Integrali Indefiniti: Esercizi Svolti Passo Passo (Dalle Potenze ai Fratti Semplici)

⚡ Come riconoscere il metodo giusto (in 30 secondi)

Davanti a un integrale, il segreto non è iniziare a scrivere, ma osservare. Ecco la bussola per non perdere tempo:

• Vedi solo potenze o radici? [math]\rightarrow[/math] Vai di Formula Base (trasforma tutto in [math]x^n[/math]).
• Il numeratore è “quasi” la derivata del denominatore? [math]\rightarrow[/math] La strada è il Logaritmo ([math]\ln|f(x)|[/math]).
• Vedi un prodotto tra funzioni diverse (es. [math]x \cdot \sin x[/math])? [math]\rightarrow[/math] Applica l’integrazione Per Parti.
• C’è una funzione trigonometrica con esponente dispari? [math]\rightarrow[/math] Scomponi e usa la sostituzione.
• È una frazione con un polinomio al denominatore? [math]\rightarrow[/math] Fratti Semplici (scomponi il denominatore).

📐 Esercizio 1 – Potenze e costanti (facile)

 Testo

Calcola l’integrale indefinito:

[math]\int \left( 4 \sqrt[3]{x^2} – \frac{6}{x^3} + 3 \right) dx[/math]

Svolgimento

1. Riscriviamo i termini con esponenti razionali

Ricordiamo che:

[math]\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}[/math]

[math]\frac{1}{x^3} = x^{-3}[/math]

Quindi l’integrale diventa:

[math]\int (4x^{2/3} – 6x^{-3} + 3) dx[/math]

2. Usiamo la linearità dell’integrale

L’integrale di una somma è la somma degli integrali, e le costanti moltiplicative si portano fuori:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
& = 4 \int x^{2/3} dx – 6 \int x^{-3} dx \\
& {} \quad + 3 \int dx
\end{aligned}[/math]

3. Applichiamo la regola della potenza (per [math]n \neq -1[/math])

La regola generale è:

[math]\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C[/math]

Calcolo per i singoli termini:

• Per [math]n = 2/3[/math]:[math]\displaystyle \begin{aligned}
  \int x^{2/3} dx &= \frac{x^{2/3 + 1}}{2/3 + 1} = \frac{x^{5/3}}{5/3} \\
  &= \frac{3}{5} x^{5/3}
  \end{aligned}[/math]
• Per [math]n = -3[/math]:[math]\displaystyle \begin{aligned}
  \int x^{-3} dx &= \frac{x^{-3 + 1}}{-3 + 1} = \frac{x^{-2}}{-2} \\
  &= -\frac{1}{2} x^{-2}
  \end{aligned}[/math]
• Per la costante 1 ([math]n = 0[/math]):[math]\int dx = x[/math]

4. Sostituiamo i risultati parziali

[math]\displaystyle \begin{aligned}
& 4 \cdot \left( \frac{3}{5} x^{5/3} \right) – 6 \cdot \left( -\frac{1}{2} x^{-2} \right) \\
& {} \quad + 3x + C
\end{aligned}[/math]

Semplificando i coefficienti:

[math]\frac{12}{5} x^{5/3} + 3x^{-2} + 3x + C[/math]

5. Riscriviamo in forma radicale (opzionale)

[math]\frac{12}{5} \sqrt[3]{x^5} + \frac{3}{x^2} + 3x + C[/math]

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❓ Domanda di riflessione

Quale proprietà degli integrali abbiamo usato per separare l’integrale di una somma in somma di integrali?

📐 Esercizio 2 – Sostituzione lineare (facile/medio)

 Testo

Determina:

[math]\int e^{3x-2} \, dx[/math]

Svolgimento

1. Riconosciamo una composizione

L’argomento dell’esponenziale è una funzione lineare [math]3x-2[/math].

Proviamo la sostituzione:

[math]u = 3x – 2[/math]

2. Differenziale

Calcoliamo il differenziale di [math]u[/math] rispetto a x:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
& du = 3 \, dx \\
& \text{da cui ricaviamo: } dx = \frac{du}{3}
\end{aligned}[/math]

3. Sostituiamo nell’integrale

Sostituendo [math]u[/math] e [math]dx[/math] nell’integrale originale otteniamo:

[math]\int e^u \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int e^u \, du[/math]

4. Integriamo

Poiché l’integrale di [math]e^u[/math] è [math]e^u + C[/math], abbiamo:

[math]\frac{1}{3} e^u + C[/math]

5. Torniamo alla variabile [math]x[/math]

Sostituiamo nuovamente [math]u[/math] con l’espressione originale [math]3x – 2[/math]:

[math]\frac{1}{3} e^{3x-2} + C[/math]

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❓ Domanda di riflessione

Cosa cambierebbe se l’esponente fosse [math]-3x+4[/math] invece di [math]3x-2[/math]? E se la derivata dell’argomento non fosse costante?

📐 Esercizio 3 – Sostituzione con derivata quasi presente (medio)

Testo

Calcola:

[math]\int \frac{2x+1}{x^2+x+3} \, dx[/math]

 Svolgimento

1. Osserviamo il denominatore

Sia [math]D(x) = x^2+x+3[/math]. Calcoliamo la sua derivata:

[math]D'(x) = 2x+1[/math]

Notiamo che la derivata del denominatore coincide esattamente con il numeratore!

2. Strategia

Quando l’integrando è nella forma [math]\frac{f'(x)}{f(x)}[/math], l’integrale è immediato e risulta essere [math]\ln|f(x)| + C[/math].

Per vederlo con la sostituzione, poniamo:

[math]u = x^2+x+3[/math]

[math]du = (2x+1) \, dx[/math]

3. Sostituzione

Sostituendo nell’integrale originale:

[math]\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C[/math]

4. Risultato

Tornando alla variabile x:

[math]\ln|x^2+x+3| + C[/math]

Nota: Il trinomio [math]x^2+x+3[/math] ha discriminante [math]\Delta = 1^2 – 4(1)(3) = -11 < 0[/math]. Essendo il coefficiente di [math]x^2[/math] positivo, la parabola è sempre sopra l’asse delle ascisse. Il valore assoluto può quindi essere rimosso: [math]\ln(x^2+x+3) + C[/math].

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❓ Domanda di riflessione

Come modificheresti l’integrale se il numeratore fosse solo 2x (senza +1)? Prova a scomporre la frazione.

📐 Esercizio 4 – Integrazione per parti (medio)

 Testo

Risolvi:

[math]\int x \cdot \cos(2x) \, dx[/math]

Svolgimento

1. Scegliamo le parti

Utilizziamo la formula di integrazione per parti:

[math]\int u \, dv = uv – \int v \, du[/math]

Per semplificare l’integrale, scegliamo come u la funzione che derivando si semplifica (il polinomio):

• [math]u = x[/math]
• [math]dv = \cos(2x) \, dx[/math]

2. Calcoliamo du e v

• [math]du = dx[/math] (derivata di [math]x[/math])
• [math]v = \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x)[/math] (integrale immediato con sostituzione lineare)

3. Applichiamo la formula

Sostituiamo i valori nella formula [math]uv – \int v \, du[/math]:

[math]\int x \cos(2x) \, dx = x \cdot \frac{1}{2} \sin(2x) – \int \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx[/math]

4. Semplifichiamo e integriamo il nuovo integrale

Portiamo fuori la costante [math]1/2[/math]:

[math]\frac{x}{2} \sin(2x) – \frac{1}{2} \int \sin(2x) \, dx[/math]

Sappiamo che:

[math]\int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x)[/math]

Quindi il calcolo finale diventa:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
& \frac{x}{2} \sin(2x) – \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \cos(2x) \right) + C \\
& = \frac{x}{2} \sin(2x) + \frac{1}{4} \cos(2x) + C
\end{aligned}[/math]

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❓ Domanda di riflessione

Quale criterio hai usato per scegliere u e dv? Cosa sarebbe successo se avessi scelto u = cos(2x) e dv = x dx?

📐 Esercizio 5 – Integrale trigonometrico con potenze (medio-difficile)

 Testo

Calcola:

[math]\int \sin^3 x \cos^2 x \, dx[/math]

Svolgimento

1. Strategia

Quando abbiamo potenze dispari di seno (o coseno), la tecnica migliore consiste nel separare un fattore da utilizzare per il differenziale e trasformare il resto usando l’identità fondamentale [math]\sin^2 x = 1 – \cos^2 x[/math].

Scomponiamo il termine al cubo:

[math]\sin^3 x = \sin^2 x \cdot \sin x = (1 – \cos^2 x) \sin x[/math]

L’integrale diventa:

[math]\int (1 – \cos^2 x) \cos^2 x \cdot \sin x \, dx[/math]

Moltiplicando i termini all’interno della parentesi:

[math]\int (\cos^2 x – \cos^4 x) \sin x \, dx[/math]

2. Sostituzione

Scegliamo la funzione la cui derivata (a meno del segno) è presente nell’integrale:

[math]u = \cos x[/math]

[math]du = -\sin x \, dx \implies \sin x \, dx = -du[/math]

3. Sostituiamo nell’integrale

Portiamo il segno meno fuori dal simbolo di integrale:

[math]\int (u^2 – u^4) \cdot (-du) = -\int (u^2 – u^4) \, du[/math]

Distribuendo il segno meno invertiamo i termini:

[math]\int (u^4 – u^2) \, du[/math]

4. Integriamo in [math]u[/math]

Applichiamo la regola della potenza per ogni addendo:

[math]\frac{u^5}{5} – \frac{u^3}{3} + C[/math]

5. Torniamo alla variabile [math]x[/math]

Sostituiamo nuovamente u con cos x per ottenere la soluzione finale:

[math]\frac{\cos^5 x}{5} – \frac{\cos^3 x}{3} + C[/math]

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❓ Domanda di riflessione

Cosa faresti se l’integrale fosse [math]\int \sin^2 x \cos^4 x \, dx[/math] (entrambi pari)?

📐 Esercizio 6 – Frazioni razionali con denominatore fattorizzabile (difficile)

Testo

Integra:

[math]\int \frac{x^2+2x+3}{x^3+2x^2+x} \, dx[/math]

Svolgimento

1. Fattorizziamo il denominatore

Per prima cosa, raccogliamo x e riconosciamo il quadrato di un binomio:

[math]x^3+2x^2+x = x(x^2+2x+1) = x(x+1)^2[/math]

L’integrando può quindi essere riscritto come:

[math]\frac{x^2+2x+3}{x(x+1)^2}[/math]

2. Scomposizione in fratti semplici

Poiché il denominatore presenta una radice reale semplice ([math]x=0[/math]) e una radice reale con molteplicità 2 ([math]x=-1[/math]), cerchiamo i coefficienti A, B, C tali che:

[math]\frac{x^2+2x+3}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}[/math]

3. Troviamo i coefficienti

Moltiplichiamo tutto per il minimo comune multiplo [math]x(x+1)^2[/math]:

[math]x^2+2x+3 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx[/math]

Sviluppiamo e raggruppiamo i termini per potenza di x:

[math]\displaystyle \begin{aligned}
x^2+2x+3 &= A(x^2+2x+1) + B(x^2+x) + Cx \\
&= (A+B)x^2 + (2A+B+C)x + A
\end{aligned}[/math]

Confrontiamo ora i coefficienti con il numeratore originale [math]x^2+2x+3[/math]:

[math]\displaystyle \begin{cases} A+B=1 \\ 2A+B+C=2 \\ A=3 \end{cases}[/math]

Dalla terza equazione abbiamo A = 3. Sostituiamo nella prima:

[math]3+B=1 \implies B=-2[/math]

Sostituiamo A e B nella seconda per trovare C:

[math]2(3)+(-2)+C=2 \implies 6-2+C=2 \implies C=-2[/math]

4. Riscriviamo l’integrale

L’integrale originale si scompone in tre parti più semplici:

[math]\int \left( \frac{3}{x} – \frac{2}{x+1} – \frac{2}{(x+1)^2} \right) dx[/math]

5. Integriamo termine per termine

• [math]\int \frac{3}{x} \, dx = 3 \ln|x|[/math]
• [math]\int -\frac{2}{x+1} \, dx = -2 \ln|x+1|[/math]
• Per l’ultimo termine, usiamo la regola della potenza ([math]n=-2[/math]):[math]\displaystyle \begin{aligned}
  -2 \int (x+1)^{-2} dx &= -2 \cdot \frac{(x+1)^{-1}}{-1} \\
  &= \frac{2}{x+1}
  \end{aligned}[/math]

6. Risultato finale

[math]3 \ln|x| – 2 \ln|x+1| + \frac{2}{x+1} + C[/math]

Utilizzando le proprietà dei logaritmi, possiamo anche scriverlo come:

[math]\ln \left| \frac{x^3}{(x+1)^2} \right| + \frac{2}{x+1} + C[/math]

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❓ Domanda di riflessione

Perché non abbiamo un termine del tipo [math]\frac{Cx+D}{x^2+…}[/math]? Cosa cambierebbe se il denominatore avesse un fattore quadratico irriducibile (es. [math]x^2+1[/math])?

⚠️ Errori tipici: dove cadono gli studenti?

Anche se conosci le formule, il diavolo si nasconde nei dettagli algebrici. Ecco i “tranelli” più frequenti riscontrati durante la correzione dei compiti d’esame.

1. Errori di “Traduzione” Algebrica

Molti errori nascono prima ancora di iniziare a integrare, nel passaggio dalle radici alle potenze:

• Confondere [math]\frac{1}{x^3}[/math] con [math]x^3[/math]:
  Ricorda che un termine al denominatore ha esponente negativo. Quindi:[math]\int \frac{1}{x^3} \, dx = \int x^{-3} \, dx[/math]Scriverlo erroneamente come [math]x^3[/math] porterà a un risultato completamente errato ([math]x^4/4[/math] invece di [math]-1/2x^2[/math]).
• Gestione dei radicali: Confondere l’indice della radice con l’esponente. Ricorda la regola aurea:[math]\sqrt[indice]{x^{esponente}} = x^{\frac{esponente}{indice}}[/math]

2. Il Differenziale “Fantasma” nella Sostituzione

L’errore più grave nella sostituzione è cambiare la variabile x in u dimenticandosi di calcolare il du.

Esempio: In [math]\int e^{3x-2} \, dx[/math], molti scrivono direttamente [math]e^u[/math]. Ma dx non è uguale a du, bensì a [math]\frac{du}{3}[/math].

Conseguenza: Dimenticare il differenziale significa perdere per strada costanti moltiplicative che cambiano totalmente il valore numerico del risultato (nell’esempio, mancherebbe il fattore [math]1/3[/math]).

3. Scelta errata della gerarchia nell’integrazione per parti

Scegliere male chi derivare (u) e chi integrare (dv) è il modo più veloce per complicarsi la vita.

• L’errore: Scegliere come dv una funzione di cui non conosciamo l’integrale immediato (es. [math]dv = \ln x \, dx[/math]) o scegliere come u una funzione che aumenta di grado se derivata.
• Il campanello d’allarme: Se dopo il primo passaggio l’integrale risultante [math]\int v \, du[/math] sembra più complicato di quello di partenza, fermati: probabilmente hai invertito u e dv.

4. La costante d’integrazione [math]+ C[/math]

Sembra una banalità, ma dimenticare la costante + C in un integrale indefinito è un errore concettuale.

Perché è importante: L’integrale indefinito non rappresenta una singola funzione, ma una famiglia di funzioni. Senza la C, la risposta è incompleta perché ne stai indicando solo una (quella che passa per l’origine).

5. Il valore assoluto nel Logaritmo

Quando integri [math]\int \frac{1}{x} \, dx[/math], il risultato è [math]\ln|x| + C[/math], non semplicemente [math]\ln(x)[/math].

Il rischio: Senza il valore assoluto, la funzione primitiva sarebbe definita solo per [math]x > 0[/math], mentre l’integrale originale esiste anche per valori negativi. L’unica eccezione (come visto nell’Esercizio 3) è quando l’argomento è dimostrato essere sempre positivo (es. [math]x^2+1[/math]).

💡 Commento Applicativo

In questa sezione analizziamo le peculiarità didattiche e le applicazioni reali di ciascun metodo di integrazione affrontato negli esercizi.

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 Esercizio 1 (Potenze e radici)

• È un test di algebra “travestito” da analisi. L’errore più comune qui non è l’integrale in sé, ma il calcolo delle frazioni agli esponenti e la gestione dei segni.
• Applicazione: La regola della potenza è la base per calcolare il centro di massa di oggetti geometrici semplici o per ricavare la legge oraria di un corpo conoscendone l’accelerazione.

 Esercizio 2 (Sostituzione lineare)

• Insegna una “scorciatoia di sopravvivenza”. Riconoscere che l’argomento è una retta ([math]ax+b[/math]) permette di risparmiare minuti preziosi all’esame saltando la sostituzione formale.
• Applicazione: Queste forme esponenziali compaiono continuamente nello studio della scarica dei condensatori nei circuiti RC o nei modelli di decadimento radioattivo in fisica.

 Esercizio 3 (Numeratore = Derivata del denominatore)

• Allena “l’occhio clinico”. Insegna allo studente a scansionare sempre numeratore e denominatore prima di lanciarsi in calcoli complessi (come i fratti semplici).
• Applicazione: Fondamentale in ingegneria per la risoluzione di equazioni differenziali del primo ordine e nello studio dei sistemi termodinamici.

 Esercizio 4 (Per parti con LIATE)

• Mostra l’importanza strategica della scelta iniziale. Un passo falso (scegliere [math]dv = x \, dx[/math]) trasforma un esercizio risolvibile in un vicolo cieco.
• Applicazione: È il pane quotidiano per l’analisi dei segnali. Qualsiasi calcolo relativo alle serie di Fourier o all’elaborazione audio richiede l’integrazione del prodotto tra un segnale e una sinusoide.

 Esercizio 5 (Potenze trigonometriche dispari)

• È un “puzzle” matematico. Insegna la tecnica dello spacchettamento: isolare un singolo termine ([math]\sin x[/math]) per “costruire” il differenziale perfetto per il resto dell’equazione.
• Applicazione: Calcoli legati all’energia nei circuiti a corrente alternata (AC) e nello studio della propagazione delle onde elettromagnetiche.

 Esercizio 6 (Fratti semplici con molteplicità)

• Richiede un metodo rigoroso. Dimostra come una funzione razionale complessa e “illeggibile” possa essere “smontata” in mattoncini base facilmente integrabili.
• Applicazione: È il passaggio matematico obbligato per applicare l’antitrasformata di Laplace, tecnica essenziale nell’ingegneria dei controlli (es. per stabilizzare il volo di un drone o un braccio robotico).

 

Approfondisci:

👉 Tabella degli integrali

👉 Integrazione per parti: teoria ed esempi

👉 Integrazione per parti: esercizi svolti

👉Integrazione per parti: esercizio svolto riepilogativo

👉 Metodi di integrazione spiegati facilmente (esercizi passo-passo)