Un parallelepipedo a base quadrata ha lo spigolo di base l = 30 cm, l’altezza h = 40 cm e pre senta una cavità conica con la base inscritta in una base del parallelepipedo. Sapendo che il volume Vtot del solido è 30 000 cm3, determinare l’altezza del cono:
A 8,48
B 25,46
C 24,56
D 20,66
E nessuna delle precedenti
Soluzione
La risposta giusta è B.
Calcoliamo dapprima il volume del parallelepipedo (non considerando la cavità conica):
V = l · l · h = 30 · 30 · 40 = 36 000 cm3
Il volume del cono lo calcoliamo per differenza:
VCONO = VTOT – V = 36 000 – 30 000 = 6000 cm3
mentre la sua base la calcoliamo sapendo che il suo diametro è l (essendo inscritta nella base del parallelepipedo) e quindi il suo raggio è
l/2 = 15 cm.
SBASE CONO = πr2 = π · 152 = 225 π cm2
Dal volume del cono si risale alla sua altezza:
Esercizio 2
Un poliedro è regolare se:
A tutte le sue facce sono perpendicolari tra loro
B tutte le sue facce sono poligoni regolari
C tutte le sue facce sono quadrati o triangoli equilateri
D tutte le sue facce sono uguali e perpendicolari tra loro
E alcune delle sue facce sono poligoni regolari
Soluzione
La risposta giusta è B.
Per definizione di poliedro regolare.
Esercizio 3
Un cono alto 16 cm ha raggio 12 cm. Calcolare la superficie totale e il volume:
A 240π, 768π
B 240π, 2306π
C 384π, 768π
D 480π, 768π
E 384π, 2306π
Soluzione
La risposta giusta è C.
Calcoliamo innanzitutto l’apotema:
Procediamo calcolando il perimetro e la superficie della base:
2p = 2 · π · r = 24π cm
SBASE = π · r2 = 144π cm
La superficie laterale vale
sommandola a quella di base otteniamo la superficie totale:
STOT = SBASE + SLAT = 144π + 240π = 384π cm2
Infine, il volume:
Esercizio 4
Una vasca è lunga 10 m e larga 5 m. Se in un metro cubo si possono collocare 21,6 casse, quanto dovrà essere alta la vasca per contenere 4320 casse?
A 2,40 m
B 3,60 m
C 4,00 m
D 4,50 m
E 4,80 m
Soluzione
La risposta giusta è C.
4320 casse occupano 200 m3, i quali divisi per 50 m2 di base ci danno l’altezza di 4 m.
Esercizio 5
L’area di una superficie sferica è:
A direttamente proporzionale al raggio
B inversamente proporzionale al quadrato del raggio
C direttamente proporzionale al quadrato del raggio
D inversamente proporzionale al raggio
E nessuna delle precedenti
Soluzione
La risposta giusta è C.
Essendo S = 4 r2
Esercizio 6
Un cono ha raggio di 5 cm e superficie di 90p cm 2. Qual è la sua altezza?
A 10
B 12
C 20
D 10π
E Nessuna delle precedenti
Soluzione
La risposta giusta è B.
Dapprima calcoliamo la superficie della base:
SBASE = πr2 = π 52 = 25π cm2
procediamo calcolando anche il perimetro di base:
2p = 2πr = 2π5 = 10π cm.
Detta h l’altezza incognita, dobbiamo calcolare la superficie laterale per risalire ad h:
SLAT = S – SBASE = 90π – 25π = 65π
Per arrivare all’altezza dobbiamo però calcolare prima l’apotema:
Dall’apotema, attraverso il teorema di Pitagora, risaliamo finalmente all’altezza:
Esercizio 7
Un cono alto 9 cm ha raggio di 5 cm. Calcolare il suo volume:
A 235,50 cm2
B 75 cm3
C 235,50 cm3
D 47,10 cm3
E 706,50 cm3
Soluzione
La risposta giusta è C.
Esercizio 8
In quale rapporto stanno tra loro le superfici di una sfera e di un cubo che hanno lo stesso volume?
A La superficie del cubo è minore
B Sono uguali
C La superficie del cubo è maggiore
D La superficie del cubo è metà
E Nulla si può dire circa il loro rapporto
Soluzione
La risposta giusta è C.
Dato che in un cubo V = l3 e in una sfera
La superficie del cubo è pari a S = 6l2 , mentre quella della sfera vale 4πr2.
Quindi, a parità di volume, la sfera ha una superficie pari a
A parità di volume, la sfera ha una superficie minore. Questo vale nei confronti di qualsiasi solido.
Esercizio 9
Un cono e un cilindro hanno lo stesso raggio e la stessa altezza; quale delle seguenti affermazioni è vera?
A Il cilindro ha volume minore del cono
B Il cilindro ha volume doppio del cono
C Il cilindro ha volume triplo del cono
D Il cilindro ha volume quadruplo del cono
E Hanno lo stesso volume
Soluzione
La risposta giusta è C.
Infatti, se r è il raggio e h l’altezza,
VCIL = π r2h,
mentre
VCONO = πr2h/3
da cui VCIL = 3VCONO.
Esercizio 10
Qual è approssimativamente il volume di un cono di raggio 3 cm e altezza 10 cm?
A 100 cm3
B 150 cm3
C 200 cm3
D 314 cm3
E 250 cm3
Soluzione
La risposta giusta è A.
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