Punti angolosi e non derivabilità: come riconoscerli con le derivate laterali
Quando una funzione è continua ma non derivabile?
Come si riconosce un punto angoloso?
E qual è la differenza tra uno spigolo, una cuspide e una tangente verticale?
Sei esercizi svolti mostrano passo dopo passo come analizzare la regolarità di una funzione, collegando il calcolo differenziale alla geometria e ad alcune applicazioni concrete.
Quando osserviamo il grafico di una funzione, siamo abituati a immaginare una curva liscia, senza interruzioni e senza cambiamenti improvvisi di direzione.
Ma molti fenomeni reali non hanno necessariamente un andamento così regolare.
Una tariffa può cambiare quando si supera una certa soglia. Un sistema meccanico può passare da una legge di moto a un’altra. Un profilo geometrico può presentare uno spigolo. Una funzione costruita mediante un valore assoluto può “ribaltare” una parte del proprio grafico.
In analisi matematica, questi fenomeni possono essere studiati attraverso continuità e derivabilità.
Un caso particolarmente interessante è quello del punto angoloso: la funzione è continua, quindi il grafico non presenta alcun salto, ma la pendenza cambia bruscamente passando da sinistra a destra.
In questo articolo costruiremo progressivamente gli strumenti necessari per riconoscere questi punti e distinguerli da altre forme di non derivabilità.
1. Punto angoloso: l’idea geometrica
Consideriamo un punto [math]x_0[/math].
Una funzione può essere continua in [math]x_0[/math], ma avere una pendenza diversa quando arriviamo al punto da sinistra rispetto a quando lo lasciamo verso destra.
In simboli, possiamo avere:
[math]f’_-(x_0) \neq f’_+(x_0)[/math]
dove
[math]f’_-(x_0)[/math]
è la derivata sinistra e
[math]f’_+(x_0)[/math]
è la derivata destra.
Se entrambe sono finite ma diverse, abbiamo un punto angoloso.
La situazione può essere rappresentata schematicamente così:
[math]\boxed{ \text{continuità}+ \text{derivate laterali finite e diverse} \Longrightarrow \text{punto angoloso} }[/math]
È fondamentale però procedere nell’ordine corretto.
La procedura da ricordare
Per studiare un possibile punto angoloso in [math]x_0[/math]:
- Controlla che [math]x_0[/math] appartenga al dominio.
- Verifica la continuità.
- Calcola la derivata sinistra.
- Calcola la derivata destra.
- Confronta i due valori.
Se
[math]f’_-(x_0) = f’_+(x_0)[/math]
la funzione è derivabile nel punto.
Se invece
[math]f’_-(x_0) \neq f’_+(x_0)[/math]
ma entrambe sono finite e la funzione è continua, abbiamo un punto angoloso.
Attenzione
Una funzione discontinua non presenta un punto angoloso.
Lo spigolo richiede infatti che il grafico arrivi al punto senza interrompersi.
Quindi:
[math]\boxed{\text{prima la continuità, poi le derivate laterali}}[/math]
👉 Derivate laterali: derivata destra e sinistra, punti angolosi ed esercizi svolti
Esercizio 1 — La tariffa telefonica
Livello ★☆☆☆☆
Il problema
Un’azienda telefonica applica una tariffa a scaglioni.
Per i primi 10 minuti di chiamata il costo è di 0.15 € al minuto.
Oltre i 10 minuti, i primi 10 minuti continuano a costare 0.15 € al minuto, mentre ogni minuto eccedente costa 0.08 €.
Un cliente effettua una chiamata di [math]x[/math] minuti.
Determina:
- la funzione costo [math]C(x)[/math];
- se [math]C(x)[/math] è continua in [math]x=10[/math];
- se [math]C(x)[/math] è derivabile in [math]x=10[/math];
- le derivate laterali.
Soluzione
Passaggio 1 — Costruiamo la funzione
Per una chiamata di durata compresa tra 0 e 10 minuti:
[math]C(x)=0.15x.[/math]
Per [math]x>10[/math], i primi 10 minuti costano:
[math]10\cdot0.15=1.50.[/math]
I minuti eccedenti sono [math](x-10)[/math], quindi:
[math]C(x)=1.50+0.08(x-10).[/math]
Semplificando:
[math]C(x)=1.50+0.08x-0.80[/math]
e quindi:
[math]C(x)=0.08x+0.70.[/math]
Otteniamo:
[math]\boxed{
C(x)=
\begin{cases}
0.15x & 0\leq x\leq10\\
0.08x+0.70 & x>10
\end{cases}}
[/math]
Passaggio 2 — Continuità in [math]x=10[/math]
Calcoliamo il valore della funzione:
[math]C(10)=0.15\cdot10=1.50.[/math]
Dal lato sinistro:
[math]\lim_{x\to10^-} C(x) = 0.15\cdot10 = 1.50.[/math]
Dal lato destro:
[math]\lim_{x\to10^+} C(x) = 0.08\cdot10+0.70 = 1.50.[/math]
Pertanto:
[math]\lim_{x\to10^-} C(x) = \lim_{x\to10^+} C(x) = C(10).[/math]
La funzione è quindi continua in [math]x=10[/math].
Passaggio 3 — Derivate laterali
Per [math]x<10[/math]:
[math]C'(x)=0.15.[/math]
Quindi:
[math]C'(10^-)=0.15.[/math]
Per [math]x>10[/math]:
[math]C'(x)=0.08.[/math]
Quindi:
[math]C'(10^+)=0.08.[/math]
Abbiamo dunque:
[math]\boxed{C'(10^-)=0.15 \neq 0.08 = C'(10^+)}[/math]
La funzione è continua, ma non derivabile.
Pertanto [math]x=10[/math] è un punto angoloso.
Il punto del grafico è:
[math]\boxed{(10,1.50)}.[/math]
Interpretazione
Il significato geometrico è molto semplice.
Prima dei 10 minuti il costo cresce con pendenza:
[math]0.15.[/math]
Dopo i 10 minuti cresce con pendenza:
[math]0.08.[/math]
La tariffa cambia senza produrre un salto nel costo totale, ma cambia bruscamente il costo marginale, cioè la pendenza della funzione.
Esempio numerico
- 8 minuti:
[math]C(8)=0.15\cdot8=1.20\text{ €}[/math]
- 10 minuti:
[math]C(10)=1.50\text{ €}[/math]
- 15 minuti:
[math]C(15)=1.50+5\cdot0.08=1.90\text{ €}.[/math]
Il grafico mostra chiaramente che non c’è un salto, ma compare uno spigolo in corrispondenza di 10 minuti.
Domanda di riflessione
Perché una funzione può essere continua ma non derivabile?
Perché la continuità richiede soltanto che il grafico non presenti un salto, mentre la derivabilità richiede anche che esista una pendenza unica nel punto.
Esercizio 2 — Il carico della gru
Livello ★★☆☆☆
Il problema
Una gru solleva un carico secondo la legge:
[math]
h(t)=
\begin{cases}
t^2 & 0\leq t\leq2\\
4t-4 & t>2
\end{cases}
[/math]
dove [math]h(t)[/math] è l’altezza in metri e [math]t[/math] il tempo in secondi.
Determina se in [math]t=2[/math] esiste un punto angoloso.
Soluzione
Passaggio 1 — Continuità
Calcoliamo:
[math]h(2)=2^2=4.[/math]
Dal lato sinistro:
[math]\lim_{t\to2^-} h(t) = 4.[/math]
Dal lato destro:
[math]\lim_{t\to2^+} h(t) = 4\cdot2-4 = 4.[/math]
Quindi:
[math]\lim_{t\to2^-} h(t) = \lim_{t\to2^+} h(t) = h(2) = 4.[/math]
La funzione è continua.
Passaggio 2 — Derivate laterali
Per [math]t<2[/math]:
[math]h'(t)=2t.[/math]
Pertanto:
[math]h'(2^-)=4.[/math]
Per [math]t>2[/math]:
[math]h'(t)=4.[/math]
Pertanto:
[math]h'(2^+)=4.[/math]
Le due derivate laterali coincidono:
[math]\boxed{h'(2^-)=h'(2^+)=4}.[/math]
La funzione è quindi derivabile in [math]t=2[/math]:
[math]\boxed{h'(2)=4\text{ m/s}}.[/math]
Non abbiamo alcun punto angoloso.
Perché questo esercizio è importante?
Le due formule della funzione cambiano, ma il grafico non presenta uno spigolo.
Questo dimostra una regola fondamentale:
Una funzione definita a tratti non è necessariamente non derivabile.
Il cambio di formula è irrilevante se i due rami si raccordano con la stessa pendenza.
Nel nostro caso:
[math]t^2 \quad\longrightarrow\quad 4t-4[/math]
ma entrambe le leggi hanno pendenza 4 nel punto di raccordo.
Domanda di riflessione
Supponiamo invece:
[math]
h(t)=
\begin{cases}
t^2 & t\leq2\\
4t-3 & t>2.
\end{cases}
[/math]
In [math]t=2[/math]:
[math]h(2)=4[/math]
ma:
[math]\lim_{t\to2^+} h(t) = 5.[/math]
Quindi compare un salto.
Non abbiamo un punto angoloso, perché la funzione non è continua.
Esercizio 3 — Il profilo di un ponte
Livello ★★★☆☆
Il problema
Consideriamo il profilo:
[math]
f(x)=
\begin{cases}
\sqrt{x} & 0\leq x\leq1\\
\dfrac{1}{x} & x>1.
\end{cases}
[/math]
Verifica se in [math]x=1[/math] compare un punto angoloso e calcola l’angolo acuto formato dalle due rette tangenti.
Soluzione
Passaggio 1 — Continuità
Abbiamo:
[math]f(1)=1.[/math]
Dal lato sinistro:
[math]\lim_{x\to1^-} \sqrt{x} = 1.[/math]
Dal lato destro:
[math]\lim_{x\to1^+} \frac{1}{x} = 1.[/math]
La funzione è quindi continua.
Passaggio 2 — Derivata sinistra
Per il primo ramo:
[math]f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.[/math]
Pertanto:
[math]f'(1^-)=\frac12.[/math]
Passaggio 3 — Derivata destra
Per il secondo ramo:
[math]f'(x)=-\frac{1}{x^2}.[/math]
Quindi:
[math]f'(1^+)=-1.[/math]
Abbiamo:
[math]\boxed{f'(1^-)=\frac12 \neq -1 = f'(1^+)}[/math]
La funzione è continua ma non derivabile.
Quindi [math]x=1[/math] è un punto angoloso.
Passaggio 4 — Angolo tra le tangenti
Le pendenze delle due tangenti sono:
[math]m_1=\frac12,\qquad m_2=-1.[/math]
L’angolo acuto [math]\theta[/math] tra due rette di pendenza [math]m_1[/math] e [math]m_2[/math] soddisfa:
[math]\tan\theta = \left| \frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \right|.[/math]
Sostituendo:
[math]\tan\theta = \left| \frac{-1-\frac12}{1-\frac12} \right| = 3.[/math]
Pertanto:
[math]\theta = \arctan(3)[/math]
e:
[math]\boxed{\theta \approx 71.57^\circ}.[/math]
La formula restituisce l’angolo acuto tra le due rette tangenti.
Il grafico permette di vedere immediatamente perché il raccordo forma uno spigolo.
Una distinzione importante: punto angoloso, cuspide e tangente verticale
Non tutta la non derivabilità ha la stessa forma geometrica.
È quindi utile distinguere almeno tre casi.
Punto angoloso
Le derivate laterali sono finite ma diverse:
[math]f’_-(x_0)\neq f’_+(x_0).[/math]
Esempio:
[math]f(x)=|x|.[/math]
Infatti:
[math]f’_-(0)=-1,\qquad f’_+(0)=1.[/math]
Cuspide
Le derivate laterali diventano infinite con segno opposto.
Un esempio classico è:
[math]f(x)=|x|^{2/3}.[/math]
Per [math]x\neq0[/math]:
[math]f'(x)= \frac{2}{3}\operatorname{sgn}(x)|x|^{-1/3}.[/math]
Quando [math]x\to0^-[/math]:
[math]f'(x)\to-\infty,[/math]
mentre quando [math]x\to0^+[/math]:
[math]f'(x)\to+\infty.[/math]
Il grafico presenta una punta molto più accentuata rispetto a un normale punto angoloso.
Flesso a tangente verticale
In questo caso le derivate laterali divergono con lo stesso segno.
Un esempio è:
[math]f(x)=x^{1/3}.[/math]
Infatti:
[math]f'(x)=\frac{1}{3x^{2/3}}.[/math]
Per [math]x\to0^-[/math] e [math]x\to0^+[/math]:
[math]f'(x)\to+\infty.[/math]
La tangente è verticale:
[math]x=0.[/math]
Quindi possiamo riassumere:
| Tipo | Derivata sinistra | Derivata destra |
|---|---|---|
| Punto angoloso | finita | finita e diversa |
| Cuspide | [math]+\infty[/math] oppure [math]-\infty[/math] | [math]-\infty[/math] oppure [math]+\infty[/math] |
| Tangente verticale | stesso infinito | stesso infinito |
Questa classificazione va applicata dopo aver verificato la continuità, quando si sta studiando la non derivabilità di una funzione continua.
Esercizio 4 — Il macchinario industriale e il valore assoluto
Livello ★★★★☆
Il problema
Consideriamo il costo:
[math]C(q)=|q^2-4q+3|[/math]
con [math]q\geq0[/math].
La variabile [math]q[/math] rappresenta la quantità prodotta, espressa in centinaia di unità.
Determina:
- tutti i punti angolosi;
- le derivate laterali;
- il costo marginale per [math]q=2.5[/math].
Soluzione
Passaggio 1 — Troviamo dove cambia il segno
Poniamo:
[math]q^2-4q+3=0.[/math]
Fattorizzando:
[math](q-1)(q-3)=0.[/math]
Quindi:
[math]q=1,\qquad q=3.[/math]
Sono i due punti nei quali l’espressione interna al valore assoluto si annulla.
Studiamo il segno:
[math]q^2-4q+3>0[/math]
per:
[math]0\leq q<1[/math]
e:
[math]q>3.[/math]
Invece:
[math]q^2-4q+3<0[/math]
per:
[math]1<q<3.[/math]
Pertanto:
[math]
C(q)=
\begin{cases}
q^2-4q+3 & 0\leq q\leq1\\
-q^2+4q-3 & 1<q<3\\
q^2-4q+3 & q\geq3.
\end{cases}
[/math]
Passaggio 2 — Punto [math]q=1[/math]
A sinistra:
[math]C'(q)=2q-4[/math]
quindi:
[math]C'(1^-)=-2.[/math]
A destra:
[math]C'(q)=-2q+4[/math]
e quindi:
[math]C'(1^+)=2.[/math]
Abbiamo:
[math]-2 \neq 2.[/math]
Quindi [math]q=1[/math] è un punto angoloso.
Passaggio 3 — Punto [math]q=3[/math]
A sinistra:
[math]C'(3^-)= -2(3)+4 = -2.[/math]
A destra:
[math]C'(3^+)=2(3)-4 = 2.[/math]
Anche in questo caso:
[math]-2 \neq 2.[/math]
Quindi [math]q=3[/math] è un altro punto angoloso.
I due punti sono:
[math]\boxed{(1,0)}[/math]
e
[math]\boxed{(3,0)}.[/math]
Passaggio 4 — Costo marginale per [math]q=2.5[/math]
Poiché:
[math]1<2.5<3,[/math]
utilizziamo:
[math]C(q)=-q^2+4q-3.[/math]
Derivando:
[math]C'(q)=-2q+4.[/math]
Pertanto:
[math]C'(2.5)=-5+4=-1.[/math]
Quindi:
[math]\boxed{C'(2.5)=-1}.[/math]
Nel modello matematico, il costo marginale è negativo in questo intervallo: aumentando leggermente [math]q[/math], il valore della funzione costo diminuisce.
Una regola generale sul valore assoluto
L’esercizio permette di comprendere una regola utile.
Se:
[math]f(x)=|P(x)|,[/math]
i punti in cui:
[math]P(x)=0[/math]
sono candidati a diventare punti angolosi.
Se la radice è semplice e il segno di [math]P[/math] cambia attraversandola, il valore assoluto ribalta un ramo del grafico e può creare uno spigolo.
Se invece la radice ha molteplicità pari, il segno non cambia e questo meccanismo non genera un punto angoloso.
Per esempio:
[math]|(q-2)^2|=(q-2)^2.[/math]
Il valore assoluto è superfluo e la funzione è perfettamente derivabile in [math]q=2[/math].
Infatti:
[math]C'(q)=2(q-2)[/math]
e:
[math]C'(2^-)=C'(2^+)=0.[/math]
Quindi:
[math]\boxed{\text{radice doppia} \not\Rightarrow \text{punto angoloso}}[/math]
Esercizio 5 — L’acquedotto e il raccordo [math]C^1[/math]
Livello ★★★★☆
Il problema
Consideriamo il profilo:
[math]
f(x)=
\begin{cases}
(x+1)^3 & x\leq -1\\
0 & -1<x<1\\
(x-1)^3 & x\geq1.
\end{cases}
[/math]
Analizza la continuità e la derivabilità nei punti:
[math]x=-1,\qquad x=1.[/math]
Determina inoltre se questi punti sono punti angolosi, cuspidi, punti a tangente verticale o flessi.
Soluzione
Punto [math]x=-1[/math]
Abbiamo:
[math]f(-1)=0.[/math]
Dal lato sinistro:
[math]\lim_{x\to-1^-} (x+1)^3 = 0.[/math]
Dal lato destro:
[math]\lim_{x\to-1^+} 0 = 0.[/math]
La funzione è quindi continua.
Per [math]x<-1[/math]:
[math]f'(x)=3(x+1)^2.[/math]
Quindi:
[math]f'(-1^-)=0.[/math]
Nel tratto centrale:
[math]f'(x)=0.[/math]
Pertanto:
[math]f'(-1^+)=0.[/math]
Le derivate laterali coincidono:
[math]\boxed{f'(-1^-)=f'(-1^+)=0}.[/math]
La funzione è derivabile in [math]x=-1[/math].
Punto [math]x=1[/math]
Analogamente:
[math]f(1)=0.[/math]
I limiti laterali sono entrambi nulli.
Per il ramo centrale:
[math]f'(x)=0.[/math]
Per il ramo destro:
[math]f'(x)=3(x-1)^2.[/math]
Quindi:
[math]f'(1^-)=0[/math]
e:
[math]f'(1^+)=0.[/math]
Anche in questo caso:
[math]\boxed{f'(1^-)=f'(1^+)=0}.[/math]
La funzione è derivabile.
Ma sono punti di flesso?
No, non è corretto identificarli automaticamente come flessi.
Questo è un punto didatticamente importante.
Avere:
[math]f'(x_0)=0[/math]
significa che la tangente è orizzontale.
Non significa automaticamente che [math]x_0[/math] sia un punto di flesso.
Un punto di flesso richiede un cambio di concavità secondo la definizione adottata.
Nel nostro caso, vicino a [math]x=-1[/math]:
[math]f”(x)=6(x+1)[/math]
sul ramo sinistro, mentre:
[math]f”(x)=0[/math]
nel tratto centrale.
Si passa quindi da una regione con [math]f”<0[/math] a una regione in cui [math]f”=0[/math], non da concavità verso il basso a concavità verso l’alto o viceversa.
Lo stesso accade in [math]x=1[/math].
Quindi la conclusione corretta è:
[math]\boxed{x=-1\text{ e }x=1 \text{ sono punti di raccordo derivabili con tangente orizzontale}}[/math]
ma non vanno classificati automaticamente come punti di flesso.
Il significato di [math]C^1[/math]
Questo esempio è interessante perché mostra qualcosa di più della semplice derivabilità.
La derivata è:
[math]
f'(x)=
\begin{cases}
3(x+1)^2 & x<-1\\
0 & -1<x<1\\ 3(x-1)^2 & x>1.
\end{cases}
[/math]
Avvicinandoci ai punti di raccordo, la derivata tende sempre a zero.
Quindi la derivata è continua nei punti di raccordo.
La funzione è dunque di classe:
[math]\boxed{C^1}[/math]
nel senso che funzione e derivata prima sono continue.
Esercizio 6 — Una funzione con parametri
Livello ★★★★★
Il problema
Consideriamo:
[math]
f(x)=
\begin{cases}
e^{kx} & x<0\\
x^2+ax+b & x\geq0.
\end{cases}
[/math]
Determina i valori dei parametri [math]a,b,k[/math] affinché:
- la funzione sia continua in [math]x=0[/math];
- la funzione sia derivabile in [math]x=0[/math];
- in [math]x=0[/math] sia presente un punto angoloso.
Soluzione
Passaggio 1 — Continuità
Dal ramo sinistro:
[math]\lim_{x\to0^-} e^{kx}=1.[/math]
Nel punto [math]x=0[/math] utilizziamo il secondo ramo:
[math]f(0)=0^2+a\cdot0+b=b.[/math]
Per la continuità deve essere:
[math]b=1.[/math]
Quindi:
[math]\boxed{b=1}.[/math]
Passaggio 2 — Derivabilità
Assumiamo ora:
[math]b=1.[/math]
Per il ramo sinistro:
[math]f'(x)=ke^{kx}.[/math]
Pertanto:
[math]f'(0^-)=k.[/math]
Per il ramo destro:
[math]f'(x)=2x+a.[/math]
Quindi:
[math]f'(0^+)=a.[/math]
Per la derivabilità:
[math]k=a.[/math]
Pertanto:
[math]\boxed{a=k}.[/math]
Le condizioni per avere una funzione derivabile sono quindi:
[math]\boxed{b=1,\qquad a=k}.[/math]
Passaggio 3 — Quando compare un punto angoloso?
Un punto angoloso richiede:
- continuità;
- derivate laterali finite;
- derivate laterali diverse.
La continuità impone:
[math]b=1.[/math]
Le derivate laterali sono:
[math]f'(0^-)=k[/math]
e:
[math]f'(0^+)=a.[/math]
Per avere uno spigolo deve quindi essere:
[math]a\neq k.[/math]
Pertanto:
[math]\boxed{b=1,\qquad a\neq k}[/math]
identifica la famiglia di funzioni che presenta un punto angoloso in [math]x=0[/math].
E se [math]b\neq1[/math]?
In questo caso:
[math]\lim_{x\to0^-} f(x) = 1[/math]
mentre:
[math]f(0)=b.[/math]
Se:
[math]b\neq1,[/math]
la funzione è discontinua.
Non abbiamo quindi un punto angoloso.
Questo esempio mostra perché la continuità deve essere verificata prima della derivabilità.
Da [math]C^1[/math] a [math]C^2[/math]
Possiamo spingerci un passo oltre.
Supponiamo che il ramo destro sia:
[math]x^3+ax+b.[/math]
La continuità richiede ancora:
[math]b=1.[/math]
La derivabilità richiede:
[math]a=k.[/math]
Ma ora studiamo le derivate seconde.
A sinistra:
[math]f”(x)=k^2 e^{kx}[/math]
e quindi:
[math]f”(0^-)=k^2.[/math]
A destra:
[math]f”(x)=6x[/math]
e quindi:
[math]f”(0^+)=0.[/math]
Per ottenere un raccordo [math]C^2[/math] dobbiamo imporre:
[math]k^2=0.[/math]
Quindi:
[math]k=0.[/math]
Dato che:
[math]a=k,[/math]
otteniamo:
[math]a=0.[/math]
In definitiva:
[math]\boxed{a=0,\qquad b=1,\qquad k=0}[/math]
è la scelta che rende il raccordo [math]C^2[/math] nel punto.
Confronto con il ramo quadratico originale
Se il secondo ramo è:
[math]x^2+ax+b,[/math]
allora:
[math]f”_+(0)=2.[/math]
A sinistra:
[math]f”_-(0)=k^2.[/math]
Per il raccordo [math]C^2[/math]:
[math]k^2=2.[/math]
Poiché [math]k[/math] è reale:
[math]\boxed{k=\sqrt{2}}[/math]
se si considera anche la condizione [math]a=k[/math], otteniamo:
[math]\boxed{a=\sqrt{2},\qquad b=1,\qquad k=\sqrt{2}}.[/math]
Questo mostra come le condizioni di regolarità possano essere utilizzate per progettare matematicamente un raccordo.
Una mappa mentale per non sbagliare
Quando troviamo un punto sospetto [math]x_0[/math], possiamo utilizzare questo schema.
1. La funzione è continua?
Se no:
[math]\boxed{\text{non è un punto angoloso}}[/math]
e bisogna classificare la discontinuità.
Se sì, procediamo.
2. Le derivate laterali sono finite?
Se entrambe sono finite:
- se sono uguali → funzione derivabile;
- se sono diverse → punto angoloso.
Se diventano infinite:
- segni opposti → possibile cuspide;
- stesso segno → possibile tangente verticale.
Il ruolo della derivata: dalla formula alla geometria
La derivata non è soltanto una procedura algebrica.
Geometricamente, rappresenta la pendenza della tangente.
Per questo il confronto tra:
[math]f’_-(x_0)[/math]
e:
[math]f’_+(x_0)[/math]
permette di capire cosa succede alla curva nel punto.
Se:
[math]f’_-(x_0)=f’_+(x_0),[/math]
la curva possiede una pendenza unica.
Se:
[math]f’_-(x_0)\neq f’_+(x_0),[/math]
la curva arriva con una pendenza e riparte con un’altra.
È esattamente ciò che percepiamo visivamente come uno spigolo.
Le applicazioni: perché questi concetti sono utili?
Tariffe e costi
Una funzione a tratti può rappresentare tariffe a scaglioni, costi marginali o sistemi di prezzo.
Il punto di raccordo può essere continuo, ma la derivata può cambiare.
In questo caso lo spigolo rappresenta matematicamente un cambio di regime.
Cinematica
In un modello di movimento, la derivata della posizione è la velocità.
Se la posizione presenta un punto angoloso:
[math]x’_-(t_0)\neq x’_+(t_0),[/math]
la velocità cambia istantaneamente nel modello ideale.
In un modello fisico questo non significa semplicemente “accelerazione infinita” come proprietà di un sistema reale: matematicamente si tratta piuttosto di un cambiamento impulsivo della velocità, che richiederebbe un modello dinamico più sofisticato per essere rappresentato fisicamente.
Geometria e ingegneria
Un profilo con un punto angoloso possiede uno spigolo geometrico.
In progettazione, gli spigoli possono avere conseguenze meccaniche rilevanti; tuttavia il modello differenziale descrive prima di tutto la regolarità geometrica del profilo.
Funzioni di costo
Il valore assoluto compare frequentemente quando interessa la distanza da un obiettivo:
[math]|q-q_0|.[/math]
La non derivabilità in corrispondenza di [math]q=q_0[/math] segnala che la funzione cambia regime quando si attraversa il target.
Errori frequenti da evitare
Errore 1 — “Se è definita a tratti, non è derivabile”
Falso.
L’Esercizio 2 mostra proprio il contrario.
Errore 2 — “Se è continua, allora è derivabile”
Falso.
La tariffa telefonica dell’Esercizio 1 è continua ma presenta un punto angoloso.
Errore 3 — “Se la derivata vale zero, c’è un flesso”
Falso.
Una derivata nulla indica una tangente orizzontale, non necessariamente un flesso.
Per parlare di flesso bisogna analizzare il comportamento della concavità.
Errore 4 — “Se le derivate laterali sono uguali, la funzione è derivabile anche se c’è un salto”
Falso.
La derivabilità implica la continuità.
Una funzione discontinua non può essere derivabile nel punto.
Errore 5 — “Un punto angoloso è semplicemente un punto in cui la derivata non esiste”
È una definizione troppo generica.
Un punto angoloso è un caso specifico di non derivabilità:
[math]\boxed{ \text{continuità} + \text{derivate laterali finite e diverse} }[/math]
Procedura rapida da usare negli esercizi
Quando compare una funzione a tratti, un valore assoluto o un possibile punto di raccordo, utilizza questa checklist.
Passo 1 — Individua i punti sospetti
Sono tipicamente:
- punti in cui cambia la formula;
- zeri dell’argomento di un valore assoluto;
- estremi del dominio;
- punti in cui la derivata può diventare infinita.
Passo 2 — Controlla la continuità
Calcola:
[math]\lim_{x\to x_0^-} f(x),\qquad \lim_{x\to x_0^+} f(x),\qquad f(x_0).[/math]
Passo 3 — Calcola le derivate laterali
[math]f’_-(x_0)[/math]
e:
[math]f’_+(x_0).[/math]
Passo 4 — Classifica
[math]
\boxed{
\begin{array}{ll}
f’_- = f’_+ & \Rightarrow \text{derivabile}\\
f’_- \neq f’_+,\quad f’_\pm\in\mathbb R & \Rightarrow \text{punto angoloso}\\
f’_\pm \to \pm\infty & \Rightarrow \text{analizzare cuspide/tangente verticale}
\end{array}}
[/math]
Conclusione
Un punto angoloso non è semplicemente un’anomalia del calcolo.
È il modo con cui la matematica descrive un cambio brusco di pendenza.
Gli esercizi mostrano quattro idee fondamentali:
[math]\boxed{\text{continuità}\neq\text{derivabilità}}[/math]
[math]\boxed{\text{funzione a tratti}\neq\text{automaticamente non derivabile}}[/math]
[math]\boxed{\text{derivate laterali diverse}\Rightarrow\text{punto angoloso}}[/math]
e:
[math]\boxed{f'(x_0)=0\neq\text{automaticamente punto di flesso}}[/math]
Il metodo più sicuro rimane sempre lo stesso:
prima controllare la continuità, poi confrontare le derivate laterali e infine interpretare geometricamente il risultato.
È proprio questo passaggio dal calcolo alla geometria che rende lo studio della derivata qualcosa di più di una sequenza di formule: la derivata diventa uno strumento per capire come cambia il comportamento di una funzione e dove un sistema passa da un regime a un altro.
📚 Derivate, punti critici e applicazioni
Se vuoi approfondire il significato e le applicazioni delle derivate, dai punti critici allo studio della monotonia, fino a flessi, cuspidi, punti angolosi e applicazioni in contesti reali, puoi consultare queste guide ed esercizi svolti:
👉 Derivate: 5 usi inconsueti e approfonditi oltre tangenti e ottimizzazione
👉 Derivate: guida completa dalla monotonia ai punti critici con spiegazioni e quesiti risolti
👉 Studio di funzione: punti angolosi, cuspidi e teorema di Lagrange – esercizi svolti
👉 Punti di flesso, cuspidi e punti angolosi: esercizi svolti e spiegazioni
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