impostata, deforma la curva d’indifferenza facendola diventare una Cobb-Douglas, una retta o una “L”.
Teoria del consumatore, utilità e scelta ottima
👉Microeconomia: il comportamento del consumatore
👉Utilità e sostituzione: comprendere le preferenze del consumatore
👉Beni perfetti sostituti e scelta ottima del consumatore: esercizi pratici
👉Guida pratica alle funzioni di utilità: Cobb-Douglas, sostituti e quasi-lineari
👉Microeconomia: teoria del consumo in breve (Parte I)
👉Microeconomia: teoria del consumo in breve (Parte II)
👉Microeconomia nella vita reale: 5 casi di studio dalla teoria alla pratica
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