Statistica. Esercizi svolti da temi d’esame. Parte IV

Esercizi svolti da temi d’esame. Parte I

Esercizi svolti da temi d’esame. Parte II

Esercizi svolti da temi d’esame. Parte III

 

ESERCIZIO 1

Siano date due urne contenenti delle palline bianche e nere; nell’urna I il 70% delle palline sono nere; nell’urna II il 40% delle palline sono nere. La probabilità di scegliere l’urna I sia 0.1; la probabilità di scegliere l’urna II sia invece 0.9.
Calcolare la probabilità che una pallina nera estratta a caso provenga dall’urna I.

SOLUZIONE

Evento A = “pallina estratta nera”;
Evento B₁ = “la pallina proviene dall’urna I”;
Evento B₂ = “la pallina proviene dall’urna II”

Dal teorema di Bayes segue:

Il risultato può essere interpretato come segue: effettuando numerose prove, nel 16.3% dei casi in cui si è estratta una pallina nera, essa proviene dall’urna I.

Teorema di Bayes

Siano A₁,A₂…eventi che formano una partizione dell’insieme Ω tali che P(A_i) > 0 e sia B, P(B) > 0, un qualunque altro evento. Allora per ogni i = 1,2,…., vale la seguente formula:

ESERCIZIO 2

Se X e Y sono due variabili casuali qualsiasi, quali delle seguenti uguaglianze non è sempre vera?
A) E(X + Y) = E(X) + E(Y)
B) var(X + Y) = var(X) + var(Y)
C) var(4X + 5Y) = 16var(X) + 25var(Y) + 40cov(X,Y)
D) E(4X + 5Y) = 4E(X) + 5E(Y)

SOLUZIONE

Chiede quale è Falsa.

A) Vera.

B) Falsa: manca il termine +2cov(X,Y).

C) Vera.

D) Vera.
⇒ La risposta giusta è la B).

ESERCIZIO 3

Si assuma che il tempo di attesa per sedersi ad un ristorante sia approssimabile con una variabile casuale normale con media 15 minuti e scostamento quadratico medio di 4.75 minuti. Calcolare la probabilità di dover aspettare almeno 20 minuti prima di sedersi.
A) 0.1469
B) 0.3531
C) 0.6761
D) 0.1761.

SOLUZIONE

Tempo = X ∼ N(15, σ = 4.75).

La probabilità di dover aspettare almeno 20 minuti prima di sedersi è:

P(X ≥ 20) = P[Z > (20−15)/4.75] = P(Z > 1.05) = 1−P(Z ≤ 1.05) = 1−0.8531 = 0.1469.

ESERCIZIO 4

Data la variabile casuale Y = a + bX, segue che μ_Y = bμ_X.

Vero o Falso?

SOLUZIONE

Falso.

E(Y) = E(a + bX) = a + bμX

.ESERCIZIO 5

Un problema di collaudo in un processo produttivo. Un’industria ha installato un sistema automatico per il controllo di qualità, che garantisce che, se un pezzo è difettoso, viene eliminato con probabilità 0.995. C’è una probabilità pari a 0.001 che anche un pezzo non difettoso venga eliminato. Si sa anche che la probabilità che un pezzo sia difettoso è 0.2.
Calcoliamo la probabilità che un pezzo che non sia stato eliminato al controllo di qualità sia difettoso.

SOLUZIONE

Evento E = “il pezzo viene eliminato”
Evento D = “il pezzo è difettoso”
Sappiamo che

Con il teorema di Bayes vogliamo calcolare

Abbiamo:

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