DEFINIZIONE. Determinante di una matrice di ordine 1
Il determinante di una matrice del primo ordine è uguale al numero stesso che compare nella matrice.
DEFINIZIONE Determinante di una matrice di ordine 2
Il determinante di una matrice del secondo ordine è uguale alla differenza fra il prodotto dei due elementi della diagonale principale
e il prodotto dei due elementi della diagonale secondaria.
Il determinante di una matrice di ordine 3
Il determinante di una matrice di ordine 3 si può calcolare con la regola di Sarrus.
Calcoliamo il seguente determinante,
ESERCIZIO:
DEFINIZIONE Determinante delle matrici quadrate di ordine n.
Il determinante di una matrice quadrata può essere definito in vari modi. Il primo modo è costituito da una definizione data per ricorrenza: infatti, si definisce dapprima il determinante di una matrice di ordine n = 1, poi quello di una matrice di ordine n = 2 e,
infine, si definisce il determinante di ordine n qualsiasi.
A tal fine si procede come segue.
Sia A una matrice quadrata di ordine n, allora:
a) Se n = 1, così che A =a11, si pone:
det(A) = a11.
b) Se n = 2, si pone:
det(A) = a11* a22 – a21* a12
Per poter definire il determinante di una matrice di ordine n > 3, occorre premettere alcune definizioni.
DEFINIZIONE
Se A è una matrice quadrata di ordine n, dicesi minore complementare associato all’elemento aij il determinante che si ottiene sopprimendo la riga i e la colonna j alle quali l’elemento aij appartiene. Il minore complementare di aij si indica con Aij .
DEFINIZIONE
Se A è una matrice quadrata di ordine n, dicesi complemento algebrico associato all’elemento aij il numero relativo avente per modulo il minore complementare Aij di aij e per segno il + o il – a seconda che la somma degli indici i e j sia pari o dispari.
Il complemento algebrico di ciascun aij si denota con A’ij e dicesi anche cofattore di aij.
Ciò premesso, possiamo ora definire il determinante di una qualunque matrice quadrata.
DEFINIZIONE
Se A è una matrice quadrata di ordine n, dicesi determinante associato alla matrice A, e si indica con det(A) , il numero relativo uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una qualsiasi riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebrici, cioè:
esempio
DEFINIZIONE
Una matrice quadrata A si dice singolare se il determinante ad essa associato è uguale a zero, altrimenti la matrice A dicesi non singolare.
Per i determinanti sussistono le seguenti proprietà :
[1] il determinante è nullo se tutti gli elementi di una riga o di una colonna sono nulli;
[2] il determinante è nullo se due righe (o colonne) sono uguali o proporzionali;
[3] il determinante è nullo se una riga ( risp. una colonna) è una combinazione lineare di altre due righe ( o colonne);
[4] Il determinante della matrice unità, In, è uguale a 1;
[5] Il determinante di una matrice triangolare o diagonale è uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale;
[6] Se aggiungiamo agli elementi di una riga (risp. una colonna) gli elementi di un’altra riga (risp. colonna) moltiplicati per una costante, il determinante non cambia di valore;
[7] Scambiando di posto due righe o due colonne, il determinante cambia di segno.
[8] Se moltiplichiamo (risp. dividiamo) gli elementi di una linea (riga o colonna) per un numero, il determinante risulta moltiplicato (risp. diviso) per quel numero.
Proprietà
Se A e B sono due matrici quadrate di ordine n, si dimostra che:
1) det(A) = det(AT);
2) Se A è invertibile ed A-1 è la sua inversa, si ha: det(A-1) =1/det(A );
3) det(A × B) = det(A) x det(B) (Teorema di Binet) .
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