Studio di Funzione: Come Riconoscere Simmetrie, Funzioni Pari e Dispari (Guida con Esercizi)

Simmetria delle funzioni: pari o dispari? Sei esercizi progressivi per non sbagliare più

A volte la matematica ti tende una trappola gentile: ti dà una formula lunga, piena di radici o logaritmi, e ti invita a perdere venti minuti tra derivate e calcoli di punti per disegnarne il grafico. Eppure, la scorciatoia esiste ed è scritta nelle regole della simmetria. Sapere in anticipo se una funzione è pari o dispari significa dimezzare il lavoro e capire al volo la forma dello specchio geometrico che hai davanti.

Il problema è che la teoria scolastica si ferma spesso alla superficie: ti insegnano la regola di base, sostituisci [math]x[/math] con [math]-x[/math] e vedi che succede, ma dimenticano di dirti cosa fare quando la formula si complica con un dominio ristretto, un valore assoluto o un tratto spezzato. In questa guida affrontiamo il problema alla radice attraverso sei esercizi progressivi, analizzando non solo i calcoli, ma le trappole nascoste che fanno fallire la verifica prima ancora di cominciare.

Richiamo teorico: definizioni e proprietà fondamentali

Funzione pari

Una funzione [math]f:D\to\mathbb{R}[/math] si dice pari quando il suo dominio [math]D[/math] è simmetrico rispetto all’origine e vale

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(-x)=f(x)\qquad \forall x\in D.
\end{aligned}[/math]

Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse [math]y[/math]: a ogni punto del grafico di coordinate [math](x,f(x))[/math] corrisponde il punto [math](-x,f(x))[/math], con la stessa ordinata e ascisse opposte.

Un esempio immediato è [math]f(x)=x^2[/math], perché [math](-x)^2=x^2[/math]. Anche la funzione costante [math]f(x)=3[/math] è pari, dato che il suo valore non cambia quando si sostituisce [math]x[/math] con [math]-x[/math].

Funzione dispari

Una funzione [math]f:D\to\mathbb{R}[/math] si dice dispari quando il dominio è simmetrico rispetto all’origine e vale

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(-x)=-f(x)\qquad \forall x\in D.
\end{aligned}[/math]

In questo caso il grafico è simmetrico rispetto all’origine degli assi: se [math](x,f(x))[/math] appartiene al grafico, anche [math](-x,-f(x))[/math] vi appartiene. Il secondo punto si ottiene dal primo mediante una rotazione di [math]180^\circ[/math] intorno all’origine.

La funzione [math]f(x)=x^3[/math] è dispari, perché [math](-x)^3=-x^3[/math]. Anche [math]f(x)=x[/math] è dispari, mentre una funzione dispari definita in un dominio che contiene lo zero deve necessariamente soddisfare [math]f(0)=0[/math].

Perché il dominio deve essere simmetrico

La condizione sul dominio è essenziale, perché le identità che definiscono la parità e la disparità confrontano i valori della funzione in [math]x[/math] e in [math]-x[/math]. Se il dominio contiene un numero positivo ma non il suo opposto, il confronto non è possibile per tutti i punti richiesti dalla definizione.

Per esempio, una funzione definita soltanto per [math]x\geq 0[/math] non può essere classificata come pari o dispari secondo queste definizioni, perché il dominio [math][0,+\infty)[/math] non è simmetrico rispetto all’origine.

La simmetria del dominio è una condizione preliminare, ma non basta da sola a garantire la parità o la disparità: dopo averla verificata, bisogna controllare l’identità algebrica corrispondente.

Regole utili per riconoscere le simmetrie

Le proprietà di somma, prodotto e quoziente possono semplificare i calcoli, purché si tenga conto del dominio e delle condizioni di esistenza delle espressioni.

Operazione	Risultato
Somma di due funzioni pari	Pari
Somma di due funzioni dispari	Dispari
Prodotto di due funzioni pari	Pari
Prodotto di due funzioni dispari	Pari
Prodotto di una funzione pari e una dispari	Dispari
Quoziente di due funzioni pari	Pari, se definito
Quoziente di due funzioni dispari	Pari, se definito
Quoziente di una funzione pari e una dispari	Dispari, se definito

Per i quozienti, le proprietà valgono quando il denominatore non si annulla nel dominio considerato e il dominio della funzione risultante è simmetrico.

Anche la composizione richiede attenzione. Se [math]F[/math] è pari e [math]g[/math] è dispari, allora [math]F(g(x))[/math] è pari, purché la composizione sia definita su un dominio simmetrico. Non è invece vero che la composizione di una funzione pari con una funzione qualsiasi sia sempre pari: per esempio, [math]F(u)=u^2[/math] è pari, ma [math]F(x+1)=(x+1)^2[/math] non è pari.

Un metodo generale per risolvere gli esercizi

Per classificare una funzione conviene seguire sempre lo stesso percorso, evitando di affidarsi soltanto all’aspetto della formula.

1. Determina il dominio. Individua le condizioni imposte da radici, denominatori, logaritmi e altre espressioni, poi verifica che il dominio sia simmetrico rispetto a zero.
2. Calcola [math]f(-x)[/math]. Sostituisci ogni [math]x[/math] con [math]-x[/math], mantenendo le parentesi necessarie e applicando correttamente le proprietà algebriche.
3. Confronta le espressioni. Se [math]f(-x)=f(x)[/math], la funzione è pari; se [math]f(-x)=-f(x)[/math], è dispari. Se nessuna delle due uguaglianze vale su tutto il dominio, non è né pari né dispari.

Una precisazione: la funzione identicamente nulla è contemporaneamente pari e dispari, perché soddisfa entrambe le identità.

Esercizio 1 — Valore assoluto e potenze pari

Testo

Data la funzione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x)=|x|+x^2-3,
\end{aligned}[/math]

stabilisci se è pari, dispari oppure né pari né dispari, motivando la risposta.

Risoluzione

Il dominio è tutto [math]\mathbb{R}[/math], perché sia il valore assoluto sia il polinomio sono definiti per ogni numero reale. Poiché [math]\mathbb{R}[/math] è simmetrico rispetto all’origine, possiamo procedere con il calcolo di [math]f(-x)[/math].

Sostituendo [math]x[/math] con [math]-x[/math], otteniamo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(-x)=|-x|+(-x)^2-3.
\end{aligned}[/math]

Il valore assoluto non cambia quando cambia il segno dell’argomento, mentre una potenza di esponente pari conserva il proprio valore. Pertanto,

[math]\displaystyle \begin{aligned}
|-x|=|x|,\qquad (-x)^2=x^2.
\end{aligned}[/math]

Sostituendo queste identità nell’espressione precedente,

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(-x)&=|x|+x^2-3\\
&=f(x).
\end{aligned}[/math]

L’uguaglianza vale per ogni [math]x\in\mathbb{R}[/math], quindi la funzione è pari e il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse [math]y[/math].

Osservazione strategica

In questo caso la simmetria si riconosce perché tutti i termini della somma sono funzioni pari: [math]|x|[/math], [math]x^2[/math] e la costante [math]-3[/math]. La somma di funzioni pari è ancora pari, quindi la proprietà si può dedurre anche senza ripetere ogni volta l’intero calcolo.

È importante, tuttavia, non confondere questa osservazione con una regola basata soltanto sull’aspetto dei simboli: la verifica di [math]f(-x)[/math] rimane il metodo generale, soprattutto quando nella stessa espressione compaiono termini di natura diversa.

Domanda di riflessione

Che cosa succede alla simmetria se alla funzione si aggiunge il termine [math]2x[/math]?

Esercizio 2 — Radice quadrata e quoziente

Testo

Considera la funzione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
g(x)=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}.
\end{aligned}[/math]

Determina il dominio e stabilisci se la funzione è pari, dispari oppure né pari né dispari.

Risoluzione

Il primo passaggio consiste nello stabilire dove la funzione è definita. La radice quadrata richiede che il radicando sia non negativo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2-1\geq 0.
\end{aligned}[/math]

Fattorizzando la differenza di quadrati,

[math]\displaystyle \begin{aligned}
(x-1)(x+1)\geq 0,
\end{aligned}[/math]

si ricava

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x\leq -1\qquad\text{oppure}\qquad x\geq 1.
\end{aligned}[/math]

Il denominatore impone inoltre [math]x\neq 0[/math], condizione già soddisfatta dalle disuguaglianze precedenti. Il dominio è quindi

[math]\displaystyle \begin{aligned}
D=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty).
\end{aligned}[/math]

Questo insieme è simmetrico rispetto all’origine: se un numero appartiene al dominio, anche il suo opposto vi appartiene. Possiamo dunque verificare la parità calcolando

[math]\displaystyle \begin{aligned}
g(-x)&=\frac{\sqrt{(-x)^2-1}}{-x}\\
&=\frac{\sqrt{x^2-1}}{-x}\\
&=-\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\\
&=-g(x).
\end{aligned}[/math]

Poiché l’identità vale per ogni [math]x[/math] del dominio, la funzione è dispari.

Osservazione strategica

Il numeratore [math]\sqrt{x^2-1}[/math] è una funzione pari, perché dipende da [math]x[/math] soltanto attraverso [math]x^2[/math], mentre il denominatore [math]x[/math] è dispari. Il loro quoziente è dispari, dato che è definito su un dominio simmetrico e il denominatore non si annulla in tale dominio.

L’esercizio mostra perché non basta riconoscere le proprietà dei singoli termini: bisogna sempre controllare che il dominio della funzione risultante consenta di applicare la regola.

Domanda di riflessione

Perché sarebbe scorretto applicare direttamente la definizione di funzione pari o dispari se il dominio fosse, per esempio, [math][0,+\infty)[/math]?

Esercizio 3 — Logaritmo di un rapporto

Testo

Data la funzione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
h(x)=\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right),
\end{aligned}[/math]

determina il dominio e stabilisci se è pari, dispari oppure né pari né dispari.

Risoluzione

L’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{1+x}{1-x}>0.
\end{aligned}[/math]

Per studiare il segno del rapporto, consideriamo i punti in cui numeratore e denominatore si annullano, cioè [math]x=-1[/math] e [math]x=1[/math]. Il rapporto è positivo quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno.

Nell’intervallo [math](-1,1)[/math], entrambi sono positivi: infatti [math]1+x>0[/math] e [math]1-x>0[/math]. Per [math]x<-1[/math], il numeratore è negativo e il denominatore positivo; per [math]x>1[/math], il numeratore è positivo e il denominatore negativo. Il rapporto è quindi positivo soltanto nell’intervallo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
D=(-1,1).
\end{aligned}[/math]

Il dominio è simmetrico rispetto all’origine, perciò possiamo calcolare [math]h(-x)[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
h(-x)=\log\left(\frac{1-x}{1+x}\right).
\end{aligned}[/math]

Osserviamo che il rapporto ottenuto è il reciproco di quello presente nella funzione iniziale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{1-x}{1+x}
=
\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}.
\end{aligned}[/math]

Applicando la proprietà del logaritmo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\log\left(\frac1y\right)=-\log(y),
\qquad y>0,
\end{aligned}[/math]

si ricava

[math]\displaystyle \begin{aligned}
h(-x)
&=\log\left[\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{-1}\right]\\
&=-\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\\
&=-h(x).
\end{aligned}[/math]

La funzione è quindi dispari.

Osservazione strategica

La parte interessante non è soltanto la presenza del logaritmo, ma il modo in cui cambia il suo argomento quando [math]x[/math] viene sostituito con [math]-x[/math]. Il rapporto si trasforma nel proprio reciproco e il logaritmo converte questa trasformazione in un cambio di segno.

La conclusione vale per qualunque base [math]b>0[/math], con [math]b\neq1[/math], perché l’identità [math]\log_b(1/y)=-\log_b(y)[/math] non dipende dalla scelta della base.

Domanda di riflessione

Se si sostituisce il logaritmo naturale con quello in base [math]10[/math], la funzione mantiene la propria disparità? Motiva la risposta attraverso una proprietà dei logaritmi.

Esercizio 4 — Funzione definita a tratti

Testo

Sia definita la funzione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x)=
\begin{cases}
x^2, & x\geq 0,\\
-x^2, & x<0.
\end{cases}
\end{aligned}[/math]

Verifica se è pari, dispari oppure né pari né dispari, e descrivi l’andamento del grafico.

Risoluzione

La funzione è definita per ogni numero reale, quindi il dominio è [math]D=\mathbb{R}[/math], che è simmetrico rispetto all’origine. In questo caso, tuttavia, non possiamo limitarci a sostituire [math]x[/math] con [math]-x[/math] senza considerare quale ramo della definizione dobbiamo utilizzare.

Se [math]x>0[/math], allora [math]-x<0[/math], perciò nella valutazione di [math]f(-x)[/math] dobbiamo usare il secondo ramo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(-x)=-(-x)^2=-x^2.
\end{aligned}[/math]

Poiché per [math]x>0[/math] vale [math]f(x)=x^2[/math], otteniamo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(-x)=-x^2=-f(x).
\end{aligned}[/math]

Se invece [math]x<0[/math], allora [math]-x>0[/math] e dobbiamo utilizzare il primo ramo:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(-x)=(-x)^2=x^2.
\end{aligned}[/math]

In questo caso [math]f(x)=-x^2[/math], quindi

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(-x)=x^2=-f(x).
\end{aligned}[/math]

Rimane da verificare il punto [math]x=0[/math], che appartiene al primo ramo e per il quale [math]f(0)=0[/math]. Anche nell’origine vale dunque [math]f(-0)=-f(0)[/math].

L’identità è verificata in tutto il dominio, quindi la funzione è dispari.

Interpretazione geometrica

Per [math]x\geq0[/math], il grafico coincide con il ramo destro della parabola [math]y=x^2[/math], mentre per [math]x<0[/math] coincide con il ramo sinistro della parabola [math]y=-x^2[/math]. I due rami sono simmetrici rispetto all’origine, come richiesto dalla disparità.

La stessa funzione può essere scritta in forma compatta come

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x)=x|x|.
\end{aligned}[/math]

Infatti, quando [math]x\geq0[/math], si ha [math]|x|=x[/math] e quindi [math]x|x|=x^2[/math]; quando [math]x<0[/math], invece, [math]|x|=-x[/math] e dunque [math]x|x|=-x^2[/math].

La funzione è anche continua nell’origine, perché entrambi i limiti laterali valgono zero e coincidono con [math]f(0)[/math]. La continuità, tuttavia, non è necessaria per la disparità: la simmetria dipende dalla relazione algebrica tra [math]f(-x)[/math] e [math]f(x)[/math], non dall’assenza di discontinuità.

Domanda di riflessione

La continuità in zero è necessaria affinché una funzione sia dispari? Proponi un esempio di funzione dispari che non sia continua nell’origine.

Esercizio 5 — Rendere pari una funzione mediante una traslazione

Testo

Data la funzione quadratica

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x)=x^2-4x+5,
\end{aligned}[/math]

determina il valore di [math]c[/math] affinché la funzione

[math]\displaystyle \begin{aligned}
g(x)=f(x+c)
\end{aligned}[/math]

sia pari. Spiega anche il significato geometrico del parametro [math]c[/math].

Risoluzione

Per verificare la parità di [math]g[/math], dobbiamo eliminare gli eventuali termini che cambiano segno quando [math]x[/math] viene sostituito con [math]-x[/math]. Sostituiamo quindi [math]x+c[/math] nella formula di [math]f[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
g(x)=(x+c)^2-4(x+c)+5.
\end{aligned}[/math]

Sviluppando il quadrato e raccogliendo i termini simili, otteniamo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
g(x)&=x^2+2cx+c^2-4x-4c+5\\
&=x^2+(2c-4)x+c^2-4c+5.
\end{aligned}[/math]

Un polinomio di secondo grado è pari se il coefficiente del termine lineare è nullo, perché il termine [math]x[/math] cambia segno nella sostituzione [math]x\mapsto -x[/math], mentre [math]x^2[/math] e le costanti restano invariati. Dobbiamo quindi imporre

[math]\displaystyle \begin{aligned}
2c-4=0,
\end{aligned}[/math]

da cui segue

[math]\displaystyle \begin{aligned}
c=2.
\end{aligned}[/math]

Sostituendo questo valore nella funzione, otteniamo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
g(x)&=x^2+(4-4)x+4-8+5\\
&=x^2+1.
\end{aligned}[/math]

La funzione [math]g(x)=x^2+1[/math] è pari, perché [math]g(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=g(x)[/math].

Interpretazione geometrica

Completiamo il quadrato nella funzione iniziale:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x)=(x-2)^2+1.
\end{aligned}[/math]

Il vertice della parabola è [math]V=(2,1)[/math] e il suo asse di simmetria è la retta verticale [math]x=2[/math]. La funzione [math]g(x)=f(x+2)[/math] si ottiene traslando il grafico di [math]f[/math] di due unità verso sinistra: il vertice passa da [math](2,1)[/math] a [math](0,1)[/math] e l’asse di simmetria coincide con l’asse [math]y[/math].

Il valore [math]c=2[/math] è quindi proprio quello che consente di centrare l’asse di simmetria sull’asse delle ordinate. Se scegliessimo [math]c=-2[/math], avremmo invece

[math]\displaystyle \begin{aligned}
g(x)&=f(x-2)\\
&=(x-2)^2-4(x-2)+5\\
&=x^2-8x+17,
\end{aligned}[/math]

che non è pari, perché contiene il termine lineare [math]-8x[/math]. In questo caso il grafico si sposterebbe di due unità verso destra e il suo asse di simmetria sarebbe [math]x=4[/math].

Osservazione strategica

L’esercizio mostra che la parità può essere utilizzata anche per risolvere un problema inverso: non ci limitiamo a classificare una funzione, ma cerchiamo la trasformazione che le conferisce una determinata simmetria.

Il procedimento si può applicare alle parabole con asse verticale: per ottenere una funzione pari tramite una traslazione orizzontale, occorre portare l’asse di simmetria sull’asse [math]y[/math]. Non tutte le funzioni, però, possiedono un asse di simmetria verticale, quindi il metodo non può essere esteso indiscriminatamente a qualsiasi funzione.

Domanda di riflessione

Che cosa rappresenta il valore [math]c=2[/math] nel grafico di [math]f[/math], e perché la scelta [math]c=-2[/math] non produce una funzione pari?

Esercizio 6 — Simmetria e derivazione

Testo

Sia [math]f[/math] una funzione derivabile su tutto [math]\mathbb{R}[/math]. Dimostra che:

• se [math]f[/math] è pari, allora la sua derivata [math]f'[/math] è dispari;
• se [math]f[/math] è dispari, allora la sua derivata [math]f'[/math] è pari.

Fornisci un esempio concreto per ciascun caso.

Risoluzione

La dimostrazione si basa sulle definizioni di funzione pari e dispari e sulla regola della catena, che permette di derivare correttamente un’espressione nella quale compare [math]-x[/math].

Primo caso: [math]f[/math] è pari

Per definizione, vale

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(-x)=f(x)\qquad \forall x\in\mathbb{R}.
\end{aligned}[/math]

Deriviamo entrambi i membri rispetto a [math]x[/math]. A sinistra dobbiamo applicare la regola della catena, perché la funzione è composta con l’espressione [math]-x[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{d}{dx}f(-x)=-f'(-x).
\end{aligned}[/math]

A destra, invece, la derivata è semplicemente [math]f'(x)[/math]. Otteniamo quindi

[math]\displaystyle \begin{aligned}
-f'(-x)=f'(x),
\end{aligned}[/math]

da cui

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f'(-x)=-f'(x).
\end{aligned}[/math]

Questa è esattamente la definizione di funzione dispari, perciò la derivata di una funzione pari è dispari, sotto l’ipotesi di derivabilità considerata.

Un esempio è [math]f(x)=x^2[/math], che è pari e ha derivata [math]f'(x)=2x[/math], una funzione dispari.

Secondo caso: [math]f[/math] è dispari

In questo caso la definizione è

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(-x)=-f(x)\qquad \forall x\in\mathbb{R}.
\end{aligned}[/math]

Derivando entrambi i membri, otteniamo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
-f'(-x)=-f'(x).
\end{aligned}[/math]

Semplificando i segni meno,

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f'(-x)=f'(x).
\end{aligned}[/math]

Questa relazione identifica una funzione pari, quindi la derivata di una funzione dispari è pari.

Un esempio è [math]f(x)=x^3[/math], che è dispari e ha derivata [math]f'(x)=3x^2[/math], una funzione pari.

 

Osservazione strategica

La derivazione scambia la parità: una funzione pari ha derivata dispari, mentre una funzione dispari ha derivata pari, purché la funzione sia derivabile su un dominio simmetrico che consenta di applicare la dimostrazione.

Questa proprietà è utile anche per le derivate successive. Se una funzione è derivabile due volte su [math]\mathbb{R}[/math], la sua seconda derivata ha la stessa parità della funzione iniziale. Infatti, partendo da una funzione pari, la prima derivata è dispari e la seconda è pari; partendo da una funzione dispari, la prima derivata è pari e la seconda è dispari.

La simmetria della funzione iniziale fornisce quindi informazioni sul comportamento delle derivate senza doverne necessariamente calcolare ogni espressione.

Domanda di riflessione

Se [math]f[/math] è pari e derivabile due volte, quale simmetria possiede [math]f”[/math]? E che cosa accade quando [math]f[/math] è dispari?

Risposte alle domande di riflessione

Le risposte seguenti permettono di verificare il ragionamento svolto nei sei esercizi e chiariscono alcuni aspetti teorici che è importante saper applicare anche in problemi diversi da quelli proposti.

Esercizio 1 — Aggiunta di un termine dispari

Aggiungendo [math]2x[/math], la funzione diventa

[math]\displaystyle \begin{aligned}
F(x)=|x|+x^2-3+2x.
\end{aligned}[/math]

Calcoliamo la funzione nel punto opposto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
F(-x)=|x|+x^2-3-2x.
\end{aligned}[/math]

Questa espressione non coincide con [math]F(x)[/math], perché il termine lineare cambia segno. Non coincide nemmeno con [math]-F(x)[/math], che è

[math]\displaystyle \begin{aligned}
-F(x)=-|x|-x^2+3-2x.
\end{aligned}[/math]

La nuova funzione è quindi né pari né dispari. Il risultato illustra una proprietà generale: la somma di una funzione pari non nulla e di una funzione dispari non nulla non può essere né pari né dispari, purché le due funzioni siano definite sullo stesso dominio simmetrico.

Esercizio 2 — Importanza del dominio simmetrico

Il dominio deve essere simmetrico perché la definizione di parità e disparità richiede di confrontare [math]f(x)[/math] con [math]f(-x)[/math] per ogni punto del dominio.

Se il dominio fosse [math][0,+\infty)[/math], per ogni [math]x>0[/math] il numero [math]-x[/math] non apparterrebbe al dominio e il valore [math]f(-x)[/math] non sarebbe definito. Non sarebbe quindi possibile verificare le identità richieste dalla definizione sull’intero dominio.

Il controllo del dominio deve precedere il calcolo di [math]f(-x)[/math], perché stabilisce se il confronto necessario per classificare la funzione sia effettivamente possibile.

Esercizio 3 — Cambio della base del logaritmo

La funzione rimane dispari anche passando dal logaritmo naturale al logaritmo in base [math]10[/math], perché la proprietà

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\log_b\left(\frac1y\right)=-\log_b(y)
\end{aligned}[/math]

vale per ogni base [math]b>0[/math], con [math]b\neq1[/math], e per ogni [math]y>0[/math].

La trasformazione dell’argomento nel suo reciproco continua quindi a produrre un cambio di segno. La disparità dipende dalla struttura dell’espressione e non dalla base del logaritmo scelta.

Esercizio 4 — Continuità e disparità

La continuità non è una condizione necessaria per la disparità. Per esempio, consideriamo

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x)=
\begin{cases}
\dfrac1x, & x\neq0,\\[4pt]
0, & x=0.
\end{cases}
\end{aligned}[/math]

Per [math]x\neq0[/math], vale

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(-x)=-\frac1x=-f(x),
\end{aligned}[/math]

mentre nell’origine [math]f(0)=0=-f(0)[/math]. La funzione è quindi dispari, anche se non è continua in zero, perché il limite della funzione per [math]x\to0[/math] non è finito.

La parità e la disparità sono proprietà algebriche, mentre la continuità è una proprietà analitica distinta: una funzione può possedere una simmetria senza essere continua.

Esercizio 5 — Significato del parametro [math]c[/math]

Il valore [math]c=2[/math] è l’ascissa dell’asse di simmetria della parabola [math]f(x)=x^2-4x+5[/math]. La trasformazione [math]g(x)=f(x+2)[/math] trasla il grafico di due unità verso sinistra, portando l’asse di simmetria da [math]x=2[/math] a [math]x=0[/math].

Scegliendo invece [math]c=-2[/math], il grafico si sposterebbe di due unità verso destra e il suo asse di simmetria diventerebbe [math]x=4[/math]. La funzione risultante non sarebbe pari, perché il suo asse di simmetria non coinciderebbe con l’asse delle ordinate.

Il segno del parametro determina dunque la direzione della traslazione orizzontale, mentre il valore appropriato permette di ottenere la simmetria richiesta.

Esercizio 6 — Simmetria della seconda derivata

Se [math]f[/math] è pari e derivabile due volte, la prima derivata [math]f'[/math] è dispari e la seconda derivata [math]f”[/math] è pari. Se [math]f[/math] è dispari e derivabile due volte, la prima derivata è pari e la seconda è dispari.

Gli esempi più semplici sono

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x)=x^2,\qquad f'(x)=2x,\qquad f”(x)=2
\end{aligned}[/math]

e

[math]\displaystyle \begin{aligned}
f(x)=x^3,\qquad f'(x)=3x^2,\qquad f”(x)=6x.
\end{aligned}[/math]

Nel primo caso la sequenza è pari, dispari, pari; nel secondo è dispari, pari, dispari. Ogni derivazione scambia la parità, purché siano soddisfatte le condizioni di derivabilità necessarie.

Conclusione: dalla formula alla simmetria

Le funzioni pari e dispari offrono un esempio di come una proprietà algebrica possa fornire informazioni geometriche e analitiche sul comportamento di una funzione. Il controllo del dominio, il calcolo di [math]f(-x)[/math] e il confronto con [math]f(x)[/math] o con [math]-f(x)[/math] costituiscono un metodo generale che si applica anche quando la formula contiene radici, logaritmi o definizioni a tratti.

Gli esercizi mostrano inoltre che la simmetria non è soltanto uno strumento per classificare le funzioni: può aiutare a individuare una traslazione, interpretare un grafico e dedurre le proprietà delle derivate. La parte più importante del procedimento consiste nel motivare ogni passaggio, verificando le condizioni che rendono valida la conclusione, anziché affidarsi a regole applicate senza controllo.

Quando si affronta un nuovo esercizio, conviene quindi partire dal dominio e procedere con ordine, perché una classificazione corretta non dipende dall’apparenza della formula, ma dalla verifica delle definizioni matematiche.

 

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