Il determinante di una matrice quadrata

A ogni matrice quadrata viene associato un numero reale, detto determinante della matrice. Per indicare il determinante di una matrice si può scrivere «det» davanti alla matrice, oppure scrivere gli stessi elementi della matrice, delimitati da due righe verticali

DEFINIZIONE. Determinante di una matrice di ordine 1

Il determinante di una matrice del primo ordine è uguale al numero stesso che compare nella matrice.

DEFINIZIONE Determinante di una matrice di ordine 2

Il determinante di una matrice del secondo ordine è uguale alla differenza fra il prodotto dei due elementi della diagonale principale
e il prodotto dei due elementi della diagonale secondaria.

Il determinante di una matrice di ordine 3

Il determinante di una matrice di ordine 3 si può calcolare con la regola di Sarrus.

Calcoliamo il seguente determinante,

ESERCIZIO:

DEFINIZIONE Determinante delle matrici quadrate di ordine n.

Il determinante di una matrice quadrata può essere definito in vari modi. Il primo modo è costituito da una definizione data per ricorrenza: infatti, si definisce dapprima il determinante di una matrice di ordine n = 1, poi quello di una matrice di ordine n = 2 e,
infine, si definisce il determinante di ordine n qualsiasi.

A tal fine si procede come segue.
Sia A una matrice quadrata di ordine n, allora:
a) Se n = 1, così che A =a₁₁, si pone:
det(A) = a_11.
b) Se n = 2, si pone:
det(A) = a₁₁* a₂₂ – a₂₁* a₁₂

Per poter definire il determinante di una matrice di ordine n > 3, occorre premettere alcune definizioni.

DEFINIZIONE

Se A è una matrice quadrata di ordine n, dicesi minore complementare associato all’elemento a_ij il determinante che si ottiene sopprimendo la riga i e la colonna j alle quali l’elemento a_ij appartiene. Il minore complementare di a_ij si indica con A_ij .

DEFINIZIONE

Se A è una matrice quadrata di ordine n, dicesi complemento algebrico associato all’elemento a_ij il numero relativo avente per modulo il minore complementare A_ij di a_ij e per segno il + o il – a seconda che la somma degli indici i e j sia pari o dispari.

Il complemento algebrico di ciascun a_ij si denota con A’_ij e dicesi anche cofattore di a_ij.

Ciò premesso, possiamo ora definire il determinante di una qualunque matrice quadrata.

DEFINIZIONE

Se A è una matrice quadrata di ordine n, dicesi determinante associato alla matrice A, e si indica con det(A) , il numero relativo uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebrici, cioè:

esempio

DEFINIZIONE

Una matrice quadrata A si dice singolare se il determinante ad essa associato è uguale a zero, altrimenti la matrice A dicesi non singolare.

Per i determinanti sussistono le seguenti proprietà :

[1] il determinante è nullo se tutti gli elementi di una riga o di una colonna sono nulli;
[2] il determinante è nullo se due righe (o colonne) sono uguali o proporzionali;
[3] il determinante è nullo se una riga ( risp. una colonna) è una combinazione lineare di altre due righe ( o colonne);
[4] Il determinante della matrice unità, I_n, è uguale a 1;
[5] Il determinante di una matrice triangolare o diagonale è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale;
[6] Se aggiungiamo agli elementi di una riga (risp. una colonna) gli elementi di un’altra riga (risp. colonna) moltiplicati per una costante, il determinante non cambia di valore;

[7] Scambiando di posto due righe o due colonne, il determinante cambia di segno.
[8] Se moltiplichiamo (risp. dividiamo) gli elementi di una linea (riga o colonna) per un numero, il determinante risulta moltiplicato (risp. diviso) per quel numero.

Proprietà

Se A e B sono due matrici quadrate di ordine n, si dimostra che:
1) det(A) = det(A_T);
2) Se A è invertibile ed A_-1 è la sua inversa, si ha: det(A-1) =1/det(A );
3) det(A × B) = det(A) x det(B) (Teorema di Binet) .

 

 

 

 

(535)

PubblicitàPubblicità