Guida Pratica alle Funzioni Cobb-Douglas: Allocazione del Budget, Minimizzazione dei Costi e Massimizzazione del Profitto

Pianificare il budget di un’azienda sanitaria, ottimizzare il rapporto tra macchinari e operai in una fabbrica di pannelli solari o calcolare la dimensione ideale di una linea di produzione high-tech condividono la stessa logica sottostante.

Le funzioni di utilità e di produzione Cobb-Douglas rappresentano uno degli strumenti più efficaci per modellare queste decisioni operative.

In questa guida analizziamo tre casi aziendali concreti, dal settore farmaceutico alle energie rinnovabili fino all’aerospaziale, applicando le regole fondamentali della microeconomia alle scelte strategiche d’impresa.

ESERCIZIO 1 (Medio-Difficile) – Saggio Marginale di Sostituzione nell’Industria Farmaceutica

Testo

“MediHealth” produce due farmaci: Farmaco A e Farmaco B. Un’azienda sanitaria deve allocare il suo budget di €2.000.000 per l’acquisto di questi prodotti. I prezzi sono:

[math]p_A = \text{€200/unità}[/math]

[math]p_B = \text{€500/unità}[/math]

La funzione di utilità del decisore sanitario è:

[math]U(A,B) = A^{0.3} \times B^{0.7}[/math]

1. Calcola il Saggio Marginale di Sostituzione ([math]SMS[/math]) nel punto [math](A=4000, B=2400)[/math].
2. Verifica se questo punto è ottimo.
3. Trova il paniere ottimo e spiega il significato economico del [math]SMS[/math].

✅ Soluzione

Passo 1: Calcolo del SMS

Il Saggio Marginale di Sostituzione misura il rapporto tra le utilità marginali dei due beni:

[math]\displaystyle SMS = \frac{UMg_A}{UMg_B}[/math]

Calcoliamo le derivate parziali:

[math]UMg_A = \frac{\partial U}{\partial A} = 0.3 A^{-0.7} B^{0.7}[/math]

[math]UMg_B = \frac{\partial U}{\partial B} = 0.7 A^{0.3} B^{-0.3}[/math]

Ricomponendo il rapporto:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
SMS &= \frac{0.3 A^{-0.7} B^{0.7}}{0.7 A^{0.3} B^{-0.3}} \\
&= \frac{0.3}{0.7} \times \frac{B}{A} \\
&= \frac{3}{7} \times \frac{B}{A}
\end{aligned}[/math]

Valutiamo il [math]SMS[/math] nel paniere [math](4000, 2400)[/math]:

[math]\displaystyle SMS = \frac{3}{7} \times \frac{2400}{4000} = \frac{3}{7} \times 0.6 = 0.257[/math]

Passo 2: Verifica dell’ottimalità

Il rapporto tra i prezzi di mercato è:

[math]\displaystyle \frac{p_A}{p_B} = \frac{200}{500} = 0.4[/math]

Affinché il paniere sia ottimo, la pendenza della curva di indifferenza deve eguagliare la pendenza del vincolo di bilancio:

[math]SMS = \frac{p_A}{p_B}[/math]

In questo caso:

[math]SMS = 0.257 \neq 0.4[/math]

Il punto [math](4000, 2400)[/math] NON è ottimo.

Interpretazione economica:

Il [math]SMS = 0.257[/math] indica che il decisore è disposto a cedere [math]0.257[/math] unità di [math]B[/math] per ottenere un’unità aggiuntiva di [math]A[/math]. Tuttavia, il mercato richiede di rinunciare a [math]0.4[/math] unità di [math]B[/math] per ogni unità di [math]A[/math]. Ottenere [math]A[/math] sul mercato costa “più” di quanto il decisore lo valuti in termini relativi: la decisione corretta è ridurre il consumo di [math]A[/math] e aumentare quello di [math]B[/math>.

Passo 3: Determinazione del paniere ottimo

Sfruttiamo la proprietà delle funzioni Cobb-Douglas, secondo cui le quote di spesa sui beni sono fisse e proporzionali agli esponenti della funzione di utilità:

Quota di spesa per A: [math]\frac{\alpha}{\alpha + \beta} = \frac{0.3}{0.3 + 0.7} = 0.3 \text{ (30%)}[/math]

Quota di spesa per B: [math]\frac{\beta}{\alpha + \beta} = \frac{0.7}{0.3 + 0.7} = 0.7 \text{ (70%)}[/math]

Calcolo degli acquisti:

Spesa per [math]A = 0.3 \times 2.000.000 = \text{€600.000} \longrightarrow A^* = \frac{600.000}{200} = 3.000 \text{ unità}[/math]

Spesa per [math]B = 0.7 \times 2.000.000 = \text{€1.400.000} \longrightarrow B^* = \frac{1.400.000}{500} = 2.800 \text{ unità}[/math]

Paniere ottimo: [math](A^* = 3000, B^* = 2800)[/math]

Verifica del vincolo di bilancio:

[math]200(3000) + 500(2800) = 600.000 + 1.400.000 = 2.000.000 \quad \checkmark[/math]

Passo 4: Verifica del SMS nel punto ottimo

[math]\displaystyle SMS^* = \frac{3}{7} \times \frac{2800}{3000} = \frac{3}{7} \times 0.9333 = 0.4 \quad \checkmark[/math]

💡 Osservazioni Strategiche di Business

• Allocazione delle risorse: MediHealth deve riequilibrare gli acquisti spostando budget dal Farmaco A al Farmaco B per massimizzare la copertura terapeutica complessiva.
• Leva negoziale sui prezzi: Poiché l’utilità marginale del Farmaco A decresce rapidamente, l’azienda sanitaria acquisterà più unità di A solo a fronte di un’importante revisione al ribasso del suo prezzo unitario.

❓ Mini Quiz di Riflessione

Quale proprietà matematica della funzione Cobb-Douglas permette di calcolare la combinazione ottima senza dover risolvere il sistema con il moltiplicatore di Lagrange?

ESERCIZIO 2 (Difficile) – Minimizzazione dei Costi con Rendimenti di Scala

Testo

“GreenEnergy” produce pannelli solari combinando Lavoro ([math]L[/math]) e Capitale ([math]K[/math]). La funzione di produzione è:

[math]Q(L,K) = 2 L^{0.4} K^{0.6}[/math]

I costi dei fattori produttivi sono:

Salario ([math]w[/math]) = €30/ora

Tasso di affitto del capitale ([math]r[/math]) = €50/ora

L’azienda deve realizzare un target di produzione pari a [math]Q = 1000[/math] pannelli.

1. Determina la tipologia dei rendimenti di scala.
2. Calcola la combinazione di input che minimizza i costi di produzione.
3. Determina il costo totale minimo e il costo medio unitario.

✅ Soluzione

Passo 1: Analisi dei rendimenti di scala

Nella funzione di produzione Cobb-Douglas [math]Q = A L^\alpha K^\beta[/math], la somma degli esponenti indica la natura dei rendimenti di scala:

[math]\alpha + \beta = 0.4 + 0.6 = 1.0[/math]

Moltiplicando gli input per un fattore [math]t > 1[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
Q(tL, tK) &= 2 (tL)^{0.4} (tK)^{0.6} \\
&= 2 t^{0.4+0.6} L^{0.4} K^{0.6} \\
&= t \times Q(L,K)
\end{aligned}[/math]

I rendimenti di scala sono costanti: raddoppiando l’impiego di lavoro e capitale, la produzione raddoppia esattamente.

Passo 2: Condizione di minimizzazione dei costi

La combinazione ottima richiede che il Saggio Marginale di Sostituzione Tecnica ([math]SMST[/math]) sia pari al rapporto tra i prezzi dei fattori:

[math]\displaystyle SMST = \frac{PMg_L}{PMg_K} = \frac{w}{r}[/math]

Calcolo delle produttività marginali:

[math]PMg_L = \frac{\partial Q}{\partial L} = 0.8 L^{-0.6} K^{0.6}[/math]

[math]PMg_K = \frac{\partial Q}{\partial K} = 1.2 L^{0.4} K^{-0.4}[/math]

Rapporto tra le produttività marginali:

[math]\displaystyle SMST = \frac{0.8 L^{-0.6} K^{0.6}}{1.2 L^{0.4} K^{-0.4}} = \frac{2}{3} \times \frac{K}{L}[/math]

Uguagliando al rapporto tra i prezzi dei fattori ([math]w/r = 30/50 = 0.6[/math]):

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{2}{3} \times \frac{K}{L} &= 0.6 \\
\frac{K}{L} &= 0.9 \\
K &= 0.9 L
\end{aligned}[/math]

Passo 3: Calcolo degli input ottimi

Sostituiamo [math]K = 0.9 L[/math] nella funzione di produzione per [math]Q = 1000[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
1000 &= 2 L^{0.4} (0.9 L)^{0.6} \\
1000 &= 2 \times 0.9^{0.6} \times L^{1.0}
\end{aligned}[/math]

Poiché [math]0.9^{0.6} \approx 0.9387[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
1000 &= 2 \times 0.9387 \times L = 1.8774 L \\
L^* &\approx 532.65 \text{ ore di lavoro} \\
K^* &= 0.9 \times 532.65 \approx 479.38 \text{ ore-macchina}
\end{aligned}[/math]

Passo 4: Calcolo del costo totale e del costo medio

[math]\displaystyle \begin{aligned}
C^* &= w L^* + r K^* \\
&= 30(532.65) + 50(479.38) \\
&= 15.979,5 + 23.969 \\
&= \text{€39.948,50}
\end{aligned}[/math]

[math]\displaystyle CMe = \frac{C^*}{Q} = \frac{39.948,50}{1000} \approx \text{€39,95 per pannello}[/math]

💡 Osservazioni Strategiche di Business

• Pianificazione di lungo periodo: Poiché i rendimenti di scala sono costanti, il costo medio resta invariato all’aumentare dei volumi. L’azienda non ottiene riduzioni di costo unitario per il solo fatto di produrre di più.
• Flessibilità della struttura produttiva: Il rapporto [math]K/L = 0.9[/math] indica un bilanciamento equilibrato tra automazione e fattore umano.

❓ Mini Quiz di Riflessione

Se un accordo sindacale facesse salire il salario [math]w[/math] a €40/ora, come cambierebbe il mix di produzione per mantenere [math]Q = 1000[/math]?

ESERCIZIO 3 (Molto Difficile) – Massimizzazione del Profitto con Rendimenti Decrescenti

Testo

“AeroTech” produce componentistica aerospaziale per droni. La funzione di produzione è:

[math]Q(L,K) = L^{0.3} K^{0.5}[/math]

I dati di mercato sono:

Costo del lavoro [math]w = \text{€25/ora}[/math]

Costo del capitale [math]r = \text{€40/ora}[/math]

Prezzo di vendita unitario [math]p = \text{€120/unità}[/math]

1. Calcola l’impiego ottimo dei fattori [math]L[/math] e [math]K[/math] che massimizza il profitto.
2. Determina la produzione totale e il profitto massimo realizzato.
3. Discuti l’elasticità di sostituzione della funzione.

✅ Soluzione

Passo 1: Formulazione della funzione di profitto

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\pi(L,K) &= p \cdot Q(L,K) – w L – r K \\
\pi(L,K) &= 120 L^{0.3} K^{0.5} – 25 L – 40 K
\end{aligned}[/math]

Passo 2: Condizioni del Primo Ordine (CPO)

Per massimizzare il profitto annulliamo le derivate parziali rispetto a [math]L[/math] e [math]K[/math]:

Derivata rispetto a L:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\partial \pi}{\partial L} &= 120 (0.3) L^{-0.7} K^{0.5} – 25 = 0 \\
36 L^{-0.7} K^{0.5} &= 25 \\
\frac{K^{0.5}}{L^{0.7}} &= \frac{25}{36}
\end{aligned}[/math]

Derivata rispetto a K:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\partial \pi}{\partial K} &= 120 (0.5) L^{0.3} K^{-0.5} – 40 = 0 \\
60 L^{0.3} K^{-0.5} &= 40 \\
\frac{L^{0.3}}{K^{0.5}} &= \frac{2}{3}
\end{aligned}[/math]

Passo 3: Risoluzione del sistema

Esplicitiamo [math]K^{0.5}[/math] dalle due equazioni:

Dalla prima: [math]K^{0.5} = \frac{25}{36} L^{0.7}[/math]

Dalla seconda: [math]K^{0.5} = 1.5 L^{0.3}[/math]

Uguagliando i due termini:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
\frac{25}{36} L^{0.7} &= 1.5 L^{0.3} \\
L^{0.4} &= 1.5 \times \frac{36}{25} = 2.16
\end{aligned}[/math]

Elevando entrambi i membri all’esponente [math]1/0.4 = 2.5[/math]:

[math]L^* = 2.16^{2.5} \approx 6.86 \text{ unità di lavoro}[/math]

Ora calcoliamo [math]K^*[/math]:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
K^{0.5} &= 1.5 \times (6.86)^{0.3} = 1.5 \times 1.782 = 2.673 \\
K^* &= (2.673)^2 \approx 7.14 \text{ unità di capitale}
\end{aligned}[/math]

Passo 4: Output, Ricavi e Profitto Massimo

Produzione totale: [math]Q^* = (6.86)^{0.3} \times (7.14)^{0.5} = 1.782 \times 2.673 \approx 4.76 \text{ unità}[/math]

Ricavo Totale ([math]RT[/math]): [math]120 \times 4.76 = \text{€571,20}[/math]

Costo Totale ([math]CT[/math]): [math]25(6.86) + 40(7.14) = 171.5 + 285.6 = \text{€457,10}[/math]

Profitto Massimo ([math]\pi^*[/math]): [math]571.20 – 457.10 = \text{€114,10}[/math]

Passo 5: Elasticità di sostituzione ([math]\sigma[/math])

Nelle funzioni di produzione Cobb-Douglas, l’elasticità di sostituzione è sempre costante e pari a 1 ([math]\sigma = 1[/math]). Ciò significa che una variazione percentuale nel rapporto tra i prezzi dei fattori produce una variazione percentuale di pari entità nel rapporto di impiego degli input.

💡 Osservazioni Strategiche di Business

• Impatto dei rendimenti decrescenti: Con [math]\alpha + \beta = 0.3 + 0.5 = 0.8 < 1[/math], l’azienda si trova in una fase di rendimenti di scala decrescenti. Questo garantisce l’esistenza di un punto di massimo profitto senza vincoli di capacità.
• Analisi dei margini: I costi operativi assorbono circa l’80% dei ricavi. Per ampliare la marginalità, AeroTech deve intervenire sull’efficienza tecnologica (incrementando la costante di produttività) anziché limitarsi ad aumentare l’impiego dei fattori.

❓ Mini Quiz di Riflessione

Cosa accadrebbe alla scelta di massimizzazione del profitto se la funzione avesse rendimenti di scala crescenti ([math]\alpha + \beta > 1[/math])?

Simulatore di Scelta Ottima: Il Modello Cobb-Douglas

Questo widget interattivo traduce il modello microeconomico della funzione Cobb-Douglas in uno strumento pratico di simulazione visiva. Attraverso un’interfaccia dinamica, permette di osservare in tempo reale come cambiano le decisioni ottimali al variare delle condizioni di mercato.

Spiegazione

Dal punto di vista manageriale, questo strumento rappresenta il principio fondamentale dell’allocazione efficiente di risorse scarse. Che si tratti di un direttore marketing che divide il budget tra due campagne pubblicitarie (Bene A e Bene B), o di un’azienda che analizza come i propri clienti reagiranno a un aumento di prezzo, il modello risponde alla domanda: come massimizzare il rendimento (Utilità) dato un limite di spesa (Budget)?

Ecco come interpretare le leve del simulatore in ottica di business:

• Budget: Il capitale o le risorse a disposizione. È il limite invalicabile entro cui prendere le decisioni.
• Prezzo A e Prezzo B: Il costo di acquisizione delle risorse o dei beni. Modificare questi slider simula degli shock di mercato (es. rincari delle materie prime, inflazione o sconti strategici).
• Alpha ([math]\alpha[/math]) e Beta ([math]\beta[/math]): Rappresentano le “preferenze” o l’elasticità di rendimento. In ottica aziendale, indicano quanto un fattore è strategicamente più importante o produttivo rispetto all’altro. Nel widget, la somma o il rapporto tra questi parametri guida l’inclinazione dell’investimento.

Cosa osservare nel grafico

• La linea nera (Vincolo di Bilancio): Rappresenta il campo delle possibilità. Tutti i punti su questa linea esauriscono esattamente il budget. Mostra il trade-off diretto: per avere più di A, a quanto di B devo rinunciare?
• Il punto rosso (Paniere Ottimo): È il “Santo Graal” della decisione manageriale. Indica l’esatta combinazione quantitativa dei due beni che garantisce il massimo ritorno (utilità) possibile, ottimizzando ogni singolo euro speso senza sforare il budget.

Provate il widget: Modificate il prezzo del “Bene A” e osservate come il punto di ottimo si sposta. Questa dinamica illustra l'”effetto reddito” e l'”effetto sostituzione”, concetti chiave che ogni manager deve padroneggiare per prevedere le risposte del mercato alle proprie strategie di pricing.

# ============================================================
# FUNZIONE COBB-DOUGLAS INTERATTIVA
# Compatibile con Google Colab
# ============================================================

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from ipywidgets import interact, FloatSlider

def cobb_douglas(
    budget=2000000,
    prezzo_A=200,
    prezzo_B=500,
    alpha=0.3,
    beta=0.7
):

    # Paniere ottimo
    A = alpha * budget / prezzo_A
    B = beta * budget / prezzo_B

    # Utilità
    U = (A**alpha)*(B**beta)

    print("="*55)
    print("FUNZIONE COBB-DOUGLAS")
    print("="*55)

    print(f"Budget:          € {budget:,.0f}")
    print(f"Prezzo bene A:   € {prezzo_A}")
    print(f"Prezzo bene B:   € {prezzo_B}")

    print("\nPANIERE OTTIMO")
    print(f"A* = {A:,.2f}")
    print(f"B* = {B:,.2f}")

    print(f"\nUtilità = {U:,.2f}")

    # ---------------------
    # Grafico
    # ---------------------

    xmax=max(A*1.8,100)
    ymax=max(B*1.8,100)

    x=np.linspace(1,xmax,300)

    vincolo=(budget-prezzo_A*x)/prezzo_B

    plt.figure(figsize=(7,6))

    plt.plot(x,vincolo,
             color="black",
             label="Vincolo di bilancio")

    plt.scatter(A,B,
                color="red",
                s=120,
                label="Paniere ottimo")

    plt.text(A,
             B,
             f" ({A:.0f},{B:.0f})")

    plt.xlim(0,xmax)
    plt.ylim(0,ymax)

    plt.xlabel("Bene A")
    plt.ylabel("Bene B")

    plt.grid(alpha=.3)

    plt.legend()

    plt.show()


interact(
    cobb_douglas,

    budget=FloatSlider(
        min=500000,
        max=5000000,
        step=100000,
        value=2000000),

    prezzo_A=FloatSlider(
        min=50,
        max=1000,
        step=10,
        value=200),

    prezzo_B=FloatSlider(
        min=50,
        max=1000,
        step=10,
        value=500),

    alpha=FloatSlider(
        min=0.1,
        max=0.9,
        step=0.05,
        value=0.3),

    beta=FloatSlider(
        min=0.1,
        max=0.9,
        step=0.05,
        value=0.7)
);

👉 Funzione Cobb-Douglas nella Realtà: Dalla Teoria alla Regressione Lineare in Python