Serie e integrali
Ogni serie
può essere riletta come
Viceversa, se f è di segno costante, l’integrale
può essere visto come una serie
con termine generale
C’è un caso particolarmente fortunato in cui la relazione tra serie e integrale è piuttosto stretta: quando f è una funzione monotona.
Sia f : [0; +1) → R+, una funzione non negativa monotona non crescente (decrescente in senso lato). Allora
Dimostrazione
Per la monotonia:
da cui si deduce l’asserto.
Osserviamo che, se f è una funzione localmente integrabile su [a; +1), per il criterio appena enunciato, è sufficiente che la funzione sia “definitivamente” monotona decrescente (perché?).
Esempio 1:
Esempio 2:
Esempio 3:
la funzione Gamma
Profilo storico della funzione Gamma di Eulero
La funzione Gamma nacque nel 1729 ad opera del matematico svizzero Leonhard Euler (1707-1783), allora ventiduenne. In quegli anni Christian Goldbach (1690-1764) e Daniel Bernoulli (1700-1782) si erano posti il problema di trovare una formula semplice per
esprimere il termine n-esimo della successione1, 1 · 2, 1 · 2 · 3, 1 · 2 · 3 · 4 . . . ,
analogamente a quello che era stato fatto nel caso della successione dei numeri triangolari
1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4 . . . ,
per la quale si era trovato che
Eulero riuscì a risolvere il problema, proponendo ben due soluzioni diverse. La prima prevedeva di scrivere n! come un prodotto infinito, noto come
prodotto di Eulero:
Un anno dopo Eulero comunicò la scoperta di una seconda soluzione, questa volta di tipo integrale:
Nei primi anni dell’ottocento Legendre (1752-1833) modificò questo integrale, mediante la sostituzione t = − log(y):
Rispetto all’espressione precedente l’argomento di Γ risulta traslato di 1, cioè
La funzione Gamma gode di varie proprietà, tra queste ricordiamo la relazione di ricorrenza
Torniamo a noi:
Consideriamo il seguente integrale improprio
Si può facilmente vedere che l’integrale converge se e solo se x > 0 (da controllare sia l’ intorno destro di zero, che l’intorno di +1)
Definiamo per x > 0
Integrando per parti, si può mostrare che vale la seguente relazione
[elementor-template id=”11338″]
(351)