Integrali con simmetria: quando un cambio di variabile fa quasi tutto il lavoro

Ti è mai capitato di guardare un integrale definito e avere la sensazione che, dietro una formula apparentemente complicata, ci fosse una struttura nascosta?

Quando si studia Analisi, davanti a un integrale si pensa quasi automaticamente alla ricerca di una primitiva. Si cercano sostituzioni, integrazioni per parti, identità trigonometriche e, quando nessuna strada sembra funzionare, si prova a trasformare l’espressione in qualcosa di più familiare. È un approccio naturale, ma non sempre è quello più efficace.

Negli integrali definiti esiste infatti un’altra possibilità: prima di chiedersi come calcolare una primitiva, possiamo chiederci che cosa succede all’integrando quando riflettiamo l’intervallo di integrazione.

In alcuni casi questa semplice osservazione cambia completamente il problema. Una funzione apparentemente complicata può trasformarsi nel proprio complemento e due integrali difficili da calcolare separatamente possono diventare, una volta sommati, semplicemente l’integrale della funzione costante [math]1[/math].

È uno di quei casi in cui la matematica non chiede di calcolare di più, ma di osservare meglio.

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Il problema: un integrale che sembra richiedere una sostituzione complicata

Consideriamo il seguente integrale:

[math]\displaystyle \boxed{ I= \int_0^{\pi/2} \frac{\sqrt{\sin x}} {\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} \,dx }[/math]

A prima vista non è immediato individuare una primitiva della funzione

[math]\displaystyle \frac{\sqrt{\sin x}} {\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}. [/math]

Si potrebbe tentare una sostituzione trigonometrica, oppure introdurre [math]\tan x[/math], oppure cercare di manipolare le radici. Nessuna di queste strade, però, affronta il problema nel modo più naturale.

Il risultato è sorprendentemente semplice:

[math]\displaystyle \boxed{I=\frac{\pi}{4}}. [/math]

La domanda interessante, quindi, non è soltanto come ottenere questo valore, ma perché un integrale dall’aspetto così complicato possa avere una soluzione tanto semplice.

La risposta si trova nella simmetria dell’intervallo

[math]\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right]. [/math]

La simmetria degli integrali definiti

Una proprietà fondamentale degli integrali definiti è

[math]\displaystyle \boxed{ \int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a-x)\,dx }[/math]

purché l’integrale sia ben definito.

La formula deriva semplicemente dal cambio di variabile

[math]\displaystyle u=a-x. [/math]

Infatti,

[math]\displaystyle x=a-u, \qquad dx=-du. [/math]

Quando [math]x=0[/math], abbiamo [math]u=a[/math], mentre quando [math]x=a[/math], abbiamo [math]u=0[/math]. Pertanto

[math]\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx = \int_a^0 f(a-u)(-du) = \int_0^a f(a-u)\,du. [/math]

Rinominando [math]u[/math] come [math]x[/math], otteniamo

[math]\displaystyle \boxed{ \int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a-x)\,dx. }[/math]

Geometricamente, la trasformazione

[math]\displaystyle x\longmapsto a-x [/math]

riflette l’intervallo rispetto al suo punto medio [math]a/2[/math]. Il punto [math]0[/math] viene mandato in [math]a[/math], il punto [math]a[/math] viene mandato in [math]0[/math], mentre il punto centrale rimane fisso.

Nel nostro caso l’intervallo è

[math]\displaystyle \left[0,\frac{\pi}{2}\right], [/math]

quindi la trasformazione naturale è

[math]\displaystyle \boxed{ x\longmapsto\frac{\pi}{2}-x. }[/math]

Ed è proprio qui che compare la struttura trigonometrica decisiva:

[math]\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x [/math]

e

[math]\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x. [/math]

La trasformazione non modifica semplicemente l’integrale: scambia seno e coseno.

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Risolviamo l’integrale senza trovare alcuna primitiva

Partiamo da

[math]\displaystyle I= \int_0^{\pi/2} \frac{\sqrt{\sin x}} {\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} \,dx. [/math]

Applicando la proprietà di simmetria con

[math]\displaystyle a=\frac{\pi}{2}, [/math]

possiamo scrivere

[math]\displaystyle \begin{aligned} I &= \int_0^{\pi/2} \frac{ \sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} }{ \sqrt{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} + \sqrt{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} } \,dx. \end{aligned}[/math]

Ora utilizziamo le identità

[math]\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x [/math]

e

[math]\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x. [/math]

Otteniamo quindi

[math]\displaystyle I= \int_0^{\pi/2} \frac{\sqrt{\cos x}} {\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}} \,dx. [/math]

Poiché la somma al denominatore non cambia se invertiamo l’ordine dei due termini,

[math]\displaystyle I= \int_0^{\pi/2} \frac{\sqrt{\cos x}} {\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} \,dx. [/math]

A questo punto abbiamo due rappresentazioni dello stesso numero:

[math]\displaystyle I= \int_0^{\pi/2} \frac{\sqrt{\sin x}} {\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} \,dx [/math]

e

[math]\displaystyle I= \int_0^{\pi/2} \frac{\sqrt{\cos x}} {\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} \,dx. [/math]

Possiamo quindi sommare membro a membro:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2I &= \int_0^{\pi/2} \left[ \frac{\sqrt{\sin x}} {\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} \right. \\ &{} \quad \left. + \frac{\sqrt{\cos x}} {\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} \right]dx. \end{aligned}[/math]

I due termini hanno lo stesso denominatore e i numeratori si sommano esattamente formando il denominatore:

[math]\displaystyle 2I= \int_0^{\pi/2} \frac{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} {\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} \,dx. [/math]

Per ogni

[math]\displaystyle x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] [/math]

abbiamo

[math]\displaystyle \sin x\geq0, \qquad \cos x\geq0, [/math]

e seno e coseno non possono annullarsi contemporaneamente. Di conseguenza

[math]\displaystyle \sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}>0 [/math]

su tutto l’intervallo, per cui il rapporto è semplicemente [math]1[/math].

Abbiamo dunque

[math]\displaystyle 2I= \int_0^{\pi/2}1\,dx = \frac{\pi}{2}. [/math]

Dividendo per [math]2[/math],

[math]\displaystyle \boxed{ I=\frac{\pi}{4}. }[/math]

La cosa più interessante è che non abbiamo mai calcolato una primitiva.

L’idea da ricordare

Il vero cuore dell’esercizio non è l’identità trigonometrica in sé, ma la relazione

[math]\displaystyle \boxed{ f(x)+f(a-x)=C. }[/math]

Se una funzione integrabile su [math][0,a][/math] soddisfa questa relazione, allora possiamo applicare la simmetria dell’intervallo:

[math]\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a f(a-x)\,dx. [/math]

Sommando le due espressioni otteniamo

[math]\displaystyle 2\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a \left[f(x)+f(a-x)\right]dx. [/math]

Poiché la somma è costante,

[math]\displaystyle 2\int_0^a f(x)\,dx = \int_0^a C\,dx = Ca. [/math]

Pertanto

[math]\displaystyle \boxed{ \int_0^a f(x)\,dx = \frac{Ca}{2}. }[/math]

Questa formula è una delle conseguenze più utili da portare con sé dopo questo esercizio.

Nel problema iniziale abbiamo

[math]\displaystyle a=\frac{\pi}{2} [/math]

e

[math]\displaystyle C=1, [/math]

perciò

[math]\displaystyle I= \frac{1}{2}\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}. [/math]

La tecnica non dipende quindi dalle radici quadrate e nemmeno, in realtà, dalla trigonometria. La trigonometria ci permette semplicemente di riconoscere la simmetria.

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Una forma ancora più generale

Esiste una struttura ancora più interessante.

Supponiamo di avere una funzione [math]g[/math] tale che il denominatore sia positivo e consideriamo

[math]\displaystyle f(x)= \frac{g(x)} {g(x)+g(a-x)}. [/math]

Se sostituiamo [math]x[/math] con [math]a-x[/math], otteniamo

[math]\displaystyle f(a-x) = \frac{g(a-x)} {g(a-x)+g(x)}. [/math]

I due denominatori sono uguali, mentre i numeratori sono complementari. Di conseguenza

[math]\displaystyle f(x)+f(a-x)=1. [/math]

Pertanto

[math]\displaystyle \boxed{ \int_0^a \frac{g(x)} {g(x)+g(a-x)} \,dx = \frac{a}{2}. }[/math]

Questa formula contiene il problema iniziale come caso particolare.

Infatti, scegliendo

[math]\displaystyle a=\frac{\pi}{2} [/math]

e

[math]\displaystyle g(x)=\sqrt{\sin x}, [/math]

abbiamo

[math]\displaystyle g\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sqrt{\cos x} [/math]

e ritroviamo esattamente l’integrale di partenza.

Questo è il passaggio importante: non abbiamo imparato soltanto a risolvere un integrale, ma a riconoscere una famiglia intera di integrali che possono essere risolti con la stessa idea.

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Prima di continuare: prova a prevedere il risultato

La struttura appena vista permette di fare una previsione prima ancora di eseguire il calcolo.

Consideriamo

[math]\displaystyle I_p= \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^p x} {\sin^p x+\cos^p x} \,dx, \qquad p>0. [/math]

Secondo te, il risultato dipenderà dal valore di [math]p[/math]?

Potrebbe sembrare plausibile, perché cambiando [math]p[/math] cambiamo completamente la forma dell’integrando. In realtà accade qualcosa di molto più interessante.

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Un percorso in cinque passi

1. Generalizzazione con una potenza

Calcoliamo

[math]\displaystyle \boxed{ I_p= \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^p x} {\sin^p x+\cos^p x} \,dx, \qquad p>0. }[/math]

Applichiamo la trasformazione

[math]\displaystyle x\longmapsto\frac{\pi}{2}-x. [/math]

Seno e coseno si scambiano, per cui

[math]\displaystyle I_p= \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^p x} {\cos^p x+\sin^p x} \,dx. [/math]

Sommiamo questa espressione a quella originale:

[math]\displaystyle \begin{aligned} 2I_p &= \int_0^{\pi/2} \left[ \frac{\sin^p x} {\sin^p x+\cos^p x} \right. \\ &{} \quad \left. + \frac{\cos^p x} {\sin^p x+\cos^p x} \right]dx \\ &= \int_0^{\pi/2}1\,dx \\ &= \frac{\pi}{2}. \end{aligned}[/math]

Quindi

[math]\displaystyle \boxed{ I_p=\frac{\pi}{4}, \qquad p>0. }[/math]

Il risultato non dipende affatto da [math]p[/math].

Possiamo quindi affermare, per esempio, che

[math]\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{10}x} {\sin^{10}x+\cos^{10}x} \,dx = \frac{\pi}{4}. [/math]

Non è necessario sviluppare le potenze, cercare una primitiva o utilizzare particolari formule trigonometriche: la struttura dell’integrando contiene già tutto ciò che serve.

2. Quando la simmetria non basta

Non tutti gli integrali simmetrici si comportano nello stesso modo. In alcuni casi la trasformazione

[math]\displaystyle x\longmapsto\frac{\pi}{2}-x [/math]

non produce due funzioni complementari, ma rivela comunque una struttura utile.

Consideriamo

[math]\displaystyle \boxed{ I= \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sin x+\cos x}. }[/math]

In questo caso

[math]\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x+\sin x, [/math]

perciò l’integrando rimane invariato.

La simmetria, dunque, non ci consegna immediatamente il valore dell’integrale. Ci suggerisce però che il punto centrale

[math]\displaystyle x=\frac{\pi}{4} [/math]

ha un ruolo naturale.

Possiamo infatti riscrivere il denominatore utilizzando

[math]\displaystyle \sin x+\cos x = \sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right). [/math]

L’integrale diventa

[math]\displaystyle I= \frac{1}{\sqrt2} \int_0^{\pi/2} \sec\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\,dx. [/math]

Poniamo

[math]\displaystyle u=x-\frac{\pi}{4}. [/math]

Gli estremi diventano

[math]\displaystyle x=0 \quad\Longrightarrow\quad u=-\frac{\pi}{4}, [/math]

e

[math]\displaystyle x=\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad u=\frac{\pi}{4}. [/math]

Otteniamo quindi

[math]\displaystyle I= \frac{1}{\sqrt2} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sec u\,du. [/math]

Ora possiamo utilizzare

[math]\displaystyle \int\sec u\,du = \ln|\sec u+\tan u|+C. [/math]

Pertanto

[math]\displaystyle I= \frac{1}{\sqrt2} \left[ \ln(\sec u+\tan u) \right]_{-\pi/4}^{\pi/4}. [/math]

Poiché

[math]\displaystyle \sec\frac{\pi}{4}=\sqrt2, \qquad \tan\frac{\pi}{4}=1, [/math]

abbiamo

[math]\displaystyle \sec\frac{\pi}{4}+\tan\frac{\pi}{4} = \sqrt2+1. [/math]

All’altro estremo,

[math]\displaystyle \sec\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2, \qquad \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1, [/math]

e quindi

[math]\displaystyle \sec\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt2-1. [/math]

Segue

[math]\displaystyle I= \frac1{\sqrt2} \ln\left( \frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1} \right). [/math]

Poiché

[math]\displaystyle \frac1{\sqrt2-1}=\sqrt2+1, [/math]

otteniamo

[math]\displaystyle \frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1} = (\sqrt2+1)^2. [/math]

Quindi

[math]\displaystyle I= \frac1{\sqrt2} \ln(\sqrt2+1)^2 [/math]

e infine

[math]\displaystyle \boxed{ I=\sqrt2\ln(1+\sqrt2). }[/math]

Questo esempio introduce una distinzione importante: la simmetria non serve sempre a eliminare il calcolo; a volte serve a dirci quale calcolo è più naturale.

3. Quando la simmetria è nascosta nei prodotti

Consideriamo ora, per [math]a,b>0[/math],

[math]\displaystyle \boxed{ I= \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^a x\,\cos^b x} {\sin^a x\,\cos^b x+\sin^b x\,\cos^a x} \,dx. }[/math]

A prima vista la struttura sembra più complessa rispetto all’esercizio precedente. Tuttavia, la trasformazione

[math]\displaystyle x\longmapsto\frac{\pi}{2}-x [/math]

continua a svolgere esattamente lo stesso ruolo.

Infatti seno e coseno si scambiano e otteniamo

[math]\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \frac{\cos^a x\,\sin^b x} {\cos^a x\,\sin^b x+\cos^b x\,\sin^a x}. [/math]

Riordinando i fattori,

[math]\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \frac{\sin^b x\,\cos^a x} {\sin^b x\,\cos^a x+\sin^a x\,\cos^b x}. [/math]

Il denominatore è esattamente lo stesso dell’integrando iniziale, mentre il numeratore è l’altro termine del denominatore.

Di conseguenza,

[math]\displaystyle f(x)+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1. [/math]

Possiamo quindi applicare direttamente la regola generale:

[math]\displaystyle 2I= \int_0^{\pi/2}1\,dx = \frac{\pi}{2}. [/math]

Pertanto

[math]\displaystyle \boxed{ I=\frac{\pi}{4}. }[/math]

La difficoltà di questo esercizio non sta nel calcolo, ma nel riconoscimento della struttura. La trasformazione complementare non agisce soltanto su seno e coseno: scambia due interi prodotti che occupano posizioni complementari nella frazione.

È questo tipo di riconoscimento che rende la tecnica davvero potente.

4. Quando compare la funzione Beta

Finora abbiamo sfruttato direttamente la simmetria dell’intervallo. Adesso facciamo un passo ulteriore e utilizziamo una famiglia di integrali trigonometrici per entrare in una teoria più ampia: quella delle funzioni Beta e Gamma.

Consideriamo

[math]\displaystyle \boxed{ I= \int_0^{\pi/2} \sin^{5/2}x\,\cos^{3/2}x\,dx. }[/math]

In questo caso la semplice simmetria non è sufficiente, perché gli esponenti di seno e coseno sono differenti. Per risolvere l’integrale possiamo utilizzare la formula

[math]\displaystyle \boxed{ \int_0^{\pi/2} \sin^m x\,\cos^n x\,dx = \frac12 B\left( \frac{m+1}{2}, \frac{n+1}{2} \right) }[/math]

valida per

[math]\displaystyle m,n>-1. [/math]

La funzione Beta è definita attraverso la funzione Gamma dalla relazione

[math]\displaystyle B(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)} {\Gamma(p+q)}. [/math]

Nel nostro caso

[math]\displaystyle m=\frac52, \qquad n=\frac32. [/math]

Pertanto

[math]\displaystyle I= \frac12 B\left(\frac74,\frac54\right). [/math]

Utilizzando la relazione Beta-Gamma,

[math]\displaystyle I= \frac12 \frac{ \Gamma(7/4)\Gamma(5/4) }{ \Gamma(3) }. [/math]

Poiché

[math]\displaystyle \Gamma(3)=2, [/math]

abbiamo

[math]\displaystyle I= \frac14 \Gamma\left(\frac74\right) \Gamma\left(\frac54\right). [/math]

Ora utilizziamo la relazione ricorsiva

[math]\displaystyle \Gamma(z+1)=z\Gamma(z). [/math]

Otteniamo

[math]\displaystyle \Gamma\left(\frac74\right) = \frac34 \Gamma\left(\frac34\right) [/math]

e

[math]\displaystyle \Gamma\left(\frac54\right) = \frac14 \Gamma\left(\frac14\right). [/math]

Quindi

[math]\displaystyle I= \frac14 \cdot \frac34 \cdot \frac14 \Gamma\left(\frac34\right) \Gamma\left(\frac14\right). [/math]

Pertanto

[math]\displaystyle I= \frac{3}{64} \Gamma\left(\frac34\right) \Gamma\left(\frac14\right). [/math]

A questo punto entra in gioco la formula di riflessione di Eulero:

[math]\displaystyle \Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}. [/math]

Ponendo

[math]\displaystyle z=\frac14, [/math]

otteniamo

[math]\displaystyle \Gamma\left(\frac14\right) \Gamma\left(\frac34\right) = \frac{\pi}{\sin(\pi/4)}. [/math]

Poiché

[math]\displaystyle \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2}, [/math]

segue

[math]\displaystyle \Gamma\left(\frac14\right) \Gamma\left(\frac34\right) = \pi\sqrt2. [/math]

Di conseguenza,

[math]\displaystyle I= \frac{3}{64}\pi\sqrt2. [/math]

Il risultato è quindi

[math]\displaystyle \boxed{ I=\frac{3\pi\sqrt2}{64}. }[/math]

Questo esercizio mostra come, partendo da una famiglia di integrali trigonometrici apparentemente elementari, si possa arrivare alla teoria delle funzioni speciali. La simmetria non è più sufficiente per determinare il risultato, ma il problema conserva la stessa caratteristica fondamentale: la struttura dell’integrale deve essere riconosciuta prima di scegliere lo strumento di calcolo.

5. Dalla funzione Beta a un integrale improprio

L’ultimo esercizio porta questa idea ancora più lontano.

Consideriamo, per [math]a>1[/math],

[math]\displaystyle \boxed{ I(a)= \int_0^{+\infty} \frac{dx}{1+x^a}. }[/math]

Prima di calcolare l’integrale dobbiamo capire perché la condizione

[math]\displaystyle a>1 [/math]

sia necessaria.

Per [math]x\to+\infty[/math],

[math]\displaystyle \frac{1}{1+x^a} \sim \frac{1}{x^a}. [/math]

Il comportamento dell’integrale all’infinito è quindi confrontabile con quello di

[math]\displaystyle \int_1^\infty\frac{dx}{x^a}, [/math]

che converge precisamente quando

[math]\displaystyle a>1. [/math]

La condizione non è quindi un dettaglio tecnico, ma una parte essenziale del problema.

Ora poniamo

[math]\displaystyle t=x^a. [/math]

Abbiamo

[math]\displaystyle x=t^{1/a} [/math]

e quindi

[math]\displaystyle dx= \frac1a t^{1/a-1}\,dt. [/math]

L’integrale diventa

[math]\displaystyle I(a) = \frac1a \int_0^\infty \frac{t^{1/a-1}} {1+t} \,dt. [/math]

A questo punto utilizziamo la relazione

[math]\displaystyle \int_0^\infty \frac{t^{p-1}}{1+t}\,dt = B(p,1-p), \qquad 0<p<1. [/math]

Poniamo

[math]\displaystyle p=\frac1a. [/math]

La condizione

[math]\displaystyle 0<\frac1a<1 [/math]

è proprio equivalente a

[math]\displaystyle a>1, [/math]

cioè alla condizione di convergenza individuata all’inizio.

Abbiamo quindi

[math]\displaystyle I(a) = \frac1a B\left( \frac1a, 1-\frac1a \right). [/math]

Applicando la relazione tra Beta e Gamma,

[math]\displaystyle I(a) = \frac1a \Gamma\left(\frac1a\right) \Gamma\left(1-\frac1a\right). [/math]

Ancora una volta utilizziamo la formula di riflessione di Eulero:

[math]\displaystyle \Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}. [/math]

Ponendo

[math]\displaystyle z=\frac1a, [/math]

otteniamo

[math]\displaystyle \Gamma\left(\frac1a\right) \Gamma\left(1-\frac1a\right) = \frac{\pi}{\sin(\pi/a)}. [/math]

Di conseguenza,

[math]\displaystyle \boxed{ I(a) = \frac{\pi} {a\sin(\pi/a)} }[/math]

oppure, utilizzando la funzione cosecante,

[math]\displaystyle \boxed{ \displaystyle \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^a} = \frac{\pi}{a} \csc\left(\frac{\pi}{a}\right), \qquad a>1. }[/math]

Possiamo controllare il risultato scegliendo il caso particolare [math]a=2[/math]:

[math]\displaystyle I(2) = \frac{\pi} {2\sin(\pi/2)} = \frac{\pi}{2}. [/math]

Questo coincide con il risultato noto

[math]\displaystyle \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} = [\arctan x]_0^\infty = \frac{\pi}{2}. [/math]

Il caso elementare conferma quindi la formula generale.

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Un percorso dalla simmetria alle funzioni speciali

I cinque esercizi non sono semplicemente una raccolta di integrali di difficoltà crescente. Possono essere letti come un piccolo percorso attraverso diversi modi di ragionare sugli integrali.

Nel primo caso,

[math]\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{\sqrt{\sin x}} {\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} \,dx = \frac{\pi}{4}, [/math]

la simmetria dell’intervallo risolve praticamente tutto.

Nel secondo caso,

[math]\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^p x} {\sin^p x+\cos^p x} \,dx = \frac{\pi}{4}, [/math]

scopriamo che la stessa idea vale per un’intera famiglia di funzioni e che il parametro [math]p[/math] non modifica il risultato.

Nel terzo caso,

[math]\displaystyle \frac{\sin^a x\cos^b x} {\sin^a x\cos^b x+\sin^b x\cos^a x}, [/math]

la simmetria diventa più nascosta e deve essere riconosciuta all’interno di prodotti e potenze.

Nel quarto caso entriamo nella teoria delle funzioni Beta e Gamma, perché la simmetria da sola non è più sufficiente per determinare il valore dell’integrale.

Nel quinto caso arriviamo infine all’integrale improprio

[math]\displaystyle \int_0^\infty\frac{dx}{1+x^a}, [/math]

che conduce alla formula

[math]\displaystyle \boxed{ \frac{\pi}{a\sin(\pi/a)} }[/math]

e mostra come una tecnica apparentemente elementare possa diventare il punto di partenza per risultati molto più generali.

Il percorso può essere riassunto così:

[math]\displaystyle \boxed{ \text{simmetria} \longrightarrow \text{generalizzazione} \longrightarrow \text{struttura} \longrightarrow \text{Beta e Gamma} \longrightarrow \text{Analisi avanzata} }[/math]

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