Determinare la primitiva di una funzione. Esercizi risolti

Come si determina la primitiva di una funzione?

La primitiva F(x) di una funzione reale f(x) è un insieme di funzioni ( o famiglia di funzioni ) che hanno la derivata prima F'(x) uguale a f(x) per ogni valore di x del dominio.

ESERCIZIO 1

E’ data la funzione:

(a) Provare che la funzione

è una primitiva di f(x) sull’intervallo (−2, 2).

(b)Provare che la funzione

e la primitiva di f(x) sull’intervallo (−2, 2) che passa per

SOLUZIONE

(a) Per provare che F(x) e una primitiva di f(x) sull’intervallo (−2, 2) è sufficiente provare che F'(x) = f(x), per ogni x ∈ (−2, 2).

(b) Sicuramente G(x) è una primitiva di f(x), in quanto differisce da F(x) solo per la costante −π/3.

Controlliamo che G(1) = √3/2.

ESERCIZIO 2

Provare che le funzioni:

sono due primitive di una stessa funzione f(x) su ℜ; trovare f(x) e dire di quale costante differiscono F(x) e G(x).

Proprio ma proprio tutto sugli integrali

SOLUZIONE

F(x) e G(x) sono entrambe derivabili su ℜ. Sono entrambe primitive di una stessa funzione f(x) se si ha

F'(x) =G'(x) = f(x), per ogni x ∈ ℜ.

Calcoliamo le derivate:

Essendo due primitive della stessa funzione sullo stesso intervallo, la loro differenza deve essere costante.
Calcoliamone la differenza:

ESERCIZIO 3

Data la funzione:

(a) trovare tutte le primitive di h;
(b) trovare la primitiva di h(x) che passa per P= (1, log 2).

SOLUZIONE

(a) Le primitive di h(x) = x log(x² + 1) si trovano risolvendo l’integrale indefinito ∫ h(x) dx .

Per risolvere questo integrale, si può applicare la

formula di integrazione per parti:

Integrazione per parti – Esercizi svolti

Nel nostro caso scegliamo:

Si ottiene quindi:

Dunque le primitive di h sono le funzioni:

(b) Tra tutte le funzioni F_c(x) si deve trovare quella per cui F_c(1) = log 2.

Dunque F_c(1) = log 2 se e solo se c =1/2.

Pertanto la primitiva cercata è la funzione

 

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