Integrazione per parti: Esercizio svolto riepilogativo

INTEGRAZIONE PER PARTI

Siano f e g due funzioni derivabili su I.

Se f ‘(x)g(x) è integrabile su I, allora lo è anche f(x)g ‘(x) e

Tale formula di integrazione la si usa solitamente quando l’integranda è data o da un’unica funzione non integrabile immediatamente o dal prodotto di due funzioni (spesso di specie diversa) non gestibili unicamente con qualche sostituzione.

individuare nel prodotto una funzione semplice da integrare (f ‘(x)) e una funzione da derivare g(x), a patto di non ottenere a secondo membro della formula un integrale più complicato di quello di partenza.

Esercizio 1

Si calcoli

 

Soluzione

 

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L’integranda è data dal prodotto di due funzioni di specie diversa, x ed e^2x, ma tale prodotto non è risolubile per mezzo di una sostituzione in quanto la derivata di ϕ(x) = e^2x è 2 e^2x , funzione che non compare nell’integranda.

Seguiamo la tecnica di integrazione per parti.
Dobbiamo capire chi siano f ‘(x) (vale a dire la funzione da integrare) e g(x) (vale a dire la funzione da derivare), avendo come obiettivo principale quello di ottenere a secondo membro un integrale più semplice.
Poichè siamo in grado di integrare e^2x , ci conviene integrare tale fattore e derivare x (abbassando così la difficoltà del nuovo integrale).

Nel nostro caso si ha quindi

f ‘(x) = e^2x,  g(x) = x

Calcoliamoci da parte

Si tratta di un integrale immediato: posto 2x = t, da cui 2 dx = dt, si trova, ponendo c = 0,

 

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