Statistica. Esercizi svolti da temi d’esame. Parte III

Esercizi svolti da temi d’esame. Parte I

Esercizi svolti da temi d’esame. Parte II

 

ESERCIZIO 1

La probabilità che una persona prenda il raffreddore durante l’inverno è 0.4. Assumendo che 10 persone siano selezionate a caso, qual è la probabilità che esattamente 4 di loro prendano il raffreddore?
A) 0.502
B) 0.242
C) 0.751
D) 0.251

SOLUZIONE

Chiamo p = probabilità che una persona prenda il raffreddore in inverno = 0.4.
Se si selezionano “a caso” 10 persone (da una popolazione infinita) si stanno facendo 10 prove di Bernoulli indipendenti con probabilità di successo p. Il numero di persone X con il raffreddore si intende hanno distribuzione X Binomiale(10, p = 0.4). Quindi:

Quindi la risposta esatta è la D.

ESERCIZIO 2

Siano date due urne che contengono rispettivamente
urna I: 2 palline rosse e 1 nera
urna II: 3 palline rosse e 2 nere.
Scegliamo a caso un’urna ed estraiamo a caso una pallina dall’urna scelta. Qual è la probabilità di estrarre una pallina nera?

SOLUZIONE

Evento B₁ = “è stata scelta l’urna I”
Evento B₂ = “è stata scelta l’urna II”

Evento A = “è stata estratta una pallina nera ”
Applicando il teorema della probabilità totale si ha:

Teorema delle probabilità totali

Siano A₁,A₂…eventi che formano una partizione per Ω. Allora per ogni evento B:

Il teorema ci dice che l’evento B può verificarsi solo in concomitanza con qualche A_i. Inoltre la formula del teorema, nota come formula delle probabilità totali, è utile perchè il calcolo delle probabilità condizionate è a volte più semplice del calcolo diretto di P(A).

Si osservi che la probabilità è diversa da quella che si avrebbe se tutte le palline fossero contenute in un’unica urna: in questo caso la probabilità di estrarre una pallina nera sarebbe:

La differenza fra i due risultati dipende dal fatto che le due urne contengono un numero diverso di palline, quindi una pallina dell’urna I non ha la stessa probabilità di essere estratta di una pallina dell’urna II.

ESERCIZIO 3

Se X e Y sono due variabili casuali con E(X) = 5, E(Y) = 6, E(XY) = 21, var(X) = 9 e var(Y) = 10, allora l’associazione lineare tra X e Y è:
A) debole e positiva.
B) debole e negativa.
C) forte e negativa.
D) forte e positiva.

SOLUZIONE

L’associazione lineare si misura con il coefficiente di correlazione lineare.

dove

cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y) = 21 − (5)(6) = −9.

Quindi:

L’associazione è negativa e forte. Risposta C).

Correlazione fra variabili

Da ricordare

Associazione – Relazione esistente tra caratteri (in particolare di tipo qualitativo).
Correlazione – Relazione tra due variabili di tipo quantitativo.
Coefficiente di correlazione – Indice che esprime l’intensità del legame associativo tra due variabili.
Relazione negativa – Due variabili sono dette associate negativamente quando ad un alto punteggio nell’una corrisponde un basso punteggio nell’altra, e viceversa ad un basso punteggio nell’una corrisponde un alto punteggio nell’altra.
Covarianza – Indice del grado con cui due variabili condividono una comune varianza.
Relazione positiva – Due variabili sono associate positivamente quando ad un alto punteggio nell’una corrisponde un alto punteggio nell’altra, e viceversa, ad un basso punteggio nell’una corrisponde un basso punteggio nell’altra.

ESERCIZIO 4

Riferendoci all’esercizio 2 possiamo ora porre il seguente quesito: se è stata estratta una pallina nera, qual è la probabilità di aver scelto l’urna I?

SOLUZIONE

Per rispondere a questa domanda bisogna calcolare la probabilità:

Poichè:

ricaviamo:

che non è altro che l’applicazione del teorema di Bayes:

Teorema di Bayes

Siano A₁,A₂…eventi che formano una partizione dell’insieme Ω tali che P(A_i) > 0 e sia B, P(B) > 0, un qualunque altro evento. Allora per ogni i = 1,2,…., vale la seguente formula:

ESERCIZIO 5

Ci siamo recentemente iscritto ad un golf club. Il numero di volte che si presume di giocare a golf in un mese è una variabile casuale con media 10 e deviazione standard 2.2. Si assume di pagare una quota sociale di 500 euro al mese e di pagare una quota addizionale di 50 euro per ogni partita di golf giocata. Qual è la deviazione standard della quota media mensile
da pagare al Club?
A) 110
B) 324
C) 180
D) 220

SOLUZIONE

Il numero di volte che si gioca è aleatorio e lo chiamiamo X. Se in un mese pago 500 euro più 50 a partita al mese pago

500 + 50X euro.

In media perciò pago:

500 + 50E(X) = 500 + (50)(10) = 1000 euro

La varianza è
var(X) = var(500 + 50X) = 2500var(X) = 2500(2.2²).

La deviazione standard è:

σ(X) = (50)(2.2) = 110 euro

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