Quesiti geometrici risolti

In fondo trovi una raccolta di quesiti di preparazione al test di ingresso all’Università

Esercizio 1.

L’oggetto a forma di lettera E nella seguente figura è formato da 10 cubi uguali. La misura dello spigolo di ciascun cubo è L. Si vuole colorare questo oggetto. Quale delle espressioni seguenti indica la superficie da colorare?

A 21 L²
B 39 L²
C 42 L²
D 60 L²

Soluzione

Poiché i cubi di cui è costituito l’oggetto sono 10 e poiché un cubo ha 6 facce, le facce dei cubi che costituiscono l’oggetto sono in tutto 60. Le facce dell’oggetto si ottengono sottraendo da 60 le facce che ciascun cubo ha in comune con gli altri, indicate nella figura:

60 − (6 · 2 + 3 · 1 + 1 · 3) = 60 − 18 = 42

La risposta esatta è la C.

Esercizio 2.

Il grafico f nella figura seguente è il simmetrico rispetto all’asse y di uno dei quattro grafici di seguito. Quale?

Soluzione

Dato un grafico, il suo simmetrico rispetto all’asse y si ottiene ribaltandolo attorno all’asse y. La risposta esatta, quindi, è la A.

Esercizio 3.

Nella figura seguente le rette r ed s sono perpendicolari tra loro e l’arco ECB è una semicirconferenza di centro O. Il segmento AB è lungo 20 e OB è lungo 12. Qual è l’area del quadrilatero ABCE?
A 112
B 168
C 252
D 336

Soluzione

Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo AOB:

Si ha che:

Quindi l’area del quadrilatero ABCE è:

72 · 2 + 96 · 2 = 144 + 192 = 336

La risposta esatta è la D.

Esercizio 4.

Un calciatore si trova in posizione centrale di fronte alla porta avversaria alla distanza di 20 m e calcia un pallone. La traiettoria del pallone è descritta rispetto al sistema di riferimento nella figura seguente dall’equazione

La figura seguente mostra la prima parte della traiettoria. La porta è alta 2,5 m. Il pallone entra in porta?

Soluzione

Sostituendo x = 20 nell’equazione si trova:

Poiché 2 è minore di 2,5, il pallone entra in porta.

Esercizio 5.

Il Comune di Bologna propone un servizio di noleggio giornaliero di auto per una percorrenza massima di 300 km, alle tariffe seguenti:
• 20 euro di costo fisso;
• 0,65 euro al km per i primi 100 km;
• 0,40 euro al km per ogni km oltre i primi 100.
La figura seguente mostra i grafici di quattro contratti di autonoleggio. Qual è il grafico che corrisponde alla proposta del comune?

A il grafico A
B il grafico B
C il grafico C
D il grafico D

Soluzione

Il grafico che corrisponde alla proposta del comune deve essere composto da due segmenti, di cui il primo (relativo a una percorrenza fino a 100 km e con un costo al chilometro maggiore) più ripido del secondo (relativo a una percorrenza superiore a 100 km). La risposta esatta è la A.

Esercizio 6.

La figura seguente mostra un quadrato ABCD di lato 12 inscritto in un triangolo AEF. DF = CE = x. Se x = 4, qual è l’area del triangolo AEF?

A 16
B 24
C 48
D 56

Soluzione

L’area del triangolo AEF è la differenza tra l’area del quadrato ABCD e la somma delle aree dei tre triangoli ABE, ECF e AFD. L’area del quadrato ABCD è 12 · 12 = 144 e

Quindi:

area AEF = 144 − (48 + 16 + 24) = 56

La risposta esatta è la D.

Esercizio 7.

Immagina ora che i punti F ed E dell’esercizio precedente si muovano lungo i lati del quadrato ABCD. L’area del triangolo AEF, al variare di x tra 0 e 12 è descritta dall’espressione

Indica se ciascuna delle affermazioni seguenti è vera o falsa.
a. Se x = 0, l’area di AEF è la metà dell’area del quadrato.
b. L’area di AEF per x = 4 è minore dell’area di AEF per x = 8.
c. Se x = 6, l’area del triangolo AEF è minima.

Soluzione

a. Sostituendo x = 0 nell’espressione f(x) dell’area si ottiene 72, che è la metà di 144 (l’area del quadrato), quindi l’affermazione è vera.
b. Sostituendo x = 4 oppure x = 8 in f(x) si ottiene in entrambi i casi 56, quindi l’affermazione è falsa.
c. Il minimo della funzione f(x) si ottiene ponendo la derivata f ‘(x) uguale a zero, quindi f ‘(x) = x − 6 = 0, da cui x = 6, quindi l’affermazione è vera.

Esercizio 8.

Il rettangolo AFED è formato da due quadrati congruenti ABCD e BFEC con un lato in comune. Il perimetro di ciascuno dei quadrati misura 36 cm.

Quanto misura il perimetro del rettangolo AFED?
A 48 cm
B 50 cm
C 52 cm
D 54 cm

Soluzione

Il lato dei quadrati congruenti ABCD e BFEC misura 36 cm/4 = 9 cm.
Il rettangolo rettangolo AFED è costituito da sei segmenti lunghi ciascuno 9 cm, quindi il suo perimetro è 6 · 9 cm = 54 cm. La risposta esatta è la D.

Esercizio 9.

Considera l’ellisse nella seguente figura.

Indica se ciascuna delle affermazioni seguenti è vera o falsa.
a. La retta di equazione y = x − 1 è esterna all’ellisse.
b. La retta di equazione y = 2 è secante l’ellisse.
c. La retta di equazione y = 1 − x è esterna all’ellisse.
d. La retta di equazione y = x + 1 è tangente all’ellisse.

Soluzione

Basta disegnare le quattro rette sul piano cartesiano per capire che le prime tre affermazioni sono vere e che la quarta è falsa.

 

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