Logica proposizionale. Enunciati e connettivi logici

Gli enunciati dichiarativi

Di quale parte del linguaggio ordinario si occupa la logica?

Di tutti quegli enunciati dei quali ha senso chiedersi se essi siano veri o falsi.

Dunque, la logica non si occupa di interrogazioni, ordini, preghiere, e di tutte quelle altre forme espressive che non sono vere o false, ma vanno prese per quel che sono. La logica si occupa invece degli enunciati che fanno parte del discorso dichiarativo, che veicolano delle informazioni e che per questo motivo comportano un impegno sul mondo, anzi su ‘un mondo’, il cosiddetto universo del discorso , ossia l’insieme di tutti gli oggetti e i concetti che vengono chiamati in causa da un dato enunciato dichiarativo o da un insieme di enunciati dichiarativi e delle cui proprietà o rapporti reciproci si disserta.

Enunciati atomici e complessi

Tra gli enunciati dichiarativi del linguaggio ve ne sono alcuni che possono essere viste come costruzioni fondamentali, non ulteriormente scomponibili in sottoenunciati e che si utilizzano invece nella costruzione di enunciati più complessi. Enunciati di questo tipo vengono detti atomici e corrispondono a quelle frasi mediante le quali si assegna una proprietà a un certo individuo del mondo o si stabilisceche dati individui stanno tra loro in una data relazione.

Ad esempio,

un’affermazione come

 L’elettrone possiede carica elettrica negativa

oppure come

Dario è alto

Lo studio degli enunciati atomici pertiene alla logica dei predicati .
Gli enunciati atomici, come si diceva, concorrono alla costruzione degli enunciati complessi mediante il ricorso a certe operazioni, dette connettivi logici. Questi ultimi sono operazioni ben note, come la negazione, nella frase ‘Dario non è biondo’ o la congiunzione, come nella frase ‘L’elettrone possiede carica elettrica negativa e spin semi-intero’.

L’individuazione delle operazioni di connessione logica tra gli enunciati consente di identificare la forma logica  di un enunciato, che è determinata da come gli enunciati atomici che ne fanno parte si combinano tra loro per mezzo dei connettivi logici.

La logica proposizionale o enunciativa si occupa tra le altre cose dello studio delle condizioni che rendono veri gli enunciati logicamente complessi sulla base della loro forma logica, dunque in rapporto alle operazioni che vi occorrono.

I connettivi logici

Contrariamente a quanto si potrebbe essere portati a pensare, i connettivi logici che concorrono alla formazione degli enunciati complessi di cui è necessario tenere conto ai fini dell’indagine logica sono un numero estremamente limitato: in aggiunta a quelli già citati di negazione e congiunzione, occorre prendere in esame la disgiunzione («Possiamo andare al cinema o a mangiare una pizza»), il condizionale («Se l’inflazione aumenta, allora diminuisce il potere d’acquisto dei salari») e il bicondizionale («Il colpo è stato messo a punto da una banda se e solo se ci sono tracce di due o più persone»).

Perché limitare l’attenzione ai connettivi logici di questa lista?

In fin dei conti, quelle indicate non sembrano affatto esaurire il novero delle operazioni a cui facciamo ricorso nella costruzione delle frasi del discorso dichiarativo.

Sembrano diverse, ad esempio, le operazioni che danno vita agli enunciati seguenti:

«Quando la temperatura scende sotto lo zero, in inverno, l’acqua del fiume ghiaccia»,

«C’è il sole ma fa freddo»,

«I rettili devono passare molte ore al sole, perché la loro temperatura corporea dipende dall’ambiente esterno».

In realtà, è possibile convincersi facilmente che queste ultime costruzioni linguistiche, così come le altre dove non si fa uso dei connettivi logici sopraindicati, possono essere trasformate in altre che ne mantengono il senso (quindi, che ‘dicono la stessa cosa’), e nelle quali si fa uso solo delle operazioni logiche basilari. Nel caso delle frasi citate, ad esempio, è facile rendersi conto che esse possono essere trasformate come segue:

«Se la temperatura scende sotto lo zero, in inverno, allora l’acqua del fiume ghiaccia»,

«C’è il sole e fa freddo»,

«Se la temperatura corporea dei rettili dipende dall’ambiente esterno, allora essi devono passare molte ore al sole».

Le frasi nella nuova veste ‘dicono la stessa cosa’ delle frasi corrispondenti del primo elenco perché sono vere alle stesse condizioni di queste ultime.

Ad esempio, la frase «C’è il sole ma fa freddo» è vera se e solo se, nonostante ci sia il sole, fa freddo; dunque, se c’è il sole e fa freddo che è giusto la situazione nella quale è vera anche la frase che gli corrisponde nel secondo elenco, ovvero l’affermazione «C’è il sole e fa freddo».

Le condizioni di verità  delle frasi originarie sono le stesse delle frasi, opportunamente riformulate, che gli corrispondono nella seconda lista e dunque sono logicamente equivalenti ad esse.

Questa osservazione ci consente di concludere quindi che le operazioni logiche coinvolte nelle prime non sono ‘nuove’ rispetto a quelle comprese nel nostro elenco di connettivi, ma sono solo parafrasi di queste ultime.
La conclusione potrebbe essere restituita nella forma di un teorema matematico in un contesto più rigoroso, rispetto cioè a un linguaggio formale le cui espressioni siano costruite rispettando le norme della sintassi che gli è propria.

Detto teorema, talvolta citato nella letteratura specialistica come il teorema della completezza verofunzionale, mostra come una qualunque frase del linguaggio in oggetto nella quale sia impiegata una qualunque operazione di connessione logica che rispetti i principi fondamentali della logica classica , può essere trasformata in una frase logicamente equivalente e che contiene solo le operazioni di connessione logica che si sono indicate come fondamentali (in realtà, anche solo una parte di esse).

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