Esercizi Svolti sui Moltiplicatori di Lagrange: Guida Pratica all’Ottimizzazione Vincolata

Esercizio 3 – Estremi su un insieme compatto (difficoltà ★★★★★)

Contesto

In questo scenario abbandoniamo l’economia aziendale per entrare nella geometria pura. Immagina di camminare lungo il bordo di un cratere circolare perfetto. La funzione rappresenta l’altitudine del terreno. Vogliamo mappare non solo i punti più alti e più bassi in assoluto, ma ogni singola vetta e avvallamento lungo il nostro percorso.

Testo

Data la funzione

[math]f(x,y) = x^3 + y^3[/math]

soggetta al vincolo

[math]x^2 + y^2 = 1,[/math]

trova tutti i punti stazionari e classificali (massimi assoluti/locali e minimi assoluti/locali).

✅ Risoluzione

1. Analisi del problema

Il vincolo è una circonferenza di raggio 1, che geometricamente è un insieme chiuso e limitato (compatto). Per il Teorema di Weierstrass, sappiamo in partenza che la funzione ammette sicuramente un massimo e un minimo assoluti.

2. Impostazione del Lagrangiano

Costruiamo la funzione lagrangiana includendo il vincolo:

[math]\mathcal{L}(x,y,\lambda) = x^3 + y^3 – \lambda(x^2 + y^2 – 1)[/math]

3. Condizioni del primo ordine (Sistema)

Annulliamo il gradiente rispetto a [math]x[/math], [math]y[/math] e [math]\lambda[/math]:

[math]\displaystyle \begin{cases}
3x^2 – 2\lambda x = 0 \Rightarrow x(3x – 2\lambda) = 0, \\
3y^2 – 2\lambda y = 0 \Rightarrow y(3y – 2\lambda) = 0, \\
x^2 + y^2 = 1.
\end{cases}[/math]

4. Ricerca dei punti critici

Risolviamo il sistema analizzando i tre scenari possibili.

Caso A: [math]x = 0[/math]. Inserendolo nel vincolo otteniamo [math]y = \pm 1[/math].

Punti trovati: [math](0, 1)[/math] e [math](0, -1)[/math].

Valori della funzione: [math]f(0, 1) = 1[/math], [math]f(0, -1) = -1[/math].

Caso B: [math]y = 0[/math]. Inserendolo nel vincolo otteniamo [math]x = \pm 1[/math].

Punti trovati: [math](1, 0)[/math] e [math](-1, 0)[/math].

Valori della funzione: [math]f(1, 0) = 1[/math], [math]f(-1, 0) = -1[/math].

Caso C: [math]x \neq 0[/math] e [math]y \neq 0[/math]. Dalle prime due equazioni ricaviamo che [math]3x = 2\lambda[/math] e [math]3y = 2\lambda[/math], da cui deduciamo l’uguaglianza [math]x = y[/math].

Sostituendo nel vincolo si ha [math]2x^2 = 1 \Rightarrow x = y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}[/math].

Punti trovati: [math]P_1 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)[/math] e [math]P_2 = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)[/math].

Valori della funzione:

[math]\displaystyle f(P_1) = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707[/math]

[math]\displaystyle f(P_2) = 2\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 = -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.707[/math]

5. Classificazione degli estremi

Ora che abbiamo la mappa completa delle quote altimetriche, classifichiamo i punti:

• Massimi assoluti ([math]f = 1[/math]): Raggiunti nei punti [math](1, 0)[/math] e [math](0, 1)[/math].
• Minimi assoluti ([math]f = -1[/math]): Raggiunti nei punti [math](-1, 0)[/math] e [math](0, -1)[/math].

E i punti intermedi?

Il punto [math]P_1 \approx 0.707[/math] si trova incastrato tra i due massimi assoluti di quota [math]1[/math]. Se ti muovi lungo la circonferenza partendo da [math]P_1[/math], l’altitudine ricomincerà a salire verso [math]1[/math] in entrambe le direzioni. Pertanto, [math]P_1[/math] è una “valle in quota”, ovvero un minimo locale.

Al contrario, [math]P_2 \approx -0.707[/math] si trova tra i due minimi assoluti di quota [math]-1[/math]. L’altitudine scende allontanandosi da esso; si tratta quindi di una “piccola duna sul fondo”, ovvero un massimo locale.

6. La prova definitiva: L’Hessiana Orlata (per i più rigorosi)

Possiamo confermare la nostra intuizione calcolando la matrice Hessiana Orlata [math]H[/math] nel punto [math]P_1(1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})[/math], dove [math]\lambda = 3/(2\sqrt{2})[/math]:

[math]\displaystyle H = \begin{pmatrix}
0 & 2x & 2y \\
2x & 6x – 2\lambda & 0 \\
2y & 0 & 6y – 2\lambda
\end{pmatrix}[/math]

In un problema a due variabili con un solo vincolo, la regola dei segni del determinante [math]\det(H)[/math] è netta: se è negativo siamo su un minimo locale, se è positivo siamo su un massimo locale.

Sostituendo le coordinate di [math]P_1[/math], la diagonale principale delle derivate seconde parziali risulta [math]6(1/\sqrt{2}) – 3/\sqrt{2} = 3/\sqrt{2}[/math]. Il calcolo del determinante dà come risultato:

[math]\displaystyle \det(H) = -\frac{12}{\sqrt{2}} < 0[/math]

Il segno negativo certifica matematicamente che [math]P_1[/math] è un minimo locale vincolato, confermando la nostra analisi geometrica. (Svolgendo lo stesso calcolo per [math]P_2[/math], troveresti un determinante positivo, confermandolo come massimo locale).

💡 L’illusione del “punto di sella”

Questo esercizio è insidioso perché su funzioni senza vincoli saremmo tentati di chiamare [math]P_1[/math] un “punto di sella” (poiché si trova a metà strada tra massimi e minimi). Tuttavia, quando si ottimizza lungo una curva monodimensionale (come la nostra circonferenza), la funzione non può avere selle vere e proprie: non ci sono direzioni trasversali in cui muoversi. Lungo il sentiero del vincolo si può solo salire o scendere, rendendo i punti stazionari o massimi o minimi.

❓ Mini quiz

Perché la condizione del primo ordine [math]\nabla f = \lambda \nabla g[/math] (i gradienti sono allineati) non ci dice nulla su chi sia il massimo e chi il minimo?

I 5 Errori Più Comuni (e come evitarli all’esame)

Quando si passa dalla teoria alla pratica, i moltiplicatori di Lagrange nascondono alcune trappole in cui cade la maggior parte degli studenti. Ecco i cinque errori classici da non commettere.

Errore 1: Ignorare la complementarità nei vincoli di disuguaglianza

Il problema chiede di ottimizzare con il vincolo [math]g(x,y) \le 0[/math] e tu imposti direttamente il Lagrangiano come se fosse un’uguaglianza, senza farti domande.

Perché è sbagliato: Il metodo standard di Lagrange vale solo per i confini esatti (le uguaglianze). Se il punto ottimale si trova all’interno della regione (dove [math]g(x,y) < 0[/math]), il vincolo non è attivo e il moltiplicatore deve essere zero ([math]\lambda = 0[/math]).

La soluzione: Usa le condizioni di Karush-Kuhn-Tucker (KKT). Devi sempre verificare la condizione di complementarità: [math]\lambda \cdot g(x,y) = 0[/math]. Se assumi che il vincolo sia attivo (come nell’Esercizio 1), alla fine devi controllare che risulti [math]\lambda \ge 0[/math].

Errore 2: Dimenticare la qualificazione del vincolo ([math]\nabla g \neq 0[/math])

Tutti si buttano a capofitto a impostare il sistema, dimenticando di calcolare il gradiente del vincolo.

Perché è sbagliato: Il teorema di Lagrange funziona solo nei punti in cui il vincolo è “regolare”. Se nel punto critico il gradiente del vincolo si annulla, ovvero [math]\nabla g = (0,0)[/math] (ad esempio sulla punta di un cono o in una cuspide), i gradienti non possono essere proporzionali. In quei punti potrebbe nascondersi un massimo o un minimo che il tuo sistema non troverà mai.

La soluzione: Prima di scrivere la Lagrangiana, calcola [math]\nabla g[/math] e verifica in quali punti si annulla. Se quei punti appartengono al vincolo, aggiungili manualmente alla lista dei “sospettati” da controllare alla fine.

Errore 3: Confondere un estremo locale con uno assoluto

Risolvi il sistema, trovi un punto critico, calcoli l’Hessiana e scopri che è un massimo. Fine dell’esercizio? Non proprio.

Perché è sbagliato: Aver trovato la cima di una collina non significa aver scalato l’Everest. Lagrange individua solo gli estremi locali. Se il dominio non è un insieme compatto (chiuso e limitato), la funzione potrebbe schizzare a [math]+\infty[/math] o [math]-\infty[/math] da qualche altra parte.

La soluzione: Una volta trovati tutti i punti stazionari, valuta la funzione in ciascuno di essi per stilare una “classifica” (come abbiamo fatto nell’Esercizio 3). Poi, verifica sempre il comportamento della funzione agli estremi del dominio (i limiti) per confermare che i valori trovati siano effettivamente i massimi o minimi assoluti.

Errore 4: Credere che l’equazione [math]\nabla f = \lambda \nabla g[/math] classifichi il punto

Molti pensano che la condizione del primo ordine basti a dire se si tratta di un massimo o di un minimo, magari interpretando il segno di [math]\lambda[/math].

Perché è sbagliato: Quell’equazione ti dice solo una cosa: “In questo punto, la curva di livello della funzione è esattamente tangente al vincolo”. Sei su una zona piatta, un punto stazionario. Il gradiente allineato non sa dirti se ai lati di questo punto si sale o si scende.

La soluzione: Il sistema trova le coordinate, non la natura. Per capire se sei su un picco o in una valle devi sostituire i punti trovati nella funzione originaria e confrontarli, oppure usare l’Hessiana Orlata.

Errore 5: Complicarsi la vita con l’Hessiana quando la funzione è convessa

Trovato il punto critico, perdi venti minuti a calcolare un’Hessiana Orlata [math]3 \times 3[/math] o [math]4 \times 4[/math], rischiando errori di calcolo fatali sul determinante.

Perché è sbagliato: È un inutile spreco di tempo. Se stai minimizzando una funzione palesemente convessa (come una somma di quadrati, vedi l’Esercizio 2) su un vincolo lineare o convesso, l’analisi matematica ti fa uno sconto enorme: ogni punto stazionario locale è automaticamente il minimo globale.

La soluzione: Prima di lanciarti nelle derivate seconde, guarda la funzione. È una parabola convessa? I vincoli sono rette o piani? Se la risposta è sì, scrivi semplicemente: “Essendo la funzione obiettivo strettamente convessa e l’insieme ammissibile convesso, il punto critico trovato è l’unico minimo globale”. Esercizio concluso, tempo risparmiato.

import sympy as sp

# 1. Definiamo le variabili e il moltiplicatore
x, y, lam = sp.symbols('x y lam')

# 2. Scriviamo la funzione Lagrangiana
L = x * y - lam * (x**2 + y**2 - 4)

# 3. Calcoliamo le derivate parziali (il gradiente posto a zero)
eqs = [
    sp.diff(L, x),   # Derivata rispetto a x
    sp.diff(L, y),   # Derivata rispetto a y
    sp.diff(L, lam)  # Derivata rispetto a lambda (il vincolo)
]

# 4. Chiediamo a Python di risolvere il sistema
soluzioni = sp.solve(eqs, [x, y, lam])

print(soluzioni)

[(-sqrt(2), sqrt(2), -1/2), (sqrt(2), -sqrt(2), -1/2), (-sqrt(2), -sqrt(2), 1/2), (sqrt(2), sqrt(2), 1/2)]