Quesiti risolti di geometria solida

Esercizio 1

Un parallelepipedo a base quadrata ha lo spigolo di base l = 30 cm, l’altezza h = 40 cm e pre senta una cavità conica con la base inscritta in una base del parallelepipedo. Sapendo che il volume V_tot del solido è 30 000 cm³, determinare l’altezza del cono:

A 8,48
B 25,46
C 24,56
D 20,66
E nessuna delle precedenti

Soluzione

La risposta giusta è B.

Calcoliamo dapprima il volume del parallelepipedo (non considerando la cavità conica):

V = l · l · h = 30 · 30 · 40 = 36 000 cm³

Il volume del cono lo calcoliamo per differenza:

V_CONO = V_TOT – V = 36 000 – 30 000 = 6000 cm³

mentre la sua base la calcoliamo sapendo che il suo diametro è l (essendo inscritta nella base del parallelepipedo) e quindi il suo raggio è

l/2 = 15 cm.

S_{BASE CONO} = πr² = π · 15² = 225 π cm²

Dal volume del cono si risale alla sua altezza:

Esercizio 2

Un poliedro è regolare se:
A tutte le sue facce sono perpendicolari tra loro
B tutte le sue facce sono poligoni regolari
C tutte le sue facce sono quadrati o triangoli equilateri
D tutte le sue facce sono uguali e perpendicolari tra loro
E alcune delle sue facce sono poligoni regolari

Soluzione

La risposta giusta è B.

Per definizione di poliedro regolare.

Esercizio 3

Un cono alto 16 cm ha raggio 12 cm. Calcolare la superficie totale e il volume:
A 240π, 768π
B 240π, 2306π
C 384π, 768π
D 480π, 768π
E 384π, 2306π

Soluzione

La risposta giusta è C.

Calcoliamo innanzitutto l’apotema:

Procediamo calcolando il perimetro e la superficie della base:

2p = 2 · π · r = 24π cm

S_BASE = π · r² = 144π cm

La superficie laterale vale

sommandola a quella di base otteniamo la superficie totale:

S_TOT = S_BASE + S_LAT = 144π + 240π = 384π cm²

Infine, il volume:

Esercizio 4

Una vasca è lunga 10 m e larga 5 m. Se in un metro cubo si possono collocare 21,6 casse, quanto dovrà essere alta la vasca per contenere 4320 casse?
A 2,40 m
B 3,60 m
C 4,00 m
D 4,50 m
E 4,80 m

Soluzione

La risposta giusta è C.

4320 casse occupano 200 m³, i quali divisi per 50 m² di base ci danno l’altezza di 4 m.

Esercizio 5

L’area di una superficie sferica è:
A direttamente proporzionale al raggio
B inversamente proporzionale al quadrato del raggio
C direttamente proporzionale al quadrato del raggio
D inversamente proporzionale al raggio
E nessuna delle precedenti

Soluzione

La risposta giusta è C.

Essendo S = 4 r²

Esercizio 6

Un cono ha raggio di 5 cm e superficie di 90p cm 2. Qual è la sua altezza?
A 10
B 12
C 20
D 10π
E Nessuna delle precedenti

Soluzione

La risposta giusta è B.

Dapprima calcoliamo la superficie della base:

SBASE = πr² = π 5² = 25π cm²

procediamo calcolando anche il perimetro di base:

2p = 2πr = 2π5 = 10π cm.

Detta h l’altezza incognita, dobbiamo calcolare la superficie laterale per risalire ad h:

S_LAT = S – S_BASE = 90π – 25π = 65π

Per arrivare all’altezza dobbiamo però calcolare prima l’apotema:

Dall’apotema, attraverso il teorema di Pitagora, risaliamo finalmente all’altezza:

Esercizio 7

Un cono alto 9 cm ha raggio di 5 cm. Calcolare il suo volume:
A 235,50 cm²
B 75 cm³
C 235,50 cm³
D 47,10 cm³
E 706,50 cm³

Soluzione

La risposta giusta è C.

Esercizio 8

In quale rapporto stanno tra loro le superfici di una sfera e di un cubo che hanno lo stesso volume?
A La superficie del cubo è minore
B Sono uguali
C La superficie del cubo è maggiore
D La superficie del cubo è metà
E Nulla si può dire circa il loro rapporto

Soluzione

La risposta giusta è C.

Dato che in un cubo V = l³ e in una sfera

La superficie del cubo è pari a S = 6l² , mentre quella della sfera vale 4πr².
Quindi, a parità di volume, la sfera ha una superficie pari a

A parità di volume, la sfera ha una superficie minore. Questo vale nei confronti di qualsiasi solido.

Esercizio 9

Un cono e un cilindro hanno lo stesso raggio e la stessa altezza; quale delle seguenti affermazioni è vera?
A Il cilindro ha volume minore del cono
B Il cilindro ha volume doppio del cono
C Il cilindro ha volume triplo del cono
D Il cilindro ha volume quadruplo del cono
E Hanno lo stesso volume

Soluzione

La risposta giusta è C.

Infatti, se r è il raggio e h l’altezza,

V_CIL = π r²h,

mentre

V_CONO = πr²h/3

da cui V_CIL = 3V_CONO.

Esercizio 10

Qual è approssimativamente il volume di un cono di raggio 3 cm e altezza 10 cm?
A 100 cm³
B 150 cm³
C 200 cm³
D 314 cm³
E 250 cm³

Soluzione

La risposta giusta è A.

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